Теорема Коши-Гельмгольца

Теорема Коши-Гельмгольца 

Движение  жидкой частицы можно каждый момент времени разложить на поступательное движение вместе с некоторым полюсом, вращательное движение с угловой  скоростью ω вокруг мгновенной оси, проходящей через этот полюс, а также деформационное движение. 

Рассмотрим  отличия в движении жидкой и твердой  частиц. 

Возьмем точку М [r (x, y)] твердого тела, вращающегося вокруг оси Z с угловой скоростью ω (0, 0, ω_z). В данном случае угловая скорость может быть выражена следующим образом: 

В общем  же случае, когда ω (ω_x, ω_y, ω_z)≠0, можно записать еще две проекции: 
 

В то же время, связь между скоростями точек  движущейся жидкой частицы является более сложной, так как в процессе движения жидкая частица деформируется и расстояния между ее точками изменяются, что видно из приведенного рисунка. Т.е. речь в данном случае идет о скорости, обусловленной деформацией жидкой частицы. 

Рассмотрим  подробнее смысл вектора U_деф (скорости деформационного движения) на примере некоторых частных случаев.

Пусть некоторый жидкий отрезок Δx движется вдоль оси x. Если U_х –скорость его левого конца, то скорость правого будет _.

Из-за разницы  в этих скоростях за время Δt длина отрезка изменится: _.

Соответственно, скорость удлинения отрезка по оси х (или скорость линейной деформации) будет равна

Аналогично, скорости линейных деформаций по осям будут равны , _. 

Теперь  рассмотрим движение отрезка Δx вдоль оси y. Если U_y –скорость его левого конца, то скорость правого будет _. Из-за неравности скоростей за время Δt отрезок Δх переместится и повернется на угол

Соответственно, угловая скорость его вращения будет: 
 
 

Рассматривая  следующий рисунок, можно убедиться, что угловая скорость вращения отрезка  Δy будет 
 
 

Вследствие  вращений отрезков Δx и Δy, образовавших вначале прямой угол, произойдет угловая деформация частицы в плоскости xy. Скорость угловой деформации определится суммой угловых скоростей отрезков

Поскольку за меру скорости угловой деформации принимают половину этой величины, то скорости угловых деформаций равны: 
 
 
 
 

Таким образом, используя полученные формулы, и разложив в ряд Тейлора мгновенные значения проекций скорости Ux, Uy, Uz, теорему Каши-Гельмгольца можно выразить следующим образом:

К примеру, теорема Коши-Гельмгольца лежит в основе акустико-вихревого метода численного моделирования турбулентного течения и амплитуд пульсаций давления в центробежном насосе. Данный метод позволяет на этапе эскизного пpоектиpования получить необходимые данные для пpавильного выбоpа констpуктивных и pежимных паpаметpов машины, обеспечивающих минимальную виброактивность и уровень шума при заданных энергетических параметрах.

В данном методе учитываются как поступательное и вращательное движение жидкости как несжимаемой среды, так и акустические волны, распространяющиеся со скоростью звука по тракту насосной системы и вызывающие малые колебания в жидкости. Пульсации давления в рабочей жидкости равны сумме колебаний, обусловленных вихревым движением среды как несжимаемой и акустических волн.

Результаты  расчетов насосов показывают, что амплитуда пульсаций давления неравномерно распределена по длине улиточного отвода. Максимальная амплитуда реализуется в начальной части улитки.

Данный  метод используется при оптимизации геометрии центробежных колес, определении благоприятного соотношения чисел лопаток рабочего колеса и лопаточного диффузора. 

Кроме того, теорема лежит в основе анализа процессов и течений в реактивных двигателях. 

Говоря  о других сферах, можно отметить метод определения характеристик движений земной поверхности. Теоретической базой для его разработки послужил принцип   Коши  –  Гельмгольца, согласно которому тектонические движения рассматриваются как результирующий эффект трех основных видов движения: параллельного переноса участков земной коры, вращения этих участков как абсолютно твердых тел и чистой деформации. 

Также можно отметить теорию движения воздушных  масс. Если в качестве векторного поля взять поле скоростей ветра на Земле, то в северном полушарии для антициклона, вращающегося по часовой стрелке, ротор будет направлен вниз, а для циклона, вращающегося против часовой стрелки – вверх. В тех местах, где ветры дуют прямолинейно и с одинаковой скоростью, ротор будет равен нулю (у неоднородного прямолинейного течения ротор ненулевой).