Динамические системы в экономике

(5)

Разрешив систему  относительно получаем:

(6)

 

Этот прием, когда исходные нелинейные дифференциальные уравнения заменяются также на нелинейные, однако более простые, носит название метода Ван-дер-Поля.

Если исследуемая  фазовая траектория – неподвижная  точка или предельный цикл (состояние  равновесия), то усредненное за один период значение r^’ очевидно равно нулю, так как радиус – вектор должен возвратиться в исходную точку. Значит, координаты этих состояний равновесия суть корни уравнения:

Φ(r,θ) = 0 . (7)

 Исходя из условия на экстремум, состояние равновесия r = ri будет устойчивым, если Φ’(ri ) < 0 , и неустойчивым, если Φ’(r_i ) > 0 . Остальные движения будут либо асимптотически приближаться к ним, либо асимптотически удаляться от них при

Теперь перейдем  ко второму уравнению (6). Если Ψ(r)=0 , то второе уравнение интегрируется сразу:

и мы можем представить  себе картину фазовых траекторий. Все интегральные кривые суть прямые, проходящие через начало координат под углом .  Движение вдоль каждой из этих прямых определяется уравнением r’ = Φ(r, θ) . Если мы вспом- ним теперь про собственную частоту вращения , то каждая из этих прямых будет вращаться. Корни уравнения r_i дадут круговые предельные циклы, а прочие точки прямой образуют траектории движения, асимптотически приближающиеся к состояниям равновесия или асимптотически удаляющиеся от них.

Перейдем теперь к случаю, когда второе уравнение не тождественно нулю. Пусть уравнение Ψ(r, θ) = 0

имеет несколько  корней r_j , которые не совпадают с состояниями равновесия r_i . Тогда движение изображающей точки по какому-нибудь предельному циклу подчиняется уравнениям:

r_i =const, θ=μΨ(r_i )+θ₀ .

Устойчивость или неустойчивость рассматриваемого предельного цикла определяется устойчивостью или неустойчивостью соответствующего состояния равновесия, а направление вращения – знаком Y .

Выберем f(x) = 1 + βx - x . Постоянный член характеризует «отрицательное трение», квадратичный ограничивает действие постоянного члена «не очень большими» значениями x , третий член является произвольным. Два коэффициента из трех выбраны равными единице для упрощения выкладок. Этого результата всегда можно добиться заменой переменной x на , т.е выбором «правильного» масштаба измерений.

Получаем:

Для :

Получаем 

Получаем систему :

При отрицательных  (a <1) устойчивым положением системы всегда является начало координат. Если > 0 , уравнение при положительных r имеет два положения равновесия: r_1,2 = 0; . Первое положение равновесия неустойчиво. При любом малом возмущении r , скорость изменения r^’ становится положительной, и r растет, пока не достигнет второй точкиравновесия , которая устойчива. При дальнейшем увеличении r , r^’ становится отрицательной, и система стремится вернуться в эту точку. Мы имеем неустойчивое положение равновесия в начале координат и устойчивый предельный цикл радиуса . Остальные траектории разбиваются на два класса: на траектории, наматывающиеся снаружи на предельный цикл, и на траектории, наматывающиеся изнутри на предельный цикл После потери устойчивости равновесия установившимся режимом оказывается колебательный периодический режим вблизи положения равновесия.

a>1

a<1

 

Говорят, что  произошла мягкая потеря устойчивости, так как устанавливающийся колебательный режим при малой закритичности (отличии параметра от критического значения) мало отличается от состояния равновесия.

Если, начиная  с некоторого значения параметра a >1 , мы будем его непрерывно уменьшать (уменьшать «рефлексивность»), то радиус предельного цикла будет также непрерывно уменьшаться, стремясь к нулю при a . При a = 1 предельный цикл исчезнет, сольется с неустойчивым фокусом, передав фокусу свою устойчивость; мы видим, что a=1 является бифуркационным значением параметра a .

Таким образом, при малой рефлексивности рынка ( 0 < a < 1 ) мы имеем стабильную равновесную цену товара, однако с ростом рефлексивности возникают автоколебания цены, амплитуда которых, начиная с нуля, будет непрерывно увеличиваться.


В целом мягкая потеря устойчивости приводит к колебаниям, амплитуда которых составляет около 3% от средней цены товара.

 

 

ЖЕСТКАЯ ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ

 

Возьмем более  точное аппроксимирующее выражение  для f(x). Предположим, что:

Тогда

 

где

Радиусы предельных циклов даются уравнением:

Φ(r) = 0 .

Уравнение всегда имеет корень r₀ = 0 . При b < 0 ситуация аналогична рассмотренной в предыдущем примере, т.е. при a < 1 уравнение не имеет положительных корней, а при a > 1 имеет единственный положительный корень (мягкий режим). Если > 0 , то мы имеем более интересный случай. При:

уравнение не имеет положительных корней, при a > 1 имеет единственный положительный корень (мягкий режим) и, нако- нец, при a₀ < a < 1 имеет два положительных корня, из которых устойчивым является больший.
Таким образом, при a₀ < a < 1 устойчивое состояние равновесия и устойчивый предельный цикл разделены неустойчивым предельным циклом.

 

 

 a₀ < a < 1

 

Поэтому траектории, начинающиеся внутри неустойчивого предельного  цикла, будут идти к состоянию равновесия и только траектории, которые начинаются вне неустойчивого предельного цикла, будут наматываться на устойчивый предельный цикл.

Неустойчивый  предельный цикл не соответствует, конечно, автоколебательным процессам. Он является границей, разделяющей «области притяжения» (аттракторы) устойчивого автоколебательного режима и устойчивого состояния равновесия. При достаточно сильном «толчке» в системе сразу возникают автоколебания с ненулевой амплитудой. Наблюдается жесткое установление автоколебаний. При этом система уходит со стационарного режима скачком и перескакивает на иной режим движения. В общем случае этот режим может быть другим устойчивым стационарным режимом, или устойчивыми колебаниями или более сложным движением.

 

 

 

 

На рис. изображена плоскость параметров a , b , разбитая на области различных режимов. При убывании параметра a изображающая точка будет находиться на устойчивом предельном цикле до тех пор, пока a не станет равным a₀ . При переходе a через это бифуркационное значение устойчивый предельный цикл, слившись с неустойчивым предельным циклом, пропадает, автоколебания срываются.

Повидимому, жесткая  потеря устойчивости соответствует  скачкам цен, которые возникают  в кризисных ситуациях, подобных общеизвестным обвалам рынка в последние несколько лет. Например, правительство принимает решение о дефолте, участники рынка пытаются понять возможные последствия и предпринять выгодные с их точки зрения действия.

Заметим, что  во всех примерах поведение системы  качественно изменялось при переходе параметра a через бифуркационное значение. Подобные качественные изменения являются предметом рассмотрения теории катастроф.

Катастрофой называется скачкообразное изменение (качественная трансформация), возникающее в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий.

Кроме описанных  двух способов потери устойчивости  положение равновесия может «умирать», слившись с другим при подходе  параметра к критическому значению (или же «из воздуха» рождается  пара положений равновесия). Из двух рождающихся (или умирающих) вместе положений равновесия одно устойчиво, другое неустойчиво

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ

1. Маршалл А. Принципы экономической науки., т. II. – М.: Прогресс, 1993 –310с.
2. Мандельброт Б. Фракталы, случай и финансы Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. — 256 с.
3. Царев И.Г. «Динамические системы в экономике»