Контрольная работа по "Технической механики"

 

 

 

Задача 1. Определить аналитическим и графическим способами усилия в стержнях АВ и ВС заданной стержневой системы ( рис. 1).

 

Рис. 1. Схема стержневой системы.

 

Дано: F₁ = 17 kH

            F₂ = 36 kH

            α₁ = 30⁰

            α₂ = 60⁰

            α₃ = 45⁰

 

Определить: S_A и S_C

 

 

                     Аналитический способ определения  усилий.

 

  Усилия в стержнях  АВ и ВС определяем методом  вырезания узлов:

1)  Разрезаем стержни АВ и ВС ( рис. 2) отбрасываем их и заменяем действие выброшенных стержней неизвестными усилиями S_A и S_C. Усилия следует направлять от узла.

2) Выбираем систему координат с центром в точке В. Обозначим все углы, образованные силами с осью X. И определим значение.

 

Из прямоугольного треугольника BCD ( рис. 1) находим угол β₃. β₃ = 90⁰-α₃. β₃ = 90⁰-45⁰ = 45⁰.

 β₄ = β₃- α₁  β₄ = 45⁰-30⁰ =15⁰

 β₁ = 90⁰

 β₂ =90⁰-α₂ = 90⁰-60⁰=30⁰

 

3) Составляем уравнения  равновесия плоской системы сил.  Σ x = 0; Σ y = 0. При составлении уравнений равновесия сил знак силы принимаем положительным, если её направление совпадает с направлением оси. Обход узла начинаем по часовой стрелке.

 

 

                   Рис. 2. Расчётная схема узла В.

 

 

    

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решая систему двух уравнений  с двумя неизвестными находим  S_C =; S_A =

 Знак минус в усилии S_C означает, что стержень ВС сжат. Знак плюс перед усилием означает, что стержень растянут.

 

 

                               Графический способ определения  усилий.

 

1) Выбираем масштаб сил,  например. Тогда силы F₁ и F₂ будут откладываться отрезками

 

                        

 

2)  Строим силовой многоугольник  ( рис. 3). Из произвольно выбранной точки О проводим прямую параллельную силе F₁ и откладываем на ней отрезок F₁. Из конца отрезка F₁ проводим прямую, параллельную силе F₂ и откладываем на ней отрезок F₂.Из точки О проводим прямую параллельную усилию S_C и из конца отрезка F₂ проводим параллельную усилию S_A до пересечения с прямой S_C. Замыкаем силовой многоугольник.

 

3) Замеряем длину отрезков  S_A и S_C. S_A = см, S_C = см. Усилия в стержнях АВ и ВС  соответственно будут равны

 

4)  Вычислим ошибку допущенную при графическом способе решения задачи

 

 Ошибка должна находится в пределах 2%  иначе требуется проверка аналитического и графического решения.

 

ОТВЕТ: Аналитический способ

 

               Графический способ

 

Задача 2. Определить реакции опор балки от заданной нагрузки ( рис. 4) .

                                                    Рис. 4 Расчётная схема балки. 

 

Дано:

 

F =24 kH

g  = 8 kH/м

M = 12 kHм

a₁ =2 м

a₂ =4 м

a₃ = 2 м

α = 30⁰

 

Определить :  Реакции опор V_A; H_D; V_D

 

Решение :

 

1. Обозначим  буквами грузовые участки, т.е места приложения нагрузки. Показываем направление опорных реакций. В шарнирно-опорной опоре «А» реакция направлена по оси стержня вертикально V_A, в шарнирно неподвижной опоре в общем случае будут возникать вертикальная реакция V_D и горизонтальная реакция H_D.
2. Выбираем систему координат XY с началом на опоре «А». Определяем равнодействующую равномерно распределённой нагрузки

 

 F_g = g * a₂      F_g = 8 * 4 = 32 kH

 

Определяем  вертикальную F_Y и горизонтальную F_X составляющие силы F.

 

F_Y = F *;  F_Y = 24* =24 * 0.5 =12 kH

 

F_X = F * ;  F_X =24 * = 24 * 0.87 = 20.88 kH

 

3. Для определения величины реакции уравнения  равновесия:

 

      ∑x =0;  ∑М_А =0; ∑М_D = 0.

 

  Вертикальные реакции лучше определять из условия равенства нулю суммы моментов всех сил относительно опор. Тогда уравнение проекции всех сил на вертикальную ось    ∑у =0 используется для проверки правильности вычисления величины реакций.

  Моментом силы относительно  точки называется произведение  силы на плечо (длина перпендикуляра  опущенного из точки на линию  действия силы). Для вертикальных  сил – это расстояние от  точки приложения силы до опоры.  Правило знаков – положительным  считается момент вращающий балку  часовой стрелки относительно  моментной точки (опоры).

 

4. Составляем  сумму моментов всех сил относительно опоры «А». ∑М_А = 0.

Определяем расстояние от опоры А до точки приложения силы F;

 

AB = a₁ = 2 м

 

Определяем расстояние от опоры А до точки приложения равнодействующей распределённой нагрузки F_g.

 

         AE =2 + = 6 м

Равнодействующая  равномерно-распределённой нагрузки всегда расположена по середине участка действия нагрузки.

 

     -М – F_у * AB – F_g * AE + V_D * AD = 0        AD = a₁ + a₂ + a₃ = 8 м

 

-12 – 12 * 2 – 32 * 6 + V_D * 8 = 0

 

V_D * 8 = 228

 

V_D = = 28.5 kH

 

Составляем сумму  моментов всех сил относительно опоры  «D».

 

∑М_D = 0

 

Расстояние от опоры  D до точки приложения силы F; DB = a₂ + a₃ = 4 + 2 = 6 м.

Расстояние от опоры  D до точки приложения равнодействующей F_g;

DE = a₃ + = 2 + = 4 м

 

∑М_D = 0       – M + F_У * BD + F_g * DE - V_A * AD = 0

 

-12 + 12 * 6 + 32 * 4 - V_A * 8 = 0

 

V_A * 8 = 188

 

V_A = 23.5 kH

 

5. Составляем  сумму проекций всех сил на ось  X.

 

∑x = 0      V_A - F_У - F_g + V_D = 0

 

V_A + V_D = F_У + F_g

 

23.5 +  28.5 = 12 + 32