Модели авторегресии

Введение

 

     При построении моделей авторегрессии возникают две серьезные проблемы.

Первая проблема связана с выбором метода оценки параметров уравнения авторегрессии. Наличие лаговых значений результативного признака в правой части уравнения приводит к нарушению предпосылки МНК о делении переменных на результативную (стохастическую) и факторные (нестохастические).

Вторая проблема состоит в том, что поскольку в модели авторегрессии в явном виде постулируется зависимость между текущими значениями результата уt и текущими значениями остатков ut, очевидно, что между временными рядами уt-1 и

ut-1 также существует взаимозависимость. Тем самым нарушается еще одна предпосылка МНК, а именно предпосылка об отсутствии связи между факторным признаком и остатками в уравнении регрессии. Поэтому применение обычного МНК для оценки параметров уравнения авторегрессии приводит к получению смещенной оценки параметра при переменной уt-1.

Одним из возможных методов расчета параметров уравнения авторегрессии является метод инструментальных переменных.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод инструментальных переменных в эконометрике.

 

Метод инструментальных переменных применяется для оценивания параметров линейной эконометрической модели со случайными объясняющими переменными.

 Сущность этого метода состоит в том, чтобы заменить переменную из правой части модели, для которой нарушаются предпосылки МНК, на новую переменную, включение которой в модель регрессии не приводит к нарушению его предпосылок. Применительно к моделям авторегрессии необходимо удалить из правой части модели переменную уt-1. Искомая новая переменная, которая будет введена в модель вместо уt-1, должна иметь два свойства. Во-первых, она должна тесно коррелировать с уt-1, во-вторых, она не должна коррелировать с остатками иt.

      Существует несколько способов получения такой инструментальной переменной. Поскольку переменная уt зависит не только от уt-1, но и от хt,

можно предположить, что имеет место зависимость уt-1 от хt-1, т. е.

               yt-1= d₀ + d₁ ∙ xt-1 + иt.                                                                         (1)

Таким образом, переменную y_t-1 можно выразить следующим образом:

            yt-1 = yt-1 + ut,                                                                                               (2)

где     yt-1 = d₀ + d₁ ∙ xt-1.                                                                                       (3)

Найденная с помощью последнего уравнения (его параметры можно искать обычным МНК) оценка yt-1 может служить в качестве инструментальной переменной для фактора y_t. Эта переменная, во-первых, тесно коррелирует с yt-1,  во-вторых, как показывает соотношение (3), она представляет собой линейную комбинацию переменной для которой не нарушается предпосылка МНК об отсутствии зависимости между факторным признаком и остатками в модели регрессии. Следовательно, переменная yt-1 также не будет коррелировать с ошибкой иt. Таким образом, оценки параметров уравнения можно найти из соотношения

y_t = a + b₀-xt + c₁- yt-1 + vt,                                                                                         (4)

предварительно определив по уравнению (3) расчетные значения yt-1.

Допустимо использовать также следующую модификацию этого метода. Подставим в модель             

y_t = a + b₀-xt + c₁- yt-1 + εt                                                                                        (5)        

вместо yt-1 его выражение из уравнения (1):

y_t = a + b₀ ∙ x_t + c₁∙(d₀ + d₁ ∙ x_t-1 + ut )+ εt.                                                         (6)

Получим следующую модель:

уt=(а+с1∙ d₀)+b₀∙x_t+c₁∙d₁-хt-1+(с1∙ иt + εt).                                                              (7)            

       Уравнение уt-yt-1=β∙(уt*-yt-1)+vt представляет собой модель с распределенным лагом, для которой не нарушаются предпосылки обычного МНК, приводящие к несостоятельности и смещенности оценок параметров. Определив параметры моделей (1) и (7), можно рассчитать параметры исходной модели (5) а, b₀ и c₁. Модель (7) демонстрирует еще одно важное свойство изложенного выше метода инструментальных переменных для оценки параметров моделей авторегрессии: этот метод приводит к замене модели авторегрессии на модель с распределенным лагом.

Отметим, что практическая реализация метода инструментальных переменных осложняется появлением проблемы мультиколлинеарности факторов в модели (4): функциональная связь между переменными yt-1 и х_t-1 приводит к появлению высокой корреляционной связи между переменными yt-1 и x_t. В некоторых случаях эту проблему можно решить включением в модель (4) и соответственно в модель (5) фактора времени в качестве независимой переменной.

 

            

 

Список использованной литературы

 

1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ, 2005

2. Елисеева И.И. Эконометрика: учебник. – М.: Финансы и статистика, 2004

3. Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. Эконометрика: учебник. – М.: Экзамен, 2003