Двухфакторный дисперсионный анализ

1. Контроль качества усвоения знаний студентами в экспериментальной и контрольной группах осуществлялся в ходе проведения итоговых практических занятий и лабораторных работ. При проведении эксперимента применялась десятибалльная шкала оценок. Между оценками этой шкалы и оценками традиционной пятибалльной шкалы было установлено соответствие, приведенное в таблице 1:

 

Критерии  оценок и их сопоставимость в двух системах 

Таблица 1

                                                                                
 
 
 
 
 
 
 
 
 

После проведения занятий в учебных  группах итоговые оценки студентов были консолидированы в статистический комплекс в соответствии со сформированными экспериментальной и контрольной группами. Обобщенные по данным статистического комплекса итоговые оценки в этих группах приведены в таблице 2. 
 
 
 

Данные  о числе обучаемых  и качестве обучения

Таблица 2

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

где

 ВУМП - высокий уровень математической  подготовки (70 баллов и более по  результатам ЕГЭ)

СУМП - средний уровень математической подготовки (от 55 баллов до 69 баллов по результатам ЕГЭ)

НУМП  – низкий уровень математической подготовки (менее 55 баллов по результатам  ЕГЭ)

Так как  в проведенном эксперименте учитывается влияние двух факторов (уровень математической подготовки обучаемых и наличие инновационной технологии обучения), то используется двухфакторный дисперсионный анализ.

Двухфакторный дисперсионный анализ может иметь две разновидности: без повторений и с повторениями [1]. В первом случае каждому уровню факторов соответствует только одна выборка данных, во втором - определенным уровням факторов может соответствовать более одной выборки данных. Для повышения достоверности результатов в рассматриваемом эксперименте использовался метод двухфакторного дисперсионного анализа с повторениями.

− фактор A – уровень математической подготовки;

− фактор В – технология обучения;

− m_A – число градаций фактора A (m_A = 3 – высокий, средний, низкий);

− m_B – число градаций фактора B (m_B = 2 – c использованием интегративных занятий, без использования интегративных занятий);

− n – число вариант для одной градации фактора A и фактора B (n = 20);

− n_А – количество вариант в одной градации фактора A (n_А = m_В ×n = 2×20 = 40);

− n_В – количество вариант в одной градации фактора B (n_В = m_А ×n = 3×20 = 60);

− N – общая численность вариант (N = m_А×m_В×n = 3×2×20 = 120);

− x_i – варианты, входящие в состав дисперсионного комплекса (нумерация i сверху-вниз).

Проведем  дисперсионный анализ по этапам.

1. Найдем общую сумму квадратов отклонений

S_Y= =5121,00 -4380,21=740,79

2. Найдем общую факторную (S_ф) и остаточную (S_о) суммы квадратов отклонений:

S_ф== + + + + + – =515,84

S_o= S_Y- S_ф=740,79-515,84=224,95.

3. Найдем суммы квадратов отклонений для факторов А и В:

S_А==++ – =388,02

S_B==+ – =118,01.

4. Найдем суммы квадратов отклонений для совместного действия факторов:

S_AB = S_ф – (S_A +S_B ) = 515,84 – (388,02 + 118,01) = 9,82

5. Расчитаем числo степеней свободы:

− для  общей дисперсии: k_Y = N –1 = 120 –1 = 119;

− для  общей факторной дисперсии: k_Ф = m_A× m_B –1 = 6 –1 = 5;

− для  дисперсии по фактору A: k_A = m_A –1 = 3 –1 = 2;

− для  дисперсии по фактору B: k_B = m_B –1 = 2 –1 = 1;

− для  дисперсии совместного действия: k_AB = (a –1)(b-1) = 2;

− для  остаточной дисперсии: k_O = N – m_A× m_B = 120 – 6 = 114.

6. Найдем оценки дисперсий:

- по  фактору А: ===194,01

- по  фактору В: === 118,01

- совместная  по факторам А и В:== 4,91

- остаточная: === 1,97

7. Найдем дисперсионные отношения:

- по  фактору А: ==98,48

- по  фактору В: ==59,90

- совместно  по факторам А и В: ==2,49.

8. Нахождение для факторов A и B критических значений по таблице Фишера (для уровня значимости a=0,05) и сравнение их с дисперсионными отношениями этих факторов:

            − по фактору A: для уровня значимости α=0,05 и числа степеней    свободы k_A = 2, k_O =114 находим =3,08; так как 98,32>3,08, то нулевая гипотеза опровергается, то есть считаем, что уровень математической подготовки обучаемых влияет на качество усвоения ими учебного материала;

             − по фактору B: для уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы k_B = 1, k_O = 114 находим =3,92; так как 59,8>3,92, то нулевая гипотеза опровергается, то есть считаем, что технология обучения (с использованием или без использования интегративных занятий) влияет на качество усвоения учебного материала. 
 
 
 
 
 
 

Заключение

В современной  науке дисперсионный анализ имеет  очень широкое применение. Несмотря на то, что прошло уже более 80 лет после того, как дисперсионный анализ был открыт Фишером, тем не менее он применяется во многих исследованиях, где необходимо проанализировать влияние различных факторов на исследуемую переменную. Методы дисперсионного анализа находят свое отражение во многих научных сферах деятельности человека: в экономике, биологии, технике и многих других.

Благодаря появлению новых технологий и автоматизации, исследователь при выполнении дисперсионного анализа и проведении различных статистических исследований, может затратить меньше времени и усилий на расчеты данных, при помощи ЭВМ.

Дисперсионный анализ очень тесно связан с конкретной методологией планирования и проведения экспериментальных исследований.

Так как  в основе дисперсионного анализа  лежит деление изучаемой совокупности на группы по факторным признакам, которые, впоследствии должны быть изучены, то его можно использовать для прогнозирования, например, урожайности сельскохозяйственных культур или каких-либо экономических показателей. Тем самым, позволяя улучшить эти показатели в будущем. 
 
 
 
 

Список  литературы:

1. Г. Шеффе: «Дисперсионный анализ», Москва, изд. «Наука», 1980г., 512с.
2. С.А. Айвазян, И.С. Енюков, Л.Д. Мешалкин «Прикладная статистика. Классификация и снижение размерности», Москва, изд. «Финансы и статистика», 1989г., 608с.
3. В.Е. Гмурман «Теория вероятностей и математическая статистика», Москва, изд. «Высшая школа», 2005г., 480с.
4. Н.Ш. Кремер «Теория вероятностей и математическая статистика», Москва, изд. «Юнити-Дана», 2004г., 574с.
5. Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров  «Статистический анализ данных на компьютере», Москва, изд. «ИНФРА-М», 1998г., 528с.
6. Р.П. Рудакова, Л.Л. Букин, В.И. Гаврилов «Статистика», Санкт-Петербург, изд. «Питер», 2007г., 288с.
7. С.А. Айвазян, И.С. Енюков, Л.Д. Мешалкин «Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных», Москва, изд. «Финансы и статистика», 1983г., 472с.
8. С.А. Айвазян, В.С. Мхитарян «Прикладная статистика и основы эконометрики», Москва, изд. «ЮНИТИ», 1998г., 1005с.
9. А.И. Орлов «Прикладная статистика», Москва, изд. «Экзамен», 2004г.
10. Е.И. Пустыльник «Статистические методы анализа и обработки наблюдений», Москва, изд. «Наука», 1968г., 288с.
11. И.И. Елисеева, М.М. Юзбашев «Общая теория статистики», Москва, изд. «Финансы и статистика», 1999г., 480с.
12. Х. Аренс, Ю. Лейтер «Многомерный дисперсионный анализ», Москва, изд. «Финансы и статистика», 1985г., 234с.
13. Э.Ф. Сигел «Практическая бизнес-статистика», Москва, изд. «Вильямс», 2002г.,  1056с.
14. Б.И. Башкатов «Социально-экономическая статистика», Москва, изд. «ЮНИТИ», 2002г., 707с.
15. В.Н. Салин, Е.П. Шпаковская «Социально-экономическая статистика», Москва, изд. «ЮристЪ», 2001г., 460с.
16. А.Афифи, С.Эйзен «Статистический анализ. Подход с использованием ЭВМ», Москва, изд. «Мир», 1982г., 488с.
17. Л. Харченко, В. Ионин, В.Глинский «Статистика», Москва, изд. «Инфра-М», 2007г., 448с.
18. «Статистика» под редакцией И.И. Елисеевой, Москва, изд. «Юрайт», 2011г., 576с.
19. А.М. Годин «Статистика», Москва, изд. «Дашков и Ко», 2009г., 460с.
20. «Статистика» под редакцией С.А. Орехова, Москва, изд. «Эксмо», 2010г., 448с.
21. Б.И. Башкатов, Д.В. Дианов, Л.И. Нестеров, Е.А. Радугина «Прикладная статистика», Москва, изд. «ЭЛИТ», 2006г., 768с.
22. Г.А. Соколов, И.М. Гладких «Математическая статистика», Москва, изд. «Экзамен», 2004г., 432с.
23. А.М. Илышев «Общая теория статистики», Москва, изд. «Юнити-Дана», 2008г., 536с.
24. В.Н. Едронова, М.В. Малафеева «Общая теория статистики», Москва, изд. «Магистр», 2010г., 608с.
25. Л.Г. Батракова «Теория статистики», Москва, изд. «КноРус», 2009г., 528с.
26. Я.С. Мелкумов «Социально-экономическая статистика», Москва, изд. «Инфра-М», 2011г., 240с.
27. В.Н. Калинина, В.Ф. Панкин «Математическая статистика», Москва, изд. «Дрофа», 2002г, 336с.
28. Л.И. Тарновская «Статистика», Москва, изд. «Академия», 2008г., 320с.
29. С.Н. Захаренков, В.А. Тарловская «Статистика» Москва, изд. «Современная школа», 2010г., 272с.
30. «Статистика» под редакцией Е.В. Улитиной, Москва, изд. «Маркет ДС», 2010г., 312с.
31. К.Э. Плохотников, С.В. Колков «Статистика», Москва, изд. «Флинта», 2010г., 288с.
32. Н.М. Харченко «Статистика», Москва, изд. «Дашков и Ко», 2010г., 368с.
33. Н.В. Толстик, Н.М. Матегорина «Статистика», Москва, изд. «Феникс», 2009г., 352с.