, где  

     n = количество денежных потоков;

     t = время до погашения; 

     C = денежный поток; 

     i = требуемая доходность;

     M = погашение номинальной стоимости;

     P = цена облигации.

     Не  забываем о том, что цена облигации  равна:

     

     Таким образом, развернутая версия формулы  дюрации Маколея будет следующей:

     

     Пример 1: У Бетти есть облигация сроком на пять лет, с номинальной стоимостью 1000 долларов и купонной ставкой 5%. Для простоты, давайте предположим, что купон выплачивается ежегодно и процентные ставки составляют 5%. Какова будет дюрация Маколея облигации?

     

     

     

 

     = 4,55 года.

     К счастью, если применить дюрацию  Маколея к облигации с нулевым  купоном, дюрация будет равна  сроку погашения облигации, так  что никаких расчетов не требуется.

     Эффективная дюрация.

     Формула модифицированной дюрации, о которой  речь шла выше, предполагает, что  ожидаемые денежные потоки будут  оставаться постоянными, даже если преобладающие  процентные ставки изменятся; точно  так же дело обстоит и с безопционными  ценными бумагами с фиксированным доходом. С другой стороны, денежные потоки от ценных бумаг со встроенными опционами или с особенностями выкупа долговых обязательств будут меняться при изменении процентной ставки. Для того, чтобы высчитать дюрацию этих двух типов облигаций, самым уместным будет воспользоваться эффективной дюрацией.

     Эффективная дюрация требует использования  биноминального дерева процентных ставок, чтобы высчитать спрэд с учетом опциона (OAS). Этим двум темам посвящены  целые курсы, поэтому расчет, связанный с эффективной дюрацией, выходит за рамки этого урока. Однако существует множество программ доступных для инвесторов желающих рассчитывать эффективную дюрацию.

     Дюрация на основе ключевых процентных ставок.

     Последний тип дюрации, расчет которой нам осталось изучить – это дюрация на основе ключевых процентных ставок. С ее помощью можно рассчитать спот дюрации каждого из 11 «ключевых» сроков погашения в соответствии со спот-кривой процентов. Эти 11 ключевых погашений составляют 3 месяца и один, два, три, пять, семь, 10, 15, 20, 25 и 30-летние части кривой.

     В сущности, дюрация на основе ключевых процентных ставок, при постоянном удерживании доходности для всех остальных погашений, позволяет  рассчитывать дюрации портфеля при  изменении на один базисный пункт процентных ставок. Чаще всего метод ключевого процента используется для таких портфелей как «ступенчатая облигация», которая состоит из ценных бумаг с фиксированным доходом и с разными сроками погашения. Вот формула расчета дюрации на основе ключевых процентных ставок:

     

     Сумма дюраций на основе процентной ставки вдоль кривой равна эффективной  дюрации.

4. Модифицированная дюрация

 

     Модифицированная  дюрация является модифицированной версией модели Маколея, которая учитывает изменение процентной ставки. Поскольку процентная ставка влияет на доходность, то ее колебание повлияет и на дюрацию. Таким образом, модифицированная формула показывает, как меняется дюрация при изменении доходности на 1%. Для облигаций без особенностей встроенного опциона, цена облигации и процентная ставка движутся в обратном направлении, т.е. существует обратная связь между модифицированной дюрацией и изменением приблизительно на 1% в доходности. Это связано с тем, что модифицированная дюрация показывает, как изменяется дюрация облигации по отношению к движениям процентной ставки, формула приемлема для инвесторов желающих высчитать волатильность какой-то конкретной облигации. Модифицированная дюрация расчитывается по следующей формуле:

     

     или

      , где

     YTM – доходность до погашения.

     Продолжим анализировать облигацию Бетти  и проведем расчет ее модифицированной дюрации. На данный момент ее облигация  продается за 1000 долларов, т.е. по номинальной стоимости, которая переводится в доходность до погашения в 5%. Также не забываем, что мы вычислили дюрацию Маколея, и что она составляет 4,55 года.

     

     = 4,33 года 

     Данный пример показывает, что доходность облигации изменилась с 5% до 6%, а дюрация облигации упадет до 4,33 года. Потому что формула рассчитывает, как будет меняться дюрация если процентная ставка поднимется на 100 базисных пунктов, модифицированная дюрация всегда будет ниже чем дюрация Маколея.

5. Дюрация и волательность цены облигации

 

     На  протяжении всего урока, мы не раз  констатировали тот факт, что если процентная ставка поднимается, то цена облигации падает и наоборот. Но как же определяют степень изменения цены, когда процентные ставки меняются? Как правило, у облигаций с высокой дюрацией колебание цены будет выше, чем у облигаций с низкой дюрацией. Однако важно знать, что есть еще три фактора, которые определяют насколько чувствительна цена облигации к изменениям процентных ставок. Эти факторы следующие: срок погашения, купонная ставка и доходность до погашения. Знание того, что влияет на волатильность облигации очень важно для инвесторов, использующих стратегии иммунизации на основе дюрации для своих инвестиционных портфелей. Итак, обсудим эти факторы: 

     Факторы 1 и 2: купонная ставка и срок погашения.

     Если  срок погашения и первоначальная цена облигации остаются постоянными, то чем выше купон, тем ниже волатильность  и чем ниже купон, тем выше волатильность. Если купонная ставка и первоначальная цена облигации остаются постоянными, облигация с более длительным сроком погашения будет отображать более высокую волатильность цены, а облигация с более коротким сроком погашения будет отображать более низкую волатильность цены.

     Таким образом, если вы желаете инвестировать  в облигацию с минимальным  риском процентной ставки, то самой  оптимальной будет облигация  с высокими купонными выплатами  и коротким сроком до погашения. Инвестор, который полагает, что процентные ставки будут снижаться, скорее будет вкладывать в облигации с низкими купонными выплатами и длительным сроком до выплаты, поскольку эти факторы усилят рост цены облигации.

     Фактор 3: доходность до погашения (YTM).

     Чувствительность цены облигации к изменениям в процентных ставках, также зависит от ее доходности до погашения. Облигация с высокой доходностью до погашения будет отображать более низку волательность цены, чем облигация с более низкой доходностью до погашения, но при равной купонной ставке и сроке погашения. Кредитный рейтинг облигации также оказывает влияние на доходность до погашения, поэтому у облигаций с низкими кредитными рейтингами будут более высокие доходности, чем у облигаций с высокими кредитными рейтингами. Поэтому для облигаций с низкими кредитными рейтингами характерна более низкая волательность цены, чем у облигаций с высокими кредитными рейтингами.

     Все три фактора влияют на степень  того, насколько будет меняться цена облигации перед лицом изменения  в преобладающих процентных ставках. Эти три фактора работают вместе и против друг друга. Рассмотрим ниже приведенный график:

       

     Таким образом, если облигация обладает и  коротким сроком погашения и низкой купонной ставкой, то ее характеристики будут иметь обратный эффект на ее волатильность: низкий купон поднимется, а короткий срок погашения снизит волательность. Тогда волательность облигации будет средним от этих двух противоположных эффектов.

     Иммунизация

     Как уже было сказано выше, связанные  между собой факторы дюрации (купонная ставка, срок погашения и волательность  цены) играют важную роль для тех  инвесторов, которые применяют стратегии  иммунизации на основе дюрации. Цель этих стратегий состоит в подборе дюраций активов и пассивов в рамках одного инвестиционного портфеля, цель которого - минимизировать влияние процентных ставок на чистую стоимость.

     Например, скажем, у облигации со сроком 2 года есть четыре купона по 50 долларов и  ее номинальная стоимость составляет 1000 долларов. Если инвестор не реинвестирует свою прибыль в какую-то процентную ставку, то в конце второго года он или она получит в сумме 1200 долларов. Но, если инвестор реинвестирует каждый из денежных потоков облигации пока не наступит погашение, он или она получит более 1200 долларов через два года. Таким образом, начисленные дополнительные проценты, собранные для реинвестирования купонов, позволят держателю облигации погасить обязательства будущей облигации в 1200 долларов за меньшее время чем погашение облигации.

     Понимание того, что такое дюрация, как она  используется и какие факторы  влияют на нее помогут вам определить волательность цены облигации. Волательность  является важным фактором для опеределения вашей стратегии по капитализации движений процентной ставки. Более того, дюрация также поможет вам определить как защитить свой инвестиционный портфель от риска изменений процентной ставки.

 

Заключение

 

     Целью данной работы являлось изучение понятия  «дюрациия»

     В соответствии с поставленной целью  нами были достигнуты следующие задачи:

• раскрыто понятие дюрации;
• определены основные факторы, влияющие на дюрацию;
• охарактеризованы основные типы дюрации;
• раскрыто понятие модифицированной дюрации.

     Объектом  исследования являлась цена облигации. Предметом – дюрация облигации, ее цена.

     Итак, дюрация (duration, D) является важнейшей  характеристикой потока платежей, определяющей его чувствительность к изменению процентной ставки.

     Дюрация представляет собой оценку средней  срочности потока платежей с учетом дисконтирования стоимости отдельных  выплат. Также важно отметить, что  дюрация потока зависит не только от его структуры, но и от текущей  процентной ставки. Чем выше ставка, тем меньше стоимость дальних выплат по сравнению с короткими и тем меньше дюрация, и наоборот, чем меньше ставка тем больше дюрация потока платежей.

     Для оценки чувствительности стоимости  потока платежей к процентной ставке используется так называемая модифицированная дюрация (MD).

     Модифицированная  дюрация, умноженная на текущую стоимость  является первым коэффициентом разложения функции текущей стоимости потока платежей в ряд Тейлора по процентной ставке.

     Следует отметить, что возможно обратное определение модифицированной дюрации и дюрации как коэффициента, характеризующего связь между изменением процентной ставки и изменением текущей стоимости потока платежей:

     При таком подходе дюрация может  оказаться отрицательной величиной, т.к. существуют потоки платежей (например, определённые виды облигаций с плавающим купоном), стоимость которых растет вместе с ростом процентных ставок.

 

Список использованной литературы

 
     

1. Буренин А.Н. Дюрация и кривизна в управлении портфелем облигаций, Издательство: НТО им. Вавилова, 2009 г. – 150.
2. Буренин А.Н. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов, Издательство: НТО им. Вавилова , 2009 г. – 418.
3. Дирочка А.А., Меньшиков И.С. Доходность и дюрация портфеля облигаций. Минск, Белоруссия, 2009 г.
4. О МЕЖДУНАРОДНЫХ ПОДХОДАХ (СТАНДАРТАХ) ОРГАНИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕНТНЫМ РИСКОМ
5. Фрэнк Фабоцци, Стивен Манн, Справочник по ценным бумагам с фиксированной процентной ставкой, 7-е издание, том. 2. Оценка, анализ и управление
6. Фрэнк Фабоцци, Стивен Манн Справочник по ценным бумагам с фиксированной процентной ставкой, 7-е издание, том 1. Основы
7. Абрамов  С.  И.  Организация  инвестиционно-строительной  деятельности.  —  М.: Центр экономики и маркетинга, 1999.
8. Вахрин  П.  И.  Организация  и  финансирование инвестиций:  Практикум.  — М.: Маркетинг, 2000.
9. Зимин  И.  А.  Реальные  инвестиции.  —  М.:  Ассоциация  авторов  и  издателей "Тандем": "Экмос", 2000.
10. Ильенкова С. Д. Инновационный менеджмент. — М: ЮНИ-ТИ, 2000. Сергеев И. В., Веретенникова И. И. Организация и финансирование инвестиций. — М.: Финансы и статистика, 2000
11. Финансы / Под ред. проф. А. М. Ковалевой. — М.: Финансы и статистика, 2000.
12. Шохин  Е.  Н.,  Моляков  Д.  С.  Теория  финансов  предприятий.  —  М.:  Финансы  и статистика, 2000.