Контрольная работа по "Микроэкономике"

     Контрольная работа № 1

     Задача  №1. Для заданной функции полезности U(x₁,x₂) на товары х₁, х₂ определить, какой оптимальный набор товаров выберет потребитель при векторе цен p=(p₁, p₂) и доходе I. Построить аналитические функции спроса x_i=x_i(p₁, p₂, I). Найти максимальное значение функции полезности.

Решение:

1)

а) Размер компенсации  равен

(10-2)-40 = 320.

Однако прежняя  структура потребления не будет  оптимальной при новых ценах  и минимально необходимая компенсация  будет значительно меньше 320.

б) Пусть потребитель  получает дополнительно М руб..

При новых ценах  оптимальный спрос на первое и  второе блага будет равен:

_(140+М)-3 _(140+М)-4

Значение полезности равно:

1/2 2/3 U = X1 X2 =(140+M)-3Y ((140+M)-4

и

M = Vl403-7004 -140 < 211,19.  
211,19 значительно меньше 320.

2)

Соответствующая задача безусловной оптимизации записывается в следующем виде.

Минимизировать 

Приравняв две компоненты градиента L к нулю, получим:         

 

            

 

 

Поставив полученные значения  в уравнение , получим,   т.е. . Следовательно,    

 

      Задача № 2. На основании заданных коэффициентов прямых материальных затрат и объемов конечной продукции в межотраслевом балансе для трех отраслей требуется:  
а) проверить продуктивность матрицы коэффициентов прямых материальных затрат;  
б) рассчитать коэффициенты полных материальных затрат;  
в) найти объемы валовой продукции отраслей;  
г) восстановить схемы межотраслевого материального баланса.

 

     Решение:

     а)

показатели матрицы  U и вектора Y имеют значения:

, а значения вектора X при

расчёте по ф. 30:

то есть полностью  совпадают с исходными.

Налачие двух различных взаимозаменяемых систем коэффициентов (В и U) также свидетельствует о неправомерности и необоснованности какой-либо экономической интерпретации их значений. 

     б) Коэффициент полных материальных затрат показывает, какое количество продукции отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции отрасли.

     Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат, учитывая косвенные материальные затраты до 2-го порядка включительно. Запишем матрицу коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка:

     матрицу коэффициентов косвенных затрат 2-го порядка:

     Таким образом, матрица коэффициентов  полных материальных затрат приближенно  равна:

     в) найти объемы валовой продукции  отраслей

     г) восстановить схемы межотраслевого материального баланса.

     Для получения первого столбца первого квадранта нужно элементы первого столбца заданной матрицы А

     умножить  на величину Х1 = 242,9145; элементы второго столбца матрицы А умножить на Х2 = 194,4145; элементы третьего столбца матрицы А умножить на Х3 = 146,351.

     Составляющие  третьего квадранта (условно чистая продукция) находятся как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.

Задача  № 4. Производственная функция фирмы имеет следующий вид:

     

     Определить  максимальный выпуск, если х₁+х₂+х₃=2*N. Каковы предельные продукты в оптимальной точке?

     Решение:

     Согласно  условиям (8) для задачи на максимум выпуска, должны выполняться:

     max F(x), wx С, х 0.

     Составим  функцию Лагранжа:

     L(x, ) = F(x) + (C-wx),

     итак, L(x, )= + ;

     Дифференцируя заданную функцию по переменным х₁, х₂ , х₃, имеем систему неравенств:

       

     Для решения совокупности неравенств нужно  взять все x, которые удовлетворяют хотя бы одному из данных неравенств

     Решая систему, получим значения: при = 4,061, 0,877.

     Обозначим найденую точку через М. Найдем значение функции Х в полученой точке: 

      11,28. 

     Найдем  предельные продукты по ресурсам в  точке М: