Кластерный анализ

(6) 

матрица доходности ценных бумаг S₁-S_N за периоды [0 ; T],

где R_ij – доходность по ценной бумаге i за j-й период;

(7) 

матрица факторов X₁-X_K за периоды [0 ; T],

где X_ij – значение фактора X_i за j-й период;

s_п – оценка риска предполагаемого портфеля ценных бумаг.

Теперь необходимо определить доли m₁, ..., m_N имеющихся в инвестиционном портфеле ценных бумаг с целью максимизации доходности в следующем периоде при заданном уровне риска:

    (8) 

где уровень доходности R_i вычисляется как отношение ожидаемой в отчетный период стоимости ценной бумаги S_i к курсовой стоимости в момент формирования портфеля за вычетом единицы.

Так, доходность за месяц в момент времени t=1 вычисляется следующим образом:

  - 1    ,           (9) 

В случае, когда инвестор не имеет возможностей продавать  ценные бумаги без покрытия, вводится дополнительное условие: m_y>0 , где y – номер соответствующей ценной бумаги.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Алгоритм  оптимизации портфеля с применением  кластерного анализа

Предлагаемый алгоритм можно условно разбить на четыре основные стадии:

1) Разбиение множества  ценных бумаг на отдельные  кластеры;

2) Определение факторов, влияющих на доходность составляющих  каждого кластера. Расчет факторных  весов. Построение уравнения регрессии;

3) Прогнозирование динамики  выбранных факторов;

4) Вычисление ожидаемой  доходности и степени риска  для каждой ценной бумаги;

5) Определение оптимального  набора ценных бумаг и их  долевого веса в инвестиционном  портфеле для обеспечения максимизации доходности.

1. Разбиение множества ценных бумаг на отдельные кластеры.

Эта стадия начинается с  формирования таблицы эвклидовых расстояний между имеющимися ценными бумагами:

Таблица 1 – Таблица эвклидовых расстояний

Ценные бумаги:	S1	S2	…Sj…	SN
S1	-	r1,2	r1,j	r1,N
S2		-	r2,j	r2,N
…Si…			ri,j	ri,N
SN				-

 

Расстояния вычисляются  по формуле 

                    

                          (10) 

Две ценные бумаги с наименьшим расстоянием объединяются в кластер, доходность которого вычисляется как средняя арифметическая доходностей этих ценных бумаг, после чего процедура расчета повторяется. Процесс объединения в кластеры прекращается, когда минимальное расстояние между группами превысит критическое значение:

                                 

                                             (11) 

В результате описанной  процедуры, вместо случайного множества  ценных бумаг, мы получаем набор упорядоченных  кластеров, объединенных на основе общих  тенденций в динамике доходности. При этом достигаются сразу две важные цели: во-первых, значительно сокращается количество переменных, что в заметной степени упрощает вычисления, а во-вторых, уменьшается доля воздействия случайных факторов, которые могут в отдельные моменты коррелировать с доходностью отдельных ценных бумаг. В рамках кластера за счет произведенной диверсификации вероятность случайных совпадений уменьшается во много раз, что дает возможность гораздо более ясно определить факторы, реально воздействующие на доходность.

2. Определение факторов, влияющих на доходность составляющих  каждого кластера. Расчет факторных  весов. Построение уравнения регрессии. 

Для того, чтобы вычислить  величину влияния каждого фактора  на соответствующий кластер ценных бумаг, представим доходность по кластерам в следующем виде:

         …+                    (12) 

где F_i – коэффициент фактора X_i в уравнении множественной регрессии,

– ошибка в период времени t. При этом величина T должна значительно (не менее чем в пять раз) превышать количество факторов k.

Значимые факторы отбираются при помощи описанного выше метода с применением коэффициентов  последовательной детерминации. Факторы  отбираются последовательно, а выбор  определяется путем максимизации коэффициента

                               (13) 

Процесс добавления факторов продолжается до тех пор, пока максимальный скорректированный коэффициент  последовательной детерминации не окажется отрицательной величиной. Для любого выбранного количества факторов коэффициенты F₁, F₂,...,F_k рассчитываются таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов ошибок регрессии за период базы прогноза:

                                                                               (14) 

Этой цели можно достигнуть путем математических преобразований матрицы факторных весов. В настоящее  время существует ряд программных  пакетов, позволяющих производить  данные расчеты с высокой скоростью  и за короткое время.

исследование, проведенное Е.А. Дорофеевым в работе "Влияние колебаний экономических факторов на динамику российского фондового рынка", выявило значительную зависимость курсов акций отечественных компаний от величины ВВП и индекса CPI.

 

3. Прогнозирование динамики  выбранных факторов

Результатом вышеуказанных  вычислений является получение формул множественной регрессии для  каждого кластера, с помощью которых, опираясь на статистические данные о  динамике факторов, можно получить прогноз развития доходности кластеров  на последующий период и оценить величину существующего риска. Преимущество прогнозирования факторов по сравнению с прогнозированием курсов отдельных ценных бумаг состоит в наличии значительно большего количества авторитетных исследований по движению макроэкономических факторов, а также статистических сводок органов государственного регулирования.

Четвертый этап будет  посвящен переходу от изучения общих  кластерных тенденций к расчету  индивидуальных уравнений регрессии  для каждой из имеющихся ценных бумаг.

 

4. Вычисление ожидаемой доходности и степени риска для каждой ценной бумаги.

В большинстве моделей, опирающихся на CAPM (досл. с англ. модель ценообразования активов), для ценных бумаг рассчитывается бета-коэффициент, отражающий взаимосвязь между динамикой доходности изучаемой ценной бумаги и существующими рыночными тенденциями. Простая линейная регрессия по отношению к рыночной динамике может оказаться слишком неточной, так как не позволяет учитывать специфические факторы, оказывающие на данную ценную бумагу влияние весомее, чем на фондовый рынок в целом. Поэтому для более подробного изучения прибегают к более эффективным средствам, в частности: к факторному анализу. Без сопоставления с существующими тенденциями велик риск усиления влияния случайных факторов. Таким образом, для получения достоверного результата методика анализа рынка ценных бумаг должна совмещать оба вышеописанных подхода.

Достаточно высокая  эффективность прогнозирования, основанная на использовании бета-коэффициента показывает, что между отдельными ценными бумагами и состоянием фондового рынка в целом наблюдается существенная зависимость, которую можно использовать для проведения оценки будущей доходности. При этом корреляция доходности ценных бумаг со средней доходностью по кластеру значительно выше, чем с рынком в целом. Поэтому в данной методике бета-коэффициент каждой отдельной ценной бумаги рассчитывается, опираясь на не рыночный индекс, а относительно кластера:

                              

                                              (15)

где   r_ic – коэффициент корреляции между доходностью ценной бумаги и средней доходностью кластера, к которому она принадлежит,

s_i и s_с – соответственно их среднеквадратические отклонения.

После расчета бета-коэффициента доходность каждой из исследуемых ценных бумаг можно будет выразить при помощи следующего уравнения регрессии:

                                                                 (16)

а ожидаемая в следующем  периоде доходность будет равна 

               

                                         (17)

При этом коэффициент  неопределенности для каждой ценной бумаги равняется 

                                                                                     (18) 

а величина риска –  

                                                        (19) 

5.Определение оптимального набора ценных бумаг и их долевого весам в инвестиционном портфеле для максимизации доходности.

После всех проведенных преобразований получена для каждой ценной бумаги величину ожидаемой доходности и оценку имеющегося риска. Теперь задача сводится к тому, чтобы определить долевой вес этих ценных бумаг в инвестиционном портфеле с целью максимизации прибыли при заданном уровне риска sп.

Как известно, множество  эффективных портфелей расположено  на так называемой эффективной границе, не ниже точки минимизации риска. Следовательно, в случае наличия определенности относительно желаемого уровня риска оптимальная точка для заданного набора ценных бумаг может быть определена однозначно:

Основываясь на данных, полученных на трех предыдущих этапах, исходные формулы выглядят следующим образом:

 

 

Как уже отмечалось, в  случае необходимости добавляется  условие не отрицательности долей m_i.

Полученная задача легко  решается как при помощи стандартно используемых вычислительных методов, так и большинством математических и экономических программных пакетов (MathCAD, SAS, Solver for MS Excel и т.д.).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Кластеризация «голубых фишек» российского фондового рынка

В данном разделе проведен анализ наличия кластеров наиболее ликвидных акций российского рынка. Результаты кластеризации отражены на рисунке 2.

Т.к. данный анализ построен на корреляции переменных, то мы видим, что наиболее близкие друг другу переменные это  РАО ЕЭС (EESR), Мосэнерго (MSNG), Сургутнефтегаз (SNGS), Газпром (GSPBEX) и Татнефть (TATN). То есть на протяжении больше чем одного года, котировки данных акций кореллировали друг с другом , причем очень сильно. Учитывая , что это происходило в прошлом , скорее всего так будет и в будущем.

Следующий кластер - Сибнефть (SIBN) и  Ростелеком (RTKM).Также очень зависимы друг от друга.

Рисунок 2

Остальные два кластера имеют большое  расстояние в Евклидовом пространстве, т.е. котировки этих акций не кореллируют между собой.

Для оценки надежности данных высказываний используем метод корелляции Спирмена непараметрической статистики.

Таблица 2 – Насколько надежен первый кластер.

Сравниваемые эмитенты	Коэффициент корелляции   Спирмена R	Уровень значимости  p-level
EESR & GSPBEX	0,806077	0,000000
EESR & TATN	0,785205	0,000000
EESR & MSNG	0,943979	0,000000
EESR & SNGS	0,903574	0,000000
SNGS & EESR	0,903574	0,000000
SNGS & MSNG	0,863814	0,000000
TATN & GSPBEX	0,779617	0,000000
TATN & MSNG	0,753098	0,000000
TATN & SNGS	0,874308	0,000000

Корелляция достаточно сильная, с  уровенм значимости менее 0.05. Вывод : Кластер надежен

Таблица 2 – Насколько надежен  второй кластер (Сибнефть и Ростелеком)

Сравниваемые эмитенты	Коэффициент корелляции   Спирмена R	Уровень значимости  p-level
RTKM & SIBN	0,946897	0,00

Вывод : Кластер надежен, корелляция достаточно высокая , с уровнем значимости менее 0.05