Расчет прочности изгибаемых элементов по нормальным сечениям

 

  Наиболее распространенными  железобетонными изгибаемыми элементами  являются балки и плиты различного  вида.  В общем случае они рассчитываются по 1-ой группе предельных состояний на прочность и по 2-ой группе -  на пригодность к нормальной эксплуатации, т.е. на  деформативность и ширину раскрытия трещин.  Прежде чем перейти к рассмотрению методов их  расчета, необходимо определить  предмет  расчета, т.е. те сечения в изгибаемых элементах,  прочность которых определяет прочность всей конструкции и обеспечивает ей необходимую безопасность. Рассмотрим железобетонную балку на двух опорах, нагруженную симметрично  двумя сосредоточенными силами (рис.3.1). Известно, что между точками приложения сил такая балка испытывает состояние чистого изгиба (поперечная сила равна нулю),  а на участках между опорами и точками приложения сил действует изгибающий момент и поперечная сила постоянной величины.  Представим себе возможные схемы разрушения балки на первом и вторых участках. В середине балки при увеличении       

                                                    

        Рис.3.1. Напряженное состояние и схемы разрушения железобетонной балки:               

 а – эпюра  изгибающих моментов и поперечных  сил;  б – траектории главных растягивающих                     

 напряжений и  схема образования трещин; в – схема возможного разрушения балки;                          

 г – сечение с одиночной арматурой; д – сечение с двойным армированием;                     

        1 – продольная арматура; 2 – отгибы; 3 – хомуты; 4 – монтажная арматура

нагрузки в нижней зоне будет преодолена прочность  бетона на растяжение, образуется трещина  по нормали к продольной оси балки,  затем в работу по восприятию момента вступит арматура, а при дальнейшем увеличении нагрузки произойдет разрыв арматуры и балка разрушится. Из этого следует, что необходимо проверять прочность железобетонной балки по нормальному сечению на действие  изгибающего момента. На участках между опорами и точками приложения сил, благодаря действию поперечной силы при увеличении нагрузки будут образовываться косые трещины  и разрушение балки может произойти по этой наклонной трещине. Следовательно, при действии поперечных сил требуется проверка  прочности железобетонного изгибаемого элемента по наклонному сечению.

Рассмотрим   методы расчета прочности изгибаемых железобетонных элементов по нормальным сечениям. Ранее уже отмечалось, что напряженное состояние балки в нормальном сечении  при увеличении нагрузки проходит через несколько характерных стадий (рис.3.2).           

   На первой стадии,  напряжения в бетоне невелики и деформации бетона носят упругий характер. Зависимость между деформациями и напряжениями выражается практически прямой линией и эпюры напряжений в сжатой и растянутой зонах можно считать треугольными. При дальнейшем увеличении нагрузки  эпюра напряжений в растянутой зоне приобретает криволинейный характер и напряжения приближаются к напряжениям образования трещин.

                         

 Рис.3.2. Стадии  напряжено деформированного состояния  сечения                                               

     железобетонной балки при изгибе                                                                                      

 На  второй стадии происходит появление и раскрытие трещины в растянутой зоне бетона. Вследствие появления трещины, растягивающие напряжения начинает воспринимать арматура. Напряжения в бетоне сжатой зоны не превышают временного сопротивления бетона сжатию. При дальнейшем увеличении нагрузки в сжатом бетоне возникают неупругие  деформации и эпюра сжимающих напряжений приобретает криволинейный характер. Конец второй стадии характеризуется появлением неупругих деформаций в арматуре.

Третья  стадия характеризуется предельным состоянием сечения по прочности. При увеличении нагрузки напряжения в арматуре достигают предела текучести и, следовательно, деформации арматуры происходят при постоянной величине нагрузки. При этом,  трещина развивается в направлении верхней грани сечения, высота сжатой зоны уменьшается, а  напряжения в сжатом бетоне растут и достигают временного сопротивления бетона при сжатии. Это напряженное состояние называется пластическим шарниром и разрушение элемента  происходит  с пластическими деформациями и не является хрупким. Такое разрушение принято называть исчерпанием несущей способности  по первому случаю. Возможен, однако, и другой сценарий разрушения. Если увеличить площадь поперечного сечения растянутой рабочей арматуры, то ее несущая способность может оказаться выше несущей способности сжатой зоны бетона. В этом случае  сжатая зона бетона разрушится раньше, чем напряжения в арматуре достигнут предела текучести, такое разрушение будет хрупким и называется разрушением  по второму случаю. Наиболее рациональным способом проектирования железобетонных сечений считается тот при котором одновременно достигается прочность как по арматуре, так и по сжатому бетону, т.е. разрушение происходит по пограничной зоне между первым и вторым случаем.

Три стадии напряженного состояния являются основой расчета  железобетонных изгибаемых элементов. По первой стадии определяется момент образования трещин,  по второй рассчитывается ширина раскрытия трещин,  по третьей – выполняетсяпроверка прочности сечений.  В расчетах на прочность криволинейная эпюра напряжений бетона сжатой зоны заменяется  прямолинейной, что как показывает экспериментальная проверка, вносит погрешность не более 2%.          

 Прежде чем  перейти к расчету нормального  сечения вспомним некоторые сведения  из курса «Инженерные конструкции», относящиеся к расчетным и  нормативным характеристикам материалов. Для бетона, материала обладающего  силовой анизотропией, вводятся  два различных нормативных сопротивления  R_bn – сопротивление  осевому сжатию (призменная прочность)  и R_btn – сопротивление   осевому растяжению. Для арматуры в качестве  нормативного сопротивления  R_sn принимаются наименьшие контролируемые значения предела текучести, физического или условного, за исключением обыкновенной арматурной проволоки класса  В-I.  Для этой арматуры в качестве нормативного сопротивления   принимается величина равная 75% временного сопротивления разрыву. Расчетные сопротивления материалов для предельных состояний получаются делением нормативных на соответствующие коэффициенты надежности по материалу  і_m.  Для бетона это будут коэффициенты надежности при сжатии і_b и при растяжении  і_bt. Для стали коэффициент надежности по материалу  обозначается символом  і_s. 

Расчетные сопротивления  бетона  для предельных состояний первой группы  R_b  и  R_bt  снижаются или повышаются  путем умножения на коэффициенты условий работы  і_bi, учитывающие особенности бетона, длительность действия нагрузок и их цикличность, условия и стадию работы конструкции, способы изготовления конструкции, размеры поперечного сечения и др. Расчетные  сопротивления бетона для предельных состояний второй группы, за исключением случая образования трещины по наклонному сечению, вводятся в расчет с коэффициентом условий работы і_bi = 1.  

Расчетные сопротивления  арматуры  R_s  для предельных состояний первой группы  снижаются или повышаются путем умножения на коэффициенты условий работы і_si, которые учитывают: опасность усталостного разрушения, неравномерность распределения напряжений в сечении, условия анкеровки, прочность бетона и др. Расчетное сопротивление арматуры при расчете по второй группе предельных состояний всегда принимаются при коэффициенте условий работы  і_si = 1.

Итак, прочность  изгибаемого железобетонного элемента  по нормальному сечению рассчитывается по третьей  стадии. Условие прочности сечения записывается следующим образом                       

                     M  d  M_сеч ,                                     ( 3.1 )

где:  M – момент внешних сил в данном сечении,  M_сеч – момент внутренних сил, обусловленный сопротивлением бетона и арматуры.  Рассмотрим вначале  наиболее простой случай расчета  -  расчет прямоугольного сечения с одиночной растянутой арматурой. Основные обозначения и схема приложения сил ясны из рисунка  3.3.  Целью расчета, при заданных  бетоне, арматуре и геометрических размерах сечения, является  проверка прочности сечения согласно условию (3.1), т.е. необходимо решить типичную задачу поверочного расчета.  Поскольку рассматривается стадия предельного  равновесия, напряжения в бетоне и арматуре известны и равны расчетным сопротивлениям материалов.

Запишем уравнение  равновесия всех сил на горизонтальную ось                                                                              

                         R_s A_s -  R_b bx = 0,                                      (3.2)

                   

 Рис. 3.3. Схема  усилий в нормальном сечении  изгибаемого                                              

 элемента с  одиночной арматурой.

где:  A_s- площадь поперечного сечения растянутой арматуры;  b - ширина сечения; 

x - высота сжатой зоны бетона. Из  этого уравнения вычисляется высота сжатой зоны бетона, величина  x  является единственным неизвестным                                                 

x = (R_s A_s)/( R_b b) .                                          (3.3)

Остается проверить, выдерживает ли данное сечение действие момента внешних сил. Для этого  вычислим момент внутренних сил.  Он вычисляется двумя равноценными способами:  относительно центра тяжести растянутой арматуры                              

                        M_сеч = R_b b x Z_b,                                    (3.4)

или  относительно центра тяжести бетона сжатой зоны                                        

               M_сеч = R_s A_s Z_b,                                     (3.5)

где:  h₀ = h – a – рабочая высота сечения;  a – расстояние от центра тяжести растянутой арматуры до грани сечения;  Z_b = h₀ – 0,5 x  - плечо внутренней пары сил.          

 Теперь необходимо  определить к какому случаю  разрушения, а следовательно и расчета,  относится рассматриваемая задача: к первому или ко второму?  Введем понятие  “относительная высота сжатой зоны бетона”                                                                

ѕ = x / h₀,                                          (3.6)

Граничная высота сжатой зоны бетона   ѕ_R  при которой не происходит его преждевременного хрупкого разрушения определяется по эмпирической формуле                                        

ѕ_R = ,                                 (3.7)

где: Й – характеристика сжатой зоны, для тяжелого бетона Й = 0,85 – 0,0008 R_b ;

Г_sc,u = 4000  (при благоприятных условиях твердения), размерность кгс/см².

Если,  относительная высота сжатой зоны меньше или равна граничной,  разрушение произойдет по первому случаю, в противном случае наоборот. Поскольку всегда желательно конструировать элемент  так, чтобы возможное разрушение начиналось с текучести арматуры, то необходимо стремиться к тому, чтобы относительная высота сжатой зоны бетона была бы меньше или равна ее граничному значению, т.е. чтобы выполнялось условие                                                                         

                                            ѕ d ѕ_R.                                                             (3.8)

Из опыта проектирования известно, что наиболее экономичные  решения достигаются тогда, когда  относительная высота сжатой зоны находится: для отдельных балок в пределах  0,3 – 0,4, для плит 0,1 – 0,15. Далее естественно проверяется условие (3.1).  Если оно не выполняется, необходимо либо перейти к более прочному бетону, либо увеличить высоту сечения. Таким образом, мы подошли к решению более сложной задачи – задачи прямого проектирования, когда необходимо подобрать площадь сечения растянутой арматуры и высоту сечения. В этой задаче три неизвестных: высота сечения h,  высота сжатой зоны  х и площадь поперечного сечения растянутой арматурыA_s. Одной из этих величин необходимо задаться, обычно, исходя из конструктивных соображений, задаются высотой сечения h и его ширинойb. Остальные величины находятся или методом последовательных приближений или из совместного решения системы двух уравнений (3.2) и  (3.4) или (3.5). Если разрешить эту систему относительно x, получим решение   

x =[ h₀²/4 + 2М/( R_b b)]^0,5 – 0,5 h₀,                            (3.9)

а затем, из соотношения (3.3) можно определить и  A_s. Если сразу искать величину   A_s, получим соотношение                                       

A_s =  R_b b h₀[1 – (1 – 2 M/( R_b b h²₀))^0,5]/ R_{s .}         (3.10)

Если при этом, нарушается соотношение (3.8), то необходимо увеличить высоту сечения  h и повторить расчет.   

         Для упрощения таких расчетов разработан табличный метод подбора сечений, который состоит в следующем. Преобразуем соотношения (3.2) и (3.5) к виду                                                              

A_s =  M / (· h₀ R_s) ,                                       (3.11)                              

                            М =  A₀ R_b b h²₀,                                           (3.12)