Оптимальное управление процессом нагрева стержня

Оптимальное управление процессом нагрева стержня 

Презентацию  выполнил:

Маленко Антон 473гр

Постановка  задачи 

Рассмотрим  задачу, которая в теплофизических  терминах может быть

сформулирована  следующим образом. Имеется однородный стержень

                 , левый конец s = 0 которого теплоизолирован, на правом конце

s = l происходит теплообмен с внешней средой и, кроме того, в стержне

имеются источники (или стоки) тепла. Через x = x(s, t) обозначим

температуру стержня в точке s в момент t. Пусть                            ,

                  - распределение температуры в стержне в начальный момент

времени t = 0. Требуется, управляя температурой внешней среды и

плотностью  источников тепла в стержне, к заданному моменту Т>0

распределение температуры в стержне сделать как можно ближе к

заданному распределению y(s),                   .

Постановка  задачи 

   

    Математическая формулировка задачи: требуется минимизировать

функцию 

                                                                                                         (1)  
 

при   условии, что x = x(s, t, u) является решением краевой задачи 

x_t = a²x_ss + f(s,t), (s, t)   Q = {0< s <l, 0 < t    T},                          (2)

x_s|_{s = 0}=0,                            0 < t    T,                                               (3)

x_s|_{s = l} = ν[p(t) – x(l, t)],     0 < t      T,                                             (4)

x|_{t = 0} = φ(s),                           0      s      l                                         (5) 

где a² , l, ν, T – заданные положительные величины; p(t) – температура внешней среды, 
 

  

                                         
 
 

Постановка  задачи 

f(s, t) – плотность источников тепла; предполагается, что

u = (p(t), f(s, t)) – управление – принадлежит множеству U, состоящему из

пар (p(t), f(s, t)) таких, что p = p(t)     L₂[0, T],

p_min      p(t)     p_max почти всюду на [0, T];                                          (6)

f = f(s, t)     L₂(Q),                                        ,                                        (7) 

где p_min < p_max , R > 0 – заданные числа; φ(s), y(s)    L₂[0, l].

    Для краткости обозначим  H = L₂[0, T] x L₂[Q] – Гильбертово

пространство  пар u = (p(t), f(s, t)) со скалярным произведением 

<u₁, u₂>_H =

и с нормой ||u||_H = (<u, u>_H)^1/2 = (||p||²_L2 ||f||²_L2)^1/2. 

    При каждом фиксированном управлении u = (p, f)     H из краевой

задачи (2) – (5) однозначно определяется соответствующее  решение 

x(s, t) = x(s, t, u). Так как управление u = (p(t), f(s, t))    H может иметь

бесконечно  много разрывов, то классического  решения задачи (2) – (5)

может не существовать. Поэтому решение краевой задачи будем

понимать в  обобщенном смысле. 

Постановка  задачи

h = l/L;                 τ = T/N;

S_i = h * I,              I = 0..L;

t_n = τ * n,             n = 0..N; 

n = 1..N; i = 1..L-1.

-2

Прогонка 

i = 1..L-1

Список литературы 

• Васильев  Ф.П. «Методы решения экстремальных  задач»
• Рихтмайер Р. «Разностные методы решения краевых задач»

Спасибо за внимание