Модель Курно

Модель Курно — модель равновесия в условиях некооперированной олигополии.

Данная модель была разработана  французским экономистом и математиком  Огюстеном Курно (Augustin Cournot, Recherches sur les Principes Mathematiques de la Theorie des richesses, 1838).

Исходные условия и  основная задача модели

На рынке действуют две схожие фирмы (ситуация дуополии), каждая из которых владеет источником минеральной воды, который она может разрабатывать с одинаковыми издержками. Для простоты они приняты равными нулю. Минеральную воду фирмы реализуют на рынке. Рыночный спрос известен и имеет вид линейной функции:

Р=a-bQ.

Совокупный объем производства двух фирм:

Q=Q1+Q2.

Каждая фирма стремится к  максимизации прибыли, исходя из неизменности объема выпуска конкурента, независимо от того, какой объем выберет она  сама (другими словами, объем выпуска  конкурента принимается как заданная величина). Например, если фирма 1 полагает, что возможный объем выпуска  фирмы 2 равен нулю (т.е. она является единственным производителем и спрос  на ее продукцию совпадает с рыночным спросом), то она производит в точке  оптимума один объем. Если возможный  объем выпуска фирмы 2 будет больше, то фирма 1 скорректирует свой выпуск исходя из остаточного спроса (рыночный спрос минус спрос на продукцию  фирмы 2), т.е. произведет в точке оптимума несколько меньше. И, наконец, если фирма 1 полагает, что ее конкурент покрывает  все 100% рыночного спроса, ее оптимальный  выпуск будет равен нулю.

Таким образом, оптимальный объем производства фирмы 1 будет меняться в зависимости от того, как по ее мнению будет расти объем выпуска фирмы 2.

Основная задача модели — определить при каком объеме выпуска обе фирмы достигают равновесия.

Решение модели

Подставим в уравнение рыночного спроса уравнение совокупного объема производства двух фирм и получим

P=a-b(Q1+Q2).

Выразим прибыли фирм как разность между совокупными доходами и  совокупными издержками каждой из них:

п1=TR1-TC1=PQ1-cQ1,

п2=TR2-TC2=PQ2-cQ2,

где с — средние краткосрочные издержки фирм (для простоты анализа издержки фирм приняты одинаковыми).

Подставим в правые части полученных уравнений развернутое значение Р и получим

п1={a-b(Q1+Q2)}Q1-cQ1=aQ1-bQ12-bQ2Q1-cQ1,

п2={a-b(Q1+Q2)}Q2-cQ2=aQ2-bQ22-bQ2Q1-cQ2.

Условие экономического равновесия предполагает невозможность прироста прибыли  в точке оптимума или, другими  словами, равенство предельной прибыли  нулю:

п1`(Q1)=0,

п2`(Q2)=0,

или

Перепишем эти уравнения следующим  образом

• a-2bQ1-bQ2-c=0,
• a-2bQ2-bQ1-c=0,
• 2bQ1=(a-c)-bQ2,
• 2bQ2=(a-c)-bQ1.

Выразив объем выпуска одной  фирмы через объем выпуска  другой, уравнение кривых реакций дуополистов:

Q1=(a-c)/2b — 0.5Q2,

Q2=(a-c)/2b — 0.5Q1.

Поскольку мы изначально рассматривали  две схожие по издержкам и выпускаемой  продукции фирмы, то их кривые реакции  выражены одинаковыми уравнениями.

Экономический смысл кривых реакции:

Совокупность точек на кривой реакции  показывает, какой будет реакция  одной из фирм при выборе объема своего выпуска на решение другой фирмы относительно величины своего выпуска.

Точка пересечения кривых реакции  обоих дуополистов, совмещенных на единых координатных осях, называется точкой равновесия Курно.

Графическое изображение данных кривых реагирования представлено на рис. 7.1.

На рис. 7.1 R1(Q2) — кривая реакции  дуополиста 1 на величину выпуска, предложенного дуополистом 2, и соответственно R2(Q1) — кривая реакции дуополиста 2 на величину выпуска, предложенного дуополистом 1.

Для того чтобы определить равновесные  объемы выпусков обоих фирм, используем уравнения реакции. Подставим выражение Q2 в уравнение Q1=(a-c)/2b — 0,5Q2 и наоборот, и получим:

Q1*=(a-c)/3b,

Q2*=(a-c)/3b.

В точке равновесия фирма 1 выбирает оптимальный для себя объем производства Q1*, предполагая, что ее конкурент  поддерживает объем выпуска Q2*. В  свою очередь, фирма 2 независимо от фирмы 1 выбирает оптимальный уже для  нее объем Q2*, полагая выпуск своего конкурента равным Q1*. Таким образом никто из олигополистов не желает изменять своего выбора в одностороннем порядке.

Как видно из полученного уравнения  и рис. 7.1, равновесный совокупный объем выпуска обоих фирм, действующих  независимо друг от друга, покрывает  лишь 2/3 рыночного спроса, равного Q=(a-c)/b:

Очевидно, что если бы фирмы могли  договориться о разделе рынка  и действовали как единая монополия, то рынок был бы поделен пополам, и каждая из фирм обеспечивала бы лишь по 1/4 рыночного спроса, реализуя продукцию  по более высоким ценам и получая  соответственно более высокую прибыль.

Доказательство.

Совокупный доход обеих фирм равен 
TR=PQ=(a-bQ)Q=aQ-bQ2.

Следовательно, предельный доход равен MR=a-2bQ.

Совокупные издержки обоих фирм составляют TC=cQ. Соответственно, предельные издержки MC=c.

Таким образом, приравняв предельные издержки к предельному доходу, мы получим оптимальный объем выпуска  обоих фирм при согласованных  действиях:

• MC=MR,
• с=a-2bQ,
• 2bQ=a-c,
• Q=(a-c)/2b.

 

 

 

Антуа́н Огю́ст Курно́ (фр. Cournot; 28 августа 1801, Гре — 30 марта, 1877, Париж) — французский экономист, философ и математик.

Родился в Гре 28 августа 1801. Учился в лицее в Безансоне, в 1821 поступил в Высшую нормальную школу Парижа, в 1823 получил степень лиценциата в области науки, в 1827 – в области права.

Родоначальник математического направления  в политической экономии, был ректором академии в Гренобле, затем в Дижоне. Его теория случая совершенно оригинальна; он первый с успехом приложил математические методы к политической экономии. Его труды, особенно первые, не имели, однако, большого успеха. Ему принадлежат также «Des Institutions d’instruction publique en France» (П., 1864), интересные доклады математического содержания в «Journal» Crelle’я и других сборниках, издание мемуаров маршала Гувион-Сен-Сира(Париж, 1831) и писем Эйлера (Париж, 1842).

Главным вкладом Курно в экономическую науку является Исследование математических принципов теории богатства (1838).

Курно применял свой математический метод лишь к тем экономическим явлениям, которые допускают возможность непосредственного количественного определения, а именно к ценам и доходам. Он составляет кривую спроса, с количествами в виде ординат и ценами в виде абсцисс, определяет цену, при которой обороты достигают максимума, и специально изучает случай монополии, он исследует влияниеналогов на товары, производимые монополистически, конкуренцию производителей на рынке, совокупное действие последних на различных ступенях изготовления товара, образование общественного дохода и изменение его международным взаимодействием рынков. Случай, над теорией которого он работал в других своих сочинениях, представляется ему своего рода положительным элементом в явлениях, возникающих от совместного существования многих независимых друг от друга рядов причин.

Произведения

Его работы по экономике: Исследование математических принципов теории богатства  «Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses» (Париж, 1838) и «Revue sommaire des doctrines économiques» (Париж, 1877), где он критикует закон спроса и предложения. Философские труды: «Exposition de la théorie des chances et des. probabilités» (П.,1843); «Essai sur les fondements de nos connaissances et sur les caractères de la critique philosophique» (П., 1851); «Matérialisme, vitalisme, rationalisme» (П., 1875; этюд о значении естественнонаучных данных для философии). Исторические труды: «Traité de l’enchaînement des idées fondamentales dans les sciences et dans l’histoire» (Дижон, 1861) и «Considérations sur la marche des idées et des événements dans les temps modernes» (П., 1872).