Контрольная по эконометрике

Министерство  образования и науки Республики

Казахстан

 

Казахстанско-Американский Свободный Университет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

По дисциплине «Эконометрика  »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВЫПОЛНИЛ:                 Зубарева О.В.

студент 2 курса,

группа 11-Э-2-Б-ЗС-Р

№ зач. Книжки 11702

 

 

 

 

 

 

 

Усть-Каменогорск, 2012г.

Тема 2. Математические основы регрессионно-корреляционного анализа

 

2.9. Дан ряд распределения случайной величины

 

xi	0	1	2	3
pi	0,06	0,29	0,44	0,21

 

Необходимо: а) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое (стандартное) отклонение случайной величины Х;

                        б) определить функцию распределения F(x) и построить ее график.

 

Решение:

а) находим:

     математическое ожидание случайной величины по формуле

     дисперсию находим по формуле

      

     среднее квадратическое (стандартное) отклонение

 

б) Определяем функцию распределения F (x) и строим её график:

;

< ; F(x) = P(x < 1) = P (x = 0) = 0.06

1 < x ≤ 2; F(x) = P(x < 2) = P(x = 0) + P(x = 1) = 0.06 + 0.29 = 0.35

2 < x ≤ 3; F(x) = P(x < 3) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) = 0.06 + 0.29 + 0.44 = 0.79

x ≥ 3 : F(x) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x = 3) = 0.06 + 0.29 + 0.44 + 0.21 = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.10 Дана функция распределения случайной величины Х:

     

Найти: а) ряд распределения; б) математическое ожидание М (Х) и дисперсию D (Х); в) построить многоугольник распределения и график F_(x).

 

Решение:

а) по формуле находим ряд распределения

 

xi	1	2	3
pi	0,3	0,4	0,3

 

б) математическое ожидание

       

     дисперсию

       

в) построим многоугольник и график

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 2.11 Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале , задана функцией распределения . Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал .

 

Решение:

 

по формуле: ,

 

находим     

 

 

2.12 Случайная величина Х задана функцией распределения

     

Найти: а) плотность вероятности ; б) математическое ожидание М(Х) и дисперсию(Х); в) вероятности Р(Х=0,5), Р(Х<0,5), Р(0,5<Х<1); г) построить графики и F(x) и показать на них математическое ожидание М(Х) и вероятности, найденные в п. в); д) квантиль х_0,3 и 20%-ую точку распределения Х.

 

Решение:

а) Плотность вероятности:

     

 

б) по формуле математическое ожидание:

 

                по формуле дисперсия:

 

 

вначале найдем:

 

теперь 

 

в) Р(Х=0,5) = 0 как вероятность отдельно взятого значения непрерывной случайной величины.

                Р(Х<0,5) можно найти либо по определению функции распределения, либо по формуле, через плотность вероятности : Р(Х<0,5)= F(1) = 0,25

                Р(0,5<Х<1) можно найти либо как приращение функции распределения по формуле , либо по формуле через плотность вероятности :

 

д) по определению

, т.е. , откуда квантиль .

20%-ная точка случайной величины  Х, или квантиль  , находится аналогично из уравнения , откуда

 

 

2.13 Дана функция

 

     

 

При каком значении параметра С эта функция является плотностью распределения некоторой случайной величины? Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

 

Решение:

Непрерывная случайная  величина Х имеет показательный  закон распределения с параметром , если её плотность вероятности имеет вид:

 

         итак С = 1

 

- математическое ожидание:

 

 

- дисперсия:

 

 

 

 

Тема 3. Нелинейные эконометрические модели

 

3.7 Имеются следующие данные об уровне механизации работ Х(%) и производительности труда Н (т/ч) для 14 однотипных предприятий:

 

xi	32	30	36	40	41	47	56	54	60	55	61	67	69	76
yi	20	24	28	30	31	33	34	37	38	40	41	43	45	48

 

Необходимо: а) оценить тесноту и направление связи между переменными с помощью коэффициента корреляции; б) найти уравнение регрессии Y и X.

 

Решение.

Вычислим все необходимые  суммы:

;

;

;

;

               

 

а) Вычислим коэффициент корреляции между переменными Х и Y по формуле:

 

 

 

т.е. связь между переменными  достаточно тесная.

 

б) определяем параметры уравнения регрессии:

- выборочные средние:

(%);

(т/ч);

- выборочную дисперсии переменной Х:

;

 

- выборочный корреляционный момент:

;

Итак, уравнение регрессии Y по Х:

 

   или  

 

 

3.8 При исследовании корреляционной зависимости между ценой на нефть Х и индексом нефтяных компаний Y получены следующие данные:

(ден.ед), (усл.ед), , , .

Необходимо: а) составить уравнение регрессии Y по Х; б) используя уравнение регрессии, найти среднее значение индекса при цене на нефть 16,5 ден.ед.

 

Решение:

 

-коэффициент корреляции

 

 

- коэффициент регрессии  найдем из:

 

 

если х = 16,5, то у = 4003,75

при цене на нефть х = 16,5 индекс нефтяных компаний у = 4003,75

3.9 По данным примера 3.7:

а) найти уравнение регрессии Y по Х;

б) найти коэффициент детерминации R² и пояснить его смысл;

в) проверить значимость уравнения регрессии на 5%-ом уровне по F-критерию;

г) построить для нее 95%-ный доверительный интервал

 

Решение:

 

а) уравнение регрессии

 

   или   (см.задачу 3.7)

 

б) коэффициент детерминации

Коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции.

 

 
т.е. в 94 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами – точность подбора уравнения регрессии – высокая

 

в) F-статистика. Критерий Фишера

 

Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=12, F_табл=4,75

Поскольку F > F_табл, то коэффициент детерминации статистически значим.

 

г) доверительные интервалы для зависимой переменной

 

, где 

 

 

С вероятностью 95% можно  гарантировать, что значение Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

 

3.11 При приеме на работу семи кандидатам было предложено два теста. Результаты тестирования приведены в таблице:

 

Тест	Результаты  тестирования кандидатов (в баллах)
	1-й	2-й	3-й	4-й	5-й	6-й	7-й
1 2	31 21	82 55	25 8	26 27	53 32	30 42	29 26

 

Вычислить коэффициент  ранговой корреляции Спирмена между  результатами тестирования по двум тестам и на уровне =0,05 оценить его значимость.

 

Решение:

Разности рангов и их квадраты поместим в последних двух строках табл.:

 

Тест		Результаты  тестирования кандидатов (в баллах)							Всего
		1-й	2-й	3-й	4-й	5-й	6-й	7-й
1 2	х y	31 21	82 55	25 8	26 27	53 32	30 42	29 26
ранг x, ri		3	1	7	6	2	4	5	28
ранг y, si		6	1	7	4	3	2	5	28
ri - si		-3	0	0	2	-1	2	0	0
(ri - si)2		9	0	0	4	1	4	0	18

 

По формуле  находим коэффициент ранговой корреляции Спирмена: .

Для проверки значимости вычислим по формуле

Критические значения из таблицы t-критерия Стьюдента:

Поскольку < , коэффициент ранговой корреляции статистически – не значим.