Применение комплексных чисел для решения прикладных задач

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат

на тему: «Применение комплексных чисел для решения прикладных задач»

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:

Москаленко  Дмитрий

студент 27 группы 

Комплексные числа - числа вида  , где   и   — действительные числа,   — мнимая единица; то есть  . Множество всех комплексных чисел обычно обозначается   от лат. complex — тесно связанный.

История развития.

История возникновения комплексных чисел была самой сложной среди других видов чисел. Первое их упоминание в истории, можно отнести к 50 веку до нашей эры. Тогда студент Герон из Александрии, пытаясь вычислить объем пирамиды столкнулся с тем, что должен был взять квадратный корень из разности 81-144. Но тогда он посчитал это невозможным и очень быстро сдался. «Звездный час» комплексных чисел настал в 1545 году, когда итальянский математик Джироламо Кордано предложил создать новый вид чисел. Он предположил, что система уравнений, не имеющая решений в области действительных чисел, вполне может иметь решением числа новой природы. Только нужно было условиться как всем действовать над такими числами. Но даже сам Кордано считал эти числа бесполезными и всячески старался их не использовать.

История возникновения комплексных  чисел получила свой новый виток  уже в 1552 году, когда итальянский  математик Рафаэль Бомбелли в  своей книге установил первые правила арифметических операций над  такими числами.

Сам термин «комплексные числа» был введен Гауссом в 1831 году. История возникновения комплексных чисел после этого начала набирать свои обороты. Многие математики признали и стали изучать их. И на самом деле, с комплексными числами можно совершать гораздо больше математических действий и применять их гораздо чаще, чем мы думаем.

 

Если говорить об эволюции понятия числа, надо сказать, что не всегда первым толчком к  расширению понятия числа были непосредственно практические потребности людей, в узком смысле этого слова. Комплексные числа, как и отрицательные, возникли из внутреннего развития математической науки, из практики решения алгебраических уравнений.

Уже в VII в.н.э. было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения – положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя: нет такого числа х, чтобы х² = -9.

В XVI веке в связи  с изучением кубических уравнений  оказалось необходимым извлекать  квадратные корни из отрицательных  чисел. Первым учёным, предложившим ввести числа новой природы, был Джорж Кордано. Он предложил   · = a. Кордано назвал такие величины “чисто отрицательными” или даже “софистически отрицательными”, считая их бесполезными и стремился не применять их.

И всё-таки пришлось допустить такие корни в науку, когда другой итальянский учёный Бомбелли в 1572 году выпустил книгу, в  которой были установлены первые правила арифметических операций над  комплексными числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

Название “мнимые  числа” ввёл в 1637году французский математик  и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века – Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова  imaginare (мнимый) для обозначения числа   (мнимой единицы); этот символ вошёл во всеобщее употребление.

В течение XVIII века продолжалось осуждение арифметической природы мнимостей, возможности  дать им геометрическое истолкование.

Постепенно развилась  техника операций над комплексными числами. На рубеже XVII-XVIIIв.в. была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а потом из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра:   = .

В конце XVIII-начале XIX в.было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин Вессель, француз Арган и немец Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число   точкой М(а,в) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что ещё удобнее изображать число не самой точкой, а вектором  , идущим в эту точку из начала координат.

В настоящее время  комплексные числа используются в математике гораздо шире, чем  действительные. С помощью комплексных  чисел исследуется течение воды, полёт ракет и самолётов. Они  применяются при вычерчивании географических карт, и многих других науках.

Задачи.

Задача 1.  Множество Е состоит из всех комплексных чисел z, таких, что,  . Найдите все такие числа z_о, что для любых z₁ и z₂ из Е  .

Решение

9х²+9у² = (х+4)² + (у-8)²

9х² – х² – 8х – 16 + 9у² – у² + 16у – 64 =0

8х² – 8х – 16 + 8у² + 16у – 64 =0

х² – х – 2 + у² + 2у – 8 =0

(х – 0,5)² + (у + 1)² = 11,25

Окружность с  центром (0,5; -1)

Ответ: z_о = 0,5 – i

 

Задача 2. Пусть Р(z) – многочлен второй степени. Известно, что его корнями являются числа -1 и i, а Р(0) = 2. Изобразите на комплексной плоскости множество всех комплексных чисел, таких, что P(z) – действительное число.

Решение

P(z) = az² +bz + c.

Т.к -1 и i – корни, то по теореме Виета

P(z) = a(z² + (1-i)z – i)

z = x + yi

т. к P(o) = 2, то

P(0) = а(0+ 0 – i)

а( – i) = 2

Тогда имеем

b = 2i + 2

P(z)= P(x + yi)= 2i(x + yi)² + (2i + 2)(x + yi) + 2=

= 2i(x² +2xyi + y²i²) + 2xi + 2x + 2yi² + 2yi + 2=

= 2x²i + 4xyi² – 2y²i + 2xy + 4x + 2yi² + 4yi +2=

= (– 4xy + 2x + 2 –  2y) + (2x² – 2y² + 2x + 2y)i

Т.к. по условию P(x + yi) – действительное число, то

x² – y² + x + y = 0

(x – y)(x + y) + (x + y) = 0

(x + y)(x – y + 1) = 0

 

Задача 3. Среди всех комплексных чисел z, таких, что  , есть ровно одно число, аргумент которого равен   . Найдите это число.

Решение

Т.к. аргумент равен  , то его действительная и мнимая части противоположны. Причём действительная часть со знаком “-”, а мнимая “+”, тогда z = – x +xi, x > 0

(2 – x)² + (x – 3)² = a²

4 – 4x + x² + x² – 6x + 9 = a²

2(x – 2,5)² – 12,5 + 13 = а²

2(x – 2,5)² = а² – 0,5

(x – 2,5)² = 0,5(а² – 0,5)

По условию ровно  одно число удовлетворяет этому  соотношению. Значит, уравнение должно иметь кратный корень, что возможно только лишь при    (а – число неотрицательное).

x = 5/2  = 2,5

Ответ: z = – 2,5 + 2,5i

 

Задача 4. Пусть  . Найдите модуль и один из аргументов числа 

Решение

Ответ: