Косвенный метод наименьших квадратов и Двухшаговый метод наименьших квадратов

Федеральное агентство морского и речного  транспорта. Федеральное государственное  образовательное учреждение высшего  профессионального образования

ГОСУДАРСТВЕННАЯ МОРСКАЯ АКАДЕМИЯ

Имени адмирала С.О. Макарова

 

 

 

 

 

 

Доклад по дисциплине

«Эконометрика».

Косвенный метод  наименьших квадратов и Двухшаговый метод наименьших квадратов

 

 

Выполнил курсант 381 группы

Факультет экономики

Антушева Татьяна Сергеевна

Ермаченков Георгий Зурабович

Проверил преподаватель

Кубенский Михаил Николаевич

 

 

 

 

Санкт-Петербург

                                                                            2012

Косвенный метод  наименьших квадратов

В системе одновременных  уравнений каждое уравнение не может  рассматриваться как самостоятельная  часть системы, поэтому оценки неизвестных  коэффициентов данных уравнений  нельзя определить с помощью классического  метода наименьших квадратов, т. к. нарушаются три основных условия применения этого метода:

а) между переменными системы  уравнений существует одновременная  зависимость, т. е. в первом уравнении системы y1 является функцией от y2, а во втором уравнении уже y2является функцией от y1;

б) наличие проблема мультиколлинеарности, т.е. во втором уравнении системы y2 зависит от x1, а в других уравнениях обе переменные являются факторными;

в) случайные ошибки уравнения  коррелируют с результативными переменными.

Следовательно, если неизвестные  коэффициенты системы одновременных  уравнений оценивать с помощью  классического метода наименьших квадратов, то в результате мы получим смещённые  и несостоятельные оценки.

Косвенный метод наименьших квадратов используется для получения оценок неизвестных коэффициентов системы одновременных уравнений, удовлетворяющих свойствам эффективности, несмещённости и состоятельности.

Косвенный метод наименьших квадратов применяется только в  том случае, если структурная форма  системы одновременных уравнений  является точно идентифицированной.

Алгоритм метода наименьших квадратов реализуется в три этапа:

на основе структурной  формы системы одновременных  уравнений составляется её приведённая  форма, все параметры которой  выражены через структурные коэффициенты;

приведённые коэффициенты каждого  уравнения оцениваются обычным  методом наименьших квадратов;

на основе оценок приведённых  коэффициентов системы одновременных  уравнений определяются оценки структурных  коэффициентов через приведённые  уравнения.

Рассмотрим применение косвенного метода наименьших квадратов на примере  структурной формы модели спроса и предложения:

Было доказано, что структурная  форма модели спроса и предложения  является точно идентифицированной, поэтому для определения оценок неизвестных параметров данной модели можно применить косвенный метод  наименьших квадратов.

1) запишем приведённую  форму модели спроса и предложения:

2) определим оценки коэффициентов  приведённой формы модели спроса  и предложения с помощью обычного  метода наименьших квадратов.  Тогда система нормальных уравнений  для определения коэффициентов  первого уравнения приведённой  формы модели будет иметь вид:

Система нормальных уравнений  для определения коэффициентов  второго уравнения приведённой  формы модели записывается аналогично. Решением данных систем нормальных уравнений  будут численные оценки приведённых  коэффициентов A1,A2,A3 иB1,B2,B3;

Для определения по оценкам  приведённых коэффициентов получить оценки структурных коэффициентов  первого уравнения, необходимо из второго  приведённого уравнения выразить переменную It и подставить полученное выражение в первое уравнение приведённой формы модели. Для определения оценок структурных коэффициентов второго уравнения, необходимо из второго приведённого уравнения выразить переменную Pt–1 и подставить полученное выражение в первое уравнение приведённой формы модели.

 

 

 

 

Двухшаговый метод наименьших квадратов

Уравнение называется сверхидентифицированным, если по оценкам коэффициентов приведённой формы системы одновременных уравнений можно получить более одного значения для коэффициентов структурной формы системы одновременных уравнений.

Оценки неизвестных параметров сверхидентифицированного уравнения нельзя рассчитать традиционным и косвенным методом наименьших квадратов. В данном случае для определения неизвестных оценок используется двухшаговый метод наименьших квадратов.

Алгоритм двухшагового метода наименьших квадратов реализуется в четыре этапа:

на основе структурной  формы системы одновременных  уравнений составляется её приведённая  форма;

оценки неизвестных коэффициентов  приведённой формы системы одновременных  уравнений рассчитываются с помощью  традиционного метода наименьших квадратов;

рассчитываются значения эндогенных переменных, выступающих  в качестве факторных в сверхидентифицированном уравнении;

все структурные коэффициенты уравнений системы рассчитываются традиционным методом наименьших квадратов  через предопределённые переменные, входящие в это уравнение в  качестве факторов, и значения эндогенных переменных, полученных на предыдущем шаге.

Как видно из описания данного  алгоритма, традиционный метод наименьших квадратов применяется два раза (для определения оценок эндогенных переменных приведённой формы и  для определения оценок структурных  параметров уравнений системы), поэтому  и получил название двухшагового.

Различают две разновидности  моделей, чьи структурные формы  содержат сверхидентифицированные уравнения:

в модель помимо сверхидентифицированного уравнения также входят точно идентифицированные уравнения;

все уравнения модели являются сверхидентифицированными.

Для моделей первого типа оценки структурных коэффициентов точно идентифицированного уравнения определяются на основании системы приведённых уравнений.

Для моделей второго типа оценки структурных коэффициентов  системы определяются с помощью  двухшагового метода наименьших квадратов.

Если все уравнения  системы точно идентифицированы, то оценки структурных коэффициентов, полученные косвенным методом наименьших квадратов и оценки, полученные двухшаговым методом наименьших квадратов будут одинаковыми.