Нарушения допущений классической модели линейной регрессии

 

Рисунок 7 – Расчетная таблица для проведения теста Спирмена для x₂

Тогда

В нашем примере  статистика Стьюдента равна:

Табличное значение статистики Стьюдента составит t(0,05; 23)=2,0687.

Таким образом, мы получили, что расчетное значение больше табличного, следовательно, гипотеза о гетероскедастичности принимается на уровне значимости 5%.

Рассчитаем  теоретические значения для x₃ по уравнению регрессии и найдем остатки. Ранжируем совокупность по возрастанию (рисунок 8).

 

№        п/п	y	x3	Теоритическое y	Остатки	Модуль  остатков	Ранг x	Ранг u	d2
1	45,4	1,2	45,680	-0,280	0,280	1	9	64
2	45,6	6,7	45,831	-0,231	0,231	2	7	25
3	45,7	7	45,840	-0,140	0,140	3	6	9
4	46,3	7,8	45,862	0,438	0,438	4	11	49
5	45,8	9,7	45,914	-0,114	0,114	5	4	1
6	46,9	12,4	45,988	0,912	0,912	6	21	225
7	45,9	12,5	45,991	-0,091	0,091	6	3	9
8	46,7	14,6	46,049	0,651	0,651	7	15	64
9	46,9	17,2	46,121	0,779	0,779	8	19	121
10	46,9	17,9	46,140	0,760	0,760	9	18	81
11	46,7	18,8	46,165	0,535	0,535	10	13	9
12	47	19	46,170	0,830	0,830	11	20	81
13	46,3	20,5	46,212	0,088	0,088	12	2	100
14	45,7	23,4	46,292	-0,592	0,592	13	14	1
15	46,6	24,8	46,330	0,270	0,270	14	8	36
16	45,9	27,8	46,413	-0,513	0,513	15	12	9
17	46,3	28	46,418	-0,118	0,118	16	5	121
18	45,4	30,5	46,487	-1,087	1,087	17	23	36
19	47,6	30,7	46,493	1,107	1,107	18	24	36
20	44,1	38	46,694	-2,594	2,594	19	25	36
21	46,1	40,6	46,766	-0,666	0,666	19	16	9
22	46,8	41,2	46,782	0,018	0,018	20	1	361
23	46,4	61,5	47,342	-0,942	0,942	21	22	1
24	49,1	100,6	48,419	0,681	0,681	22	17	25
25	51,9	216,1	51,602	0,298	0,298	23	10	169
							Сумма:	1678

Рисунок 8 – Расчетная таблица для проведения теста Спирмена для x₃

Тогда

В нашем примере  статистика Стьюдента равна:

Табличное значение статистики Стьюдента составит t(0,05; 23)=2,0687.

Таким образом, мы получили, что расчетное значение меньше табличного, следовательно, гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается на уровне значимости 5%.

 

Тест Уайта (White test).

 

Тест  Уайта позволяет оценить количественно  зависимость дисперсии ошибок регрессии  от значений фактора x, используя квадратичную функцию:

,

где - нормально распределенная ошибка.

Рисунок 9 – Вывод итогов вспомогательной  регрессии теста Уайта

 

Оцениваем вспомогательную регрессию;

Гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается  в случае незначимости регрессии в целом.

В нашем примере  вспомогательная регрессия принимает  вид:

Уравнение статистически  незначимо на уровне значимости . Следовательно, гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается.

 

2. По  всем проведенным тестам можно  сделать вывод о гомоскедастичности  регрессионных остатков. В противном  случае для устранения гетероскедастичности необходимо применить к исходным данным обобщенный метод наименьших квадратов в предположении, что .

Рисунок 10 – Вывод итога ОМНК

Исходное уравнение  преобразуем делением правой и левой  частей на x₂: . К нему применим МНК. Полученное уравнение имеет вид:

Получены новые  оценки параметров линейного уравнения, в котором смягчена гетероскедастичность.

 

3. Метод рядов

Последовательно определяются знаки остатков .

Ряд определяется как непрерывная последовательность одинаковых знаков. Количество знаков в ряду называется длиной ряда.

Пусть n — объем выборки;

n₁ — общее количество знаков «+» при n наблюдениях;

n₂ — общее количество знаков «-» при n наблюдениях;

k — количество рядов.

Если при  достаточно большом количестве наблюдений (n₁>10, n₂>10) количество рядов k лежит в пределах от k₁ до k₂:

то  гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется.

 

Рисунок 11 – Расчет характеристик метода рядов

 

Найдя знаки  отклонений теоретических уровней от фактических, мы получили, что в анализируемой выборке содержится 15 рядов, т.е. k=15 (рисунок 11). Общее количество знаков «+» n₁=14, количество знаков «-» n₂=11.

Подставим найденные значения в формулу, получим, что k₁=7,509, k₂=19,131. Следовательно, гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется.

 

Критерий  Дарбина – Уотсона

 

Для проверки автокорреляции первого порядка необходимо рассчитать критерий Дарбина—Уотсона. Он определяется так:

Выдвигается гипотеза Н₀ об отсутствии автокорреляции остатков. При сравнении расчетного значения статистики (DW<2) с d_l и d_u возможны следующие варианты.

1. Если DW< d_l , то гипотеза Н₀ отвергается
2. Если DW > d_u, то гипотеза Н₀ не отвергается.
3. Если d_l< DW< d_u, то нельзя сделать определенного вывода по имеющимся исходным данным (зона неопределенности).

При DW > 2, то с табличными значениями сравнивается величина (4-DW).

 

Рисунок 12 – Расчет критерия Дарбина – Уотсона

 

В результате проведенных  расчетов получено значение критерия Дарбина - Уотсона DW=2,203 (рисунок 12). Так как оно больше 2, то с критическими значением сравниваем величину 4-DW=1,797. Оно больше d_u следовательно мы не можем отвергнуть гипотезу Н₀ – в ряду остатков отсутствует автокорреляция первого порядка.

 

Q-тест Льюинга – Бокса

 

Использование данного теста предполагает использование Q- статистики, значение которой определяется по формуле:

где - выборочные значения автокорреляционной функции;

- величина лага;

n – число наблюдений.

Q- статистика имеет - распределение с степенями свободы. Если Q - статистика меньше табличного , то гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается.

Рассчитаем  для нашей задачи Q- статистику. Для этого необходимо определить коэффициенты автокорреляции. Максимальная величина лага не должна превышать ¼ числа наблюдений, т.е. в рассматриваемом примере . Следовательно нужно определить автокорреляции до шестого порядка. (рисунок 13).

 

Рисунок 13 – Расчет Q-статистики Льюинга - Бокса

 

Подставив полученное значение в формулу, получим:

.

Табличное значение .

Фактическое значение статистики меньше критического, следовательно, гипотеза принимается, т.е. в ряду остатков отсутствует  автокорреляция.