Анализ и синтез оптимальной одноконтурной САУ при использовании непрерывного и цифрового регуляторов

      A₁(z)= 0,7347-3,1644z+5,102835z²-3,6802818z³+0,999747z⁴,

      A₁₀(z)= 0.99974 -3,680218z+5,1028z²-3,1644z³+0,7347z⁴. 

      Разделим  A₁(z) на A₁₀(z). 

-0,4596z+1,3255z²-1,3545z³+0,4597z⁴ 

      Домножим  полученный результат на z^-1, тогда: 

      A₂(z)= -0,4596+1,3255z-1,3545z²+0,4597z³,

      A₂₀(z)= -0,4597+1,3545z-1,3255z²+0,4596z³. 

      Разделим  A₂(z) на A₂₀(z). 

-0,0288981z-0,02926z²+0,91927z³ 

      Домножим  полученный результат на z^-1, тогда: 

      A₃(z)= -0,0288981-0,02926z+0,91927z²,

      A₃₀(z)= 0,91927-0,02926z-0,02889881z². 

      Разделим  A₃(z) на A₃₀(z). 

-0,0305301z+1.028762z² 

      Домножим  полученный результат на z^-1, тогда: 

      A₄(z)= -0,0305301+1.028762z. 

      В результате расчетов получили, что q₀, q₁, q₂ по модулю меньше еденицы, таким образом все три неравенства выполняются. Следовательно цифровая система устойчива.

       После того, как определили устойчивость системы по критерию Джури, необходимо построить переходный процессы в  замкнутых цифровых системах.

       Для построения переходных процессов в  замкнутых цифровых системах воспользуемся  обратным z-преобразованием.

       Eсли функция имеет m-полюсов z_k={z₁, z₂,…, z_n} , то:

,                    (4.13)

 

где A(z_k) – числитель функции W₃(z);

      B^’(z_k) – производная знаменателя функции W₃(z); 

      Замкнутая система с П – регулятором.

      Передаточная  функция для цифровой замкнутой  системы с П-регулятором имеет  вид: 

      

 

      Переходная  функция замкнутой системы равна: 

. 

      Для вычисления f[n] найдем полюса функции

       

. 

       Полюся  функции: 

z₁ = 1;

z₂ = 0,8422;

z₃ = 0,954 – j0,313;

z₄= 0,954 – j0,313. 

       Производная знаменателя функции: 

       B^’(z) = -11.25z²+10.574z-3.317+4z³.

       Подставим значение полюсов функции и значение производной в формулу (4.13), получим  выражение для : 

где a = z₁;

      b = z₂;

      c = z₃;

      d = z₄;

      Изобразим переходый процесс на рисунке 4.2

 

 

      Рисунок 4.2 - Переходный процесс в системе  с П – регулятором 

      Замкнутая система с ПИ – регулятором.

      Передаточная  функция для цифровой замкнутой системы с ПИ-регулятором имеет вид: 

;. 

      Переходная  функция замкнутой системы равна: 

. 

      Для вычисления f[n] найдем полюса функции

       

. 

       Полюся  функции: 

z₁ = 1;

z₂ = 0.847;

z₃ = 0.965;

z₄ = 0.973 – j0.0113;

z₅= 0.973 + j0.0113. 

       Производная знаменателя функции: 

       B^’(z) = 5z⁴-19.027z³+27.171 z²-17.253z+4.110 

       Подставим значение полюсов функции и значение производной в формулу (4.13), получим  выражение для f[n]:

где а = z₁;

       b = z₂;

       c = z₃;

       d = z₄;

       e = z₅; 

 

      Изобразим переходый процесс на рисунке 4.3 

      Рисунок 4.3 - Переходный процесс в системе  с ПИ – регулятором 

      Замкнутая система с ПИД – регулятором.

      Передаточная  функция для цифровой замкнутой  системы с ПИД-регулятором имеет вид: 

. 

      Переходная  функция замкнутой системы равна: 

. 

      Для вычисления f[n] найдем полюса функции

       

. 

       Полюся  функции: 

z₁ = 1;

z₂ = -0,021;

z₃ = 0,84;

z₄ = 0,935-j0,171;

z₅= 0,935+j0,171;

z₆=0,98. 

       Производная знаменателя функции: 

       B^’(z) = 6z⁵-23.347 z⁴+34.893 z³-24.39 z²+7.505z-0.660 

       Подставим значение полюсов функции и значение производной в формулу (4.13), получим  выражение для f[n]: 

 

где а = z₁;

      b = z₂;

      c = z₃;

      d = z₄;

      e = z₅;

      f = z₆. 

      Изобразим переходый процесс на рисунке 4.4 

 

Рисунок 4.4 - Переходный процесс в системе с ПИД  – регулятором. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       5 Расчет цифрового фильтра

       Для расчета цифрового фильтра, переводящего линейную часть из начального в конечное состояние за минимальное число периодов квантования и обеспечивающего ограничение на заданное управляющие воздействие, необходимо вычислить минимально возможный период квантования, но чтобы было удовлетворено условие:

       |U_m – q₀|£0,05,              (5.1)

где U_m = 1,0.

       Вычисление  значения q₀ следует начать с определения значений коэффициентов числителя Z-передаточной функции приведенной непрерывной части для принятого периода дискретности. Пусть Z-передаточная функция приведенной непрерывной части представима в виде:

 

        .    (5.2) 

       Тогда Z-передаточная функция оптимального по быстродействию цифрового фильтра W_ф(z) имеет вид: 

        ,    (5.3) 

 где  p_i = b_iq₀, i = 1,2,…,m;

       q_i = a_iq₀, i = 1,2,…,m;

       . 

      Воспользуясь  формулой (4.7) для W_нч(z) . Находим функции b_i , а_i   и Т₀.

      Для коэффициентов b_i имеем: 

;  (5.4)

;(5.5)

. (5.6) 

Для коэффициентов а_i имеем: 

;   (5.7)

;   (5.8)

.     (5.9) 

Найдем  выражение для q₀ : 

. (5.10) 
 

      Определим Т₀ при котором выполняется условие (5.1), для этого построим график зависимости и изибразим его на следующем рисунке 5.1. 

 

      Рисунок 5.1 – График зависимости |U_m – q₀(Т₀)| 

      При построении графика видим, что Т₀ = 4,61 , q₀(Т₀) = 1,002.

      Определим коэффициенты       , подставив  найденное значение Т₀ в выражение (5.4) и (5.5): 

       b₁(Т₀) = 0,718;

       b₂(Т₀) = 0,332;

       b₃(Т₀) = -0,052;

       a₁(Т₀) = -0,932;

       a₂(Т₀) = 0,281;

       a₃(Т₀) = -0,027; 

       Подставляя  найденные значения в выражения (5.2) и (5.3) определим передаточные функции приведенной непрерывной части и цифрового фильтра. 

        .      (5.7) 

     .     (5.8) 

       Находим Z – передаточную функцию для разомкнутой цифровой системы по формуле: 

       W_p(z) = W_н.ч.(z) * W_ф(z).                    (5.9) 

       Определим Z – преобразованную функцию замкнутой системы по каналу задание – управляюшее воздействие по формуле: 

       

,               (5.10) 
 
 
 
 
 
 

       Определим Z – преобразованную функцию замкнутой системы по каналу задание – выходной сигнал по формуле: 

       

,               (5.10) 

       Пусть f – функция определяющая зависимость между q₀ от  Т₀, т.е. q₀=f(Т₀), тогда f ^–1 – обратная ей функция, т.е. Т₀=f ^–1(q₀). Для того, чтобы найти период квантования необходимо минимизировать функцию  
Т₀=f ^–1(q₀) с учетом условия (5.1).