Сучасний розвиток

План:

Введення

1 Стародавній період

2 Середньовіччя

3 Новий час

4 Сучасний розвиток

Примітки

Література

 

 Введення

 

Історія комбінаторики висвітлює розвиток комбінаторики - розділу кінцевої математики, який досліджує в основному різні способи вибірки заданого числа m елементів із заданого кінцевого безлічі : розміщення, поєднання, перестановки, а також перерахування і суміжні проблеми. Почавши з аналізу головоломок та азартних ігор, комбінаторика виявилася виключно корисною для вирішення практичних задач майже у всіх розділах математики. Крім того, комбінаторні методи виявилися корисними в статистикою, генетиці, лінгвістиці і багатьох інших науках.

 

1. Стародавній період

 

Гексаграмма з "Книги Змін"

 

 Магічний квадрат на гравюрі Дюрера " Меланхолія "

 

 Комбінаторні мотиви можна помітити в символіці китайської "Книги Змін" (V століття до н. е..). На думку її авторів, все в світі комбінується з різних поєднань чоловічого і жіночого начал, а також восьми стихій: земля, гори, вода, вітер, гроза, вогонь, хмари і небо [1]. Історики відзначають також комбінаторні проблеми в керівництві по грі в Го та інші ігри. Великий інтерес математиків багатьох країн з давніх часів незмінно викликали магічні квадрати.

 

 Класична задача комбінаторики: "скільки є способів витягти m елементів з N можливих" згадується ще в сутрах давньої Індії (починаючи приблизно з IV століття до н. е..). [2]. Індійські математики, мабуть, першими відкрили Біноміальні коефіцієнти та їх зв'язок з біном Ньютона [2]. У II столітті до н. е.. індійці знали, що сума всіх біноміальних коефіцієнтів ступеня n дорівнює  2 n  .

 

 Античні греки також розглядали окремі комбінаторні задачі, хоча систематичний виклад ними цих питань, якщо воно й існувало, до нас не дійшло. Хрісіпп ( III століття до н.е..) і Гіппарх ( II століття до н.е..) підраховували, скільки наслідків можна отримати з 10 аксіом; методика підрахунку нам невідома, але у Хрісіппа вийшло більше мільйона, а у Гіппарха - більше 100000 [3]. Аристотель при викладі своєї логіки безпомилково перерахував всі можливі типи тричленних силогізмів. Аристоксен розглянув різні чергування довгих і коротких складів у віршованих розмірах. [3] Якісь комбінаторні правила піфагорійці, ймовірно, використовували при побудові своєї теорії чисел і нумерології ( вчинені числа, фігурні числа, Піфагорові трійки та ін.)

 

2. Середньовіччя

 

 В XII столітті індійський математик Бхаскара у своїй основній праці "Лілаваті" докладно досліджував завдання, пов'язані з перестановками і поєднаннями, включаючи перестановки з повтореннями.

 

 У Західній Європі ряд глибоких відкриттів в області комбінаторики зробили два єврейських дослідника, Авраам ібн Езра ( XII століття) і Леві бен Гершем (він же Герсонід, XIV століття). Ібн Езра виявив симетричність біноміальних коефіцієнтів, а Герсонід дав явні формули для їх підрахунку і застосування в задачах обчислення числа розміщень і поєднань.

 

 Кілька комбінаторних задач містить " Книга абака "( Фібоначчі, XIII століття). Наприклад, він поставив завдання знайти найменше число гирь, достатнє для зважування будь-якого товару вагою від 1 до 40 фунтів.

 

3. Новий час

 

Джероламо Кардано написав математичне дослідження ігри в кості, опубліковане посмертно. Теорією цієї гри займалися також Тарталья і Галілей. В історію зароджувалась теорії ймовірностей увійшла листування запеклого гравця шевальє де Мере з П'єром Ферма і Блез Паскаль, де були порушені кілька тонких комбінаторних питань. Крім азартних ігор, комбінаторні методи використовувалися (і продовжують використовуватися) в криптографії - як для розробки шифрів, так і для їх злому.

 

Трикутник Паскаля

 

Блез Паскаль багато займався біноміальних коефіцієнтів і відкрив простий спосіб їх обчислення: " трикутник Паскаля ". Хоча цей спосіб був уже відомий на Сході (приблизно з X століття), Паскаль, на відміну від попередників, суворо виклав і довів властивості цього трикутника. Поряд з Лейбніцем, він вважається основоположником сучасної комбінаторики. Сам термін "комбінаторика" придумав Лейбніц, який в 1666 (йому було тоді 20 років) опублікував книгу "Роздуми про комбінаторному мистецтві". Правда, термін "комбінаторика" Лейбніц розумів надмірно широко, включаючи в нього всю кінцеву математику і навіть логіку [4]. Учень Лейбніца Якоб Бернуллі, один із засновників теорії ймовірностей, виклав у своїй книзі "Мистецтво припущень" ( 1713) безліч відомостей з комбінаторики.

 

 У цей же період формується термінологія нової науки. Термін " поєднання "(combination) вперше зустрічається у Паскаля ( 1653, опублікований в 1665). Термін " перестановка "(permutation) вжив у зазначеній книзі Якоб Бернуллі (хоча епізодично він зустрічався і раніше). Бернуллі використовував і термін " розміщення "(arrangement).

 

 Після появи математичного аналізу виявилася тісний зв'язок комбінаторних і ряду аналітичних задач. Абрахам де Муавр і Джеймс Стірлінг знайшли формули для апроксимації факторіала. [5]

 

 Остаточно комбінаторика як самостійний розділ математики оформилася в працях Ейлера. Він детально розглянув, наприклад, такі проблеми.:

Завдання про хід коня

Завдання про сім мостах, з якої почалася теорія графів

 Побудова греко-латинських квадратів

Узагальнені перестановки

 

 Крім перестановок і поєднань, Ейлер вивчав розбиття, а також поєднання і розміщення з умовами.

 

4. Сучасний розвиток

 

 На початку XX століття почала розвиватися комбінаторна геометрія: були доведені теореми Мінковського - Радону, Радону, Хеллі, Юнга, Бляшке, а також строго доведена изопериметрическая теорема. На стику топології, аналізу та комбінаторики були доведені теореми Борсука - Улама і Люстерник - Шнирельман. У другій чверті XX століття були поставлені проблема Борсука і проблема Нелсона - Ердеша - Хадвігера. В 1940-х роках оформилася теорія Рамсея. Батьком сучасної комбінаторики вважається Пал Ердеш, який ввів в комбінаторику імовірнісний аналіз. Увага до кінцевої математики і, зокрема, до комбінаториці значно підвищилося з другої половини XX століття, коли з'явилися комп'ютери. Зараз це надзвичайно змістовна і швидко розвивається область математики.

 

 Примітки

Віленкін Н. Я., 1975, с. 7

 ↑ 1 2 Amulya Kumar Bag. Binomial theorem in ancient India. - www.new.dli.ernet.in/rawdataupload/upload/insa/INSA_1/20005aef_68.pdf Indian J. History Sci., 1:68-74, 1966.

 ↑ 1 2 Віленкін Н. Я., 1975, с. 9

Віленкін Н. Я., 1975, с. 19

O'Connor, John; Edmund Robertson. Abraham de Moivre - www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_Moivre.html. The MacTutor History of Mathematics archive (06 2004).

 

 Література

Віленкін Н. Я. Популярна комбінаторика - ilib.mccme.ru / djvu / combinatorika.htm -  М .: Наука, 1975. - 208 с.

 Історія математики під редакцією А. П. Юшкевича в трьох томах, М.: Наука.

 Том 1. З найдавніших часів до початку Нового часу. (1970) - ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat1.htm

 Том 2. Математика XVII сторіччя. (1970) - ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat2.htm

 Том 3. Математика XVIII сторіччя. (1972) - ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat3.htm

Рибніков К. А. Комбінаторний аналіз. Нариси історії -  М .: Вид. мехмату МГУ, 1996. - 124 с.

Рибніков К. А. Історія математики в двох томах -  М .: Видавництво МДУ, 1960-1963.

 

Цей текст може містити помилки.

 

Схожі роботи | скачати