Часть 2. Практическая

2.1 Учет инфляции в принятии финансовых решений

      Во  избежание ошибок и потерь в условиях снижения покупательной способности денег рассмотрим механизм влияния инфляции на результат финансовых операций и проведем несложные математические расчеты и преобразования.

      Введем  следующие обозначения:

      i (%) — простая годовая ставка ссудного процента;

      i    — относительная величина годовой ставки процентов;

      Is   — сумма процентных денег, выплачиваемых за год;

      I    — общая сумма процентных денег за весь период начисления;

      Р   — величина первоначальной денежной суммы;

      S   — наращенная сумма;

      kн   — коэффициент наращения;

      п    — продолжительность периода начисления в годах;

      д    — продолжительность периода начисления в днях;

      К   — продолжительность года в днях.

      Пусть Sа— сумма, покупательная способность которой, с учетом инфляции, равна покупательной способности суммы при отсутствии инфляции. Через ΔS обозначим разницу между этими суммами.

      Отношение ΔS/S, выраженное в процентах, называется уровнем инфляции.

       При расчетах используют величину уровня инфляции - темп инфляции а. 

      Тогда для определения Sa  получаем следующее выражение:

      

       (1.1)

       Величину  (1 + a), показывающую, во сколько раз Sa больше S (т. е. во сколько раз в среднем выросли цены), называют индексом инфляции Iи.

       (1.2)

      Динамика  индекса инфляции за несколько лет  отражает изменения, происходящие в инфляционных процессах. Понятно, что повышение индекса инфляции за определенный период по сравнению с предыдущим таким же периодом указывает на ускорение инфляции, снижение — на уменьшение ее темпов.

      Пусть a — годовой уровень инфляции. Это значит, что через год сумма S’_a будет больше суммы S в (I + а) раз. По прошествии еще одного года сумма S’_a будет больше суммы S'_a в (1 + а) раз, т. е. больше суммы S’’_a в (1 + a)² раз. Через n лет сумма S_aⁿ вырастет по отношению к сумме S в (1 + a)ⁿ раз. Отсюда видно, что инфляционный рост суммы S при годовом уровне инфляции а—то же самое, что наращение суммы S по сложной годовой ставке процентов a.

      Разумеется, те же рассуждения применяются, если вместо года берется любой другой временной интервал (квартал, месяц, день и т. д.)

        Очень важно запомнить данную  аналогию со сложным процентом,  так как одна из наиболее  часто встречающихся ошибок, связанных  с расчетом уровня инфляции за некоторый период, связана именно с неучетом данного обстоятельства.

      Например, если цены каждый месяц растут на 2%, то за годовой уровень инфляции, недолго думая, принимают 2% • 12 = 24%. Такие расчеты часто используют банки и финансовые компании, привлекая  клиентов вкладывать средства, к примеру, под 25% годовых. Между тем, если уровень  инфляции составляет 2% в месяц, это  значит, что за месяц цены вырастают  в (1 + 0,02) = 1,02 раза, а за год — в 1,02¹² == 1,268 раза. Значит годовой темп инфляции составляет 1,268 - 1 = 0,268 т. е. годовой уровень инфляции достигает 26,8%. После такого расчета процентная ставка 25% годовых теряет свою инвестиционную привлекательность и может рассматриваться лишь в плане минимизации потерь от инфляции.

      Рассмотрим  теперь различные случаи задания  уровня инфляции.

       Если известен годовой уровень инфляции а, то за период в n лет (при том, что n = n_a + n_b и n_a — целое число лет, n_b — оставшаяся нецелая часть года) индекс инфляции, очевидно, составит следующую величину:

       (1.3)

В некоторых  случаях может быть задан уровень  инфляции a_m за короткий (меньше года) интервал. Тогда за период, составляющий т таких интервалов, индекс инфляции будет равен

(1.4)

Теперь  можно приложить изложенные в  предыдущих параграфах варианты начисления процентов к условиям инфляционной экономики.

      Если  в обычном случае первоначальная сумма Р при заданной ставке процентов превращается за определенный период в сумму S, то в условиях инфляции она должна превратиться в сумму Sa, что требует уже иной процентной ставки.

      Назовем ее ставкой процентов, учитывающей  инфляцию.

      Пусть

      ia   — ставка ссудного процента, учитывающая инфляцию;

      da   — учетная ставка, учитывающая инфляцию;

      ja.   — номинальная ставка сложного процента, учитывающая инфляцию;

      fa   — номинальная сложная учетная ставка, учитывающая инфляцию.

      Зададим годовой уровень инфляции а и простую годовую ставку ссудного процента. Тогда для наращенной суммы S, превращающейся в условиях инфляции в сумму Sa, используем формулу (1.7):

        

Для данной суммы  можно записать еще одно соотношение: 

       а затем составить  уравнение эквивалентности: 

       из которого следует, что

                                                                    (1.5)

Мы получили, таким образом, известную формулу  И. Фишера, в которой сумма    (а + iа) является величиной, которую необходимо прибавить к реальной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь. Эта величина называется инфляционной премией.

      Зная  формулу И. Фишера, можно избежать еще одной распространенной ошибки. Часто для подсчета процентной ставки, учитывающей инфляцию, к величине реальной ставки доходности просто прибавляют величину темпа инфляции, т. е. если i = 25%          и а = 15%, то за процентную ставку, учитывающую инфляцию, принимается сумма           (i + а) = 25 4- 15 = 40%. Но нужно помнить, что существует еще произведение (i_а), величина которого тем больше, чем больше значения i и а. В нашем примере оно составляет 0,15 • 0,25 = 0,0375 = 3,75%. Наверное не стоит пренебрегать даже такой, на первый взгляд, небольшой величиной. Ведь когда счет идет на десятки миллионов, каждый процентный пункт — это сотни тысяч рублей.

      Рассмотрим  теперь различные случаи начисления процентов с учетом инфляции. При  этом всегда удобно пользоваться значением индекса инфляции за весь рассматриваемый период.

       Для простых  процентных ставок по формуле (1.7) получаем  

       В то же время  должно выполняться равенство:

       Составим уравнение  эквивалентности: 

       из которого получаем

         

                              (1.6)

       Для простых  учетных ставок аналогичное уравнение  эквивалентности будет иметь вид: 

                         (1.7)

       Для случая сложных  процентов используем формулу :

        

       Отсюда

                                    (1.8)

       Если начисление процентов происходит несколько (n) раз в году. используем формулу :

       Отсюда

                                 (1.9)

       Таким же образом  получаем две формулы для случая сложных учетных ставок:

                                (1.10)

      

                     (1.11)

       Используя полученные формулы, можно находить процентную ставку, компенсирующую потери от инфляции, когда заданы процентная ставка, обеспечивающая желаемую доходность финансовой операции, и уровень инфляции в течение рассматриваемого периода. Эти формулы можно преобразовать и получить зависимость от a или любую другую. Например, из формулы (1.6) можно получить формулу, позволяющую определить реальную доходность финансовой операции, когда задан уровень инфляции и простая ставка процентов, учитывающая инфляцию: 

                                    (1.12)

       Из формулы (1.8) получаем аналогичную формулу  для случая сложных процентов:                           (1.13)

       Подставив в последнюю формулу вместо индекса  инфляции выражение                  (1 + а)ⁿ, получим простую формулу:  

                              (1.14)

      отражающую несколько очевидных соображений:

      если  i_ca = а (доходность вложений и уровень инфляции равны). то i_c = 0, т. е. весь доход поглощается инфляцией;

      если  i_ca < а (доходность вложений ниже уровня инфляции), то i_с < 0, т. е. операция приносит убыток:

      если  i_ca > a (доходность вложении выше уровня инфляции), то i_с > 0, т. е. происходит реальный прирост вложенного капитала. 
 

2.2 Примеры расчетов финансовых операций

      Пример 1

      Кредит  в размере 50 000 000 руб. выдан на два года. Реальная доходность операции должна составить 10% годовых по сложной ставке ссудного процента. Ожидаемый уровень инфляции составляет 15% в год. Определить множитель наращения, сложную ставку процентов, учитывающую инфляцию, и наращенную сумму.

      Решение:

       По формуле (1.3) получаем 

      Множитель наращения и номинальная ставка доходности равны:

        
 

      Далее для наращенной суммы получаем

      S = 50 000 000 (1 + 0,265)² = 80 011 250 (руб.).

      Пример  2

      При выдаче кредита должна быть обеспечена реальная доходность операции, определяемая учетной ставкой 5% годовых. Кредит выдается на полгода, за которые предполагаемый индекс инфляции составит 1,06. Рассчитать значение учетной ставки, компенсирующей потери от инфляции.

      Решение:

      Производим  вычисления по формуле (1.7):

      d_a = (1,06 - 1 + 0,5 • 0,05)/(1,06 . 0,5) = 0,16 = 16%. 

      Пример  3

      Первоначальный  капитал в размере 20 000 000 руб. выдается на три года, проценты начисляются в конце каждого квартала по номинальной ставке 8% годовых. Определить номинальную ставку процентов и наращенную сумму с учетом инфляции, если ожидаемый годовой уровень инфляции составляет 12%.

      Решение:

      Воспользуемся формулой (1.3):

      I_и=(1+0,12)³=1,4.

       По формуле (1.9) имеем: 

      Отсюда

      S = 20 000 000 (1 + 0.107/4)¹² = 27 454 048 (руб.).