Формы и методы регулирования рынка

«Санкт-Петербургский  Государственный 

Политехнический Университет» 
 
 
 

Курсовая  работа

По дисциплине: Макроэкономика 

Тема:

 «Формы и методы

регулирования рынка» 
 

                                                                                                   Выполнила студентка

Гр. з1072/24 Фролова  О.Г.

           

                                                                                                    Подпись преподавателя:      
 
 
 

            Санкт-Петербург

                                                       2011 

         Содержание:

Введение

1. Нелинейное программирование
2. Нелинейность
3. Задача оптимизации в общем виде
4. Источники нелинейного программирования

     Заключение

          Список используемой литературы     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

Нелинейное программирование (планирование) — математические методы отыскания максимума или минимума функции при наличии ограничений  в виде неравенств или уравнений. Максимизируемая (минимизируемая) функция представляет собой принятый критерий эффективности решения задачи, соответствующий поставленной цели. Он носит название целевой функции. Ограничения характеризуют имеющиеся возможности решения задачи. Целевая функция или хотя бы одно из ограничений нелинейны .Существо решения задач нелинейного программирования заключается в том, чтобы найти условия, обращающие целевую функцию в минимум или максимум. Решение, удовлетворяющее условиям задачи и соответствующее намеченной цели, называется оптимальным планом. Нелинейное программирование служит для выбора наилучшего плана распределения ограниченных ресурсов в целях решения поставленной задачи. Идея математического программирования заключается в том, чтобы вместо сплошного перебора всех возможных вариантов вести перебор выборочный, направленный на скорейшее последовательное улучшение результата. Методы математического программирования находят широкое применение для обоснования оптимальных решений в самых различных областях человеческой деятельности: при планировании перевозок и в торговле, для правильной организации труда, в управлении городским транспортом и строительством. 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Нелинейное  программирование

     Нелинейное  программирование — раздел математического программирования,  изучающий методы решения экстремальных задач с нелинейной целевой функцией или областью допустимых решений, определенной нелинейными ограничениями. В экономике это соответствует тому, что результаты (эффективность) возрастают или убывают непропорционально изменению масштабов использования ресурсов (или, что то же самое, масштабов производства): напр., из-за деления издержек производства на предприятиях на переменные и условно-постоянные; из-за насыщения спроса на товары, когда каждую следующую единицу продать труднее, чем предыдущую; из-за влияния экстерналий.

В краткой форме  задачу Н. п. можно записать так:

F (x) → max при условиях g (x) ≤ b, x ≥ 0,

где x — вектор искомых переменных; F (x) — целевая функция; g (x) — функция ограничений (непрерывно дифференцируемая); b — вектор констант ограничений (выбор знака ≤ в первом условии здесь произволен, его всегда можно изменить на обратный).

Решение задачи Н. п. (глобальный максимум или минимум) может принадлежать либо границе, либо внутренней части допустимого множества.

     Иначе говоря, задача состоит в выборе таких неотрицательных значений переменных, подчиненных системе  ограничений в форме неравенств, при которых достигается максимум (или минимум) данной функции. При  этом не оговариваются формы ни целевой  функции, ни неравенств. Могут быть разные случаи: целевая функция нелинейна, а ограничения линейны; целевая функция линейна, а ограничения (хотя бы одно из них) нелинейны; и целевая функция, и ограничения нелинейны.

     Задачи, в которых число переменных или  число ограничений бесконечно, называются задачами бесконечномерного Н. п. Задачи, в которых целевая функция или функции ограничений содержат случайные элементы, называются задачами стохастического Н. п.

Напр., задачу для двух переменных (выпуск продукта x и выпуск продукта y) и вогнутой целевой функции (прибыль Р) можно геометрически представить на чертеже.

Эта задача реалистично  отражает распространенное в экономике  явление: рост прибыли с ростом производства до определенного (оптимального) уровня в точке B′, а затем ее снижение. Нелинейные задачи сложны, часто их упрощают тем, что приводят к линейным. Для этого условно принимают, что на том или ином участке целевая функция возрастает или убывает пропорционально изменению независимых переменных.

     Такой подход называется методом кусочно-линейных приближений, он применим, однако, лишь к некоторым видам нелинейных задач. Нелинейные задачи в определенных условиях решаются с помощью функции Лагранжа: найдя ее седловую точку, тем самым находят и решение задачи.

Среди вычислительных алгоритмов Н. п. большое место занимают градиентные методы. Универсального же метода для нелинейных задач нет и, по-видимому, может не быть, поскольку они чрезвычайно разнообразны. Особенно трудно решаются многоэкстремальные задачи. Для некоторых типов задач выпуклого программирования разработаны эффективные численные методы оптимизации. 

2. Нелинейность

   Нелинейность – это довольно распространенная ситуация, ее вызывают сложные взаимоотношения между величинами, что характерно для технических, финансовых, биологических и других процессов. Потому нелинейность экономических задач существенно расширяет возможности учета существующих свойств и черт, хотя относительно их решения исследователи должны учитывать повышенную сложность получения желанного результата аж до невозможности его получения вообще. 
Нелинейные модели классифицируют с позиции сложности получения глобального оптимуму – все зависит от функциональных особенностей целевой функции и ограничений. Все множество нелинейных задач оптимизации можно разделить на три классы соответственно к особенностям целевой функции и функции ограничений в порядке нарастания сложности: 
І. Вогнутые и выпуклые задачи квадратичного программирования, где достигается глобальный оптимум. 
ІІ. Вогнутые и выпуклые задачи выпуклого программирования, где достигается глобальный оптимум. 
ІІІ. Задачи нелинейного программирования общего вида, где достигается локальный оптимум, среди которых ищут глобальный оптимум. 

3.  Задача оптимизации в общем виде

   Минимизировать  функцию: 
 

   При ограничениях:     
 
 

   На  вид функции ограничений не накладывается.

   Можно выделить следующие типы методов  решения задач нелинейного программирования:

   1) Методы, основанные на преобразовании задачи. Задача с ограничениями преобразуется в последовательность задач безусловной оптимизации.

   2) Методы линеаризации. Нелинейные  функции в постановке линеаризуются,  то есть разлагаются в ряд  Тейлора и оставляются только  линейные члены, после чего  решается последовательность задач  линейного программирования.

   3) Методы квадратичной аппроксимации.  Аналогично, но в ряду Тейлора  оставляются квадратичные члены.  Получается последовательность  задач квадратичного программирования.

   4) Методы выбора напралений - модифицированные методы направлений безусловной оптимизации.

   5) Методы прямого поиска. Дополнение  изученных методов проверками  на попадание в условия. 
 

4. Источники нелинейного  программирования

   Источники нелинейностей относятся в основном к одной из двух категорий:

     1) реально  существующие и эмпирически наблюдаемые  нелинейные соотношения, такие,  например, как непропорциональные  зависимости между объемом производства  и затратами; между количеством  используемого в производстве  компонента и некоторыми показателями  качества готовой продукции; между  затратами сырья и физическими  параметрами (давление, температура  и т.п.) соответствующего производственного  процесса; между выручкой и объемом реализации и др.;

     2) установленные  (постулируемые) руководством правила  поведения или задаваемые зависимости,  такие, например, как формулы или  правила расчета с потребителями  энергии или других видов услуг;  эвристические правила определения  страховых уровней запаса продукции;  гипотезы о характере вероятностного  распределения рассматриваемых в модели случайных величин; различного рода договорные условия взаимодействия между партнерами по бизнесу и др.

     В практике экономического управления имеется  большой опыт успешного применения моделей линейного программирования даже в условиях нелинейности. В  некоторых случаях нелинейности были несущественными и ими можно было пренебречь, в других - производилась линеаризация нелинейных соотношений или применялись специальные приемы, например, строились как называемые линейные аппроксимационные модели, благодаря чему достигалась указанная выше адекватность. Тем не менее, имеется большое число ситуаций, где нелинейность является существенной и ее нужно учитывать в явном виде. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение

Методы математического  программирования находят широкое  применение для обоснования оптимальных  решений в самых различных  областях человеческой деятельности: при планировании перевозок и  в торговле, для правильной организации  труда, в управлении городским транспортом  и строительством. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список используемой температуры

1. Нурминский Е.А. Нелинейное программирование. - Владивосток: ДВГУ, 2005
2. Самаров К.Л. Функции несколькихпеременных.Нелинейное программирование, 2006
3. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая матема-тика для экономистов: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ, 2003
4. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики, 2005
5. Геворкян Г.С. Высшая математика. Основы математического анализа, 2004