Применение моделей динамического программирования для решения управленческих задач

 

Шаг 4.

Необходимо осуществить процедуру  оптимального распределения ресурсов между комплексом 1,2,3,4 и отраслью 5. Полученный результат и даст оптимальное решение поставленной задачи.

Т.к. по условию задачи на все 5 отраслей выделено 500 условных единиц, то нет смысла искать оптимальные значения для промежуточных значений объема выделяемых средств.

Х1,2,3,4,5	Х1,2,3,4	Х5	V1,2,3,4,5
500	500	0	10
	0	500	6,5
	300	200	6,5+2,5=9
	200	300	4,5+3,5=8
	400	100	8+2,2=10,2*
	100	400	2,5+6=8,5

 

Согласно полученным результатам, оптимальным будет следующее  распределение ресурсов:

i	1	2	3	4	5
Xi	100	200	0	100	100
	100	100	100	100	100

 

Этому распределению соответствует  максимальное значение функции полезности V=10,2 усл.ед.

 

Условие задачи:

Автозавод имеет 4 цеха по производству различных типов автомобилей. 1 – легковые, 2 – джипы, 3 – автобусы, 4 – грузовики.

Зависимость прироста продукции каждого  из цехов (f (x)) вкладывающих средств (x_n) приведена в таблице 1.

x	F1 (x)	f2 (x)	f3 (x)	f4 (x)
0	0	0	0	0
100	4	2	2	4
200	5	3	2	4
300	5	6	3	5
400	8	6	2	6

 Найти оптимальное распределение  средств между цехами на один  год. Общее количество средств,  которое необходимо распределить  наилучшем образом равно 400 условных  единиц. Дискретизация распределения равна 100.

 Решение задачи:

1). Предположим, что задача полностью  решена. Распределим ресурс Х_1,2  между цехами 1 и 2. Рассмотрим все возможные варианты и найдем оптимальное сочетание распределения.

Х1,2	Х1		Х2		V1,2,		Возможное распределение ресурсов
0	0		0		0		0
100	100		0		4 + 0 = 4		(100, 0)
	0		100		0 + 2 = 2
200	200		0		5 + 0 = 5
	0		200		0 + 3 = 3
	100		100		4 + 2 =6		(100, 100)
300	300		0		5 + 0 = 5
	200		100		5 + 2 = 7		(200, 100)
	100		200		4 + 3 = 7		(100, 200)
	0		300		6
400	400		0		8 + 0 = 8
	300		100		5 + 2 = 7
	200		200		5 + 3 = 8
		100		300		4 + 6 = 10		(100, 300)
		0		400		0 + 6 =6

 

2). Рассмотрим цеха 1 и 2 как один  цех и найдем оптимальное распределение  ресурсов между этим цехом  и цехом 3, воспользовавшись результатами  из предыдущей таблицы.

 

Х1,2	Х1,2	Х3	V1,2,3	Возможное распределение ресурсов
0	0	0	0	0
100	100	0	4 + 0 = 4	(100, 0, 0)
	0	100	0 + 2 = 2
200	200	0	6 + 0 = 6	(100, 100, 0)
	100	100	4 + 2 = 6	(100, 0, 100)
	0	200	0 + 2 =2
300	300	0	7 + 0 = 7
	200	100	6 + 2 = 8	(100, 100, 100)
	100	200	4 + 2 = 6
	0	300	0 + 3 =3
400	400	0	10 + 0 = 10	(100, 300, 0)
	300	100	7 + 2 = 9
	200	200	6 + 2 = 8
	100	300	4 + 3 = 7
	0	400	0 + 2 =2

 

3). Рассмотрим 1, 2, 3 цеха, как один  цех. Найдем оптимальное распределение  ресурсов между ними и цехом 4. По условию задачи выделено 400 условных единиц. Нет смысла искать оптимального значения для промежуточных значений.  

Х1,2,3,4	Х1,2,3	Х4	V1,2,3,4	Возможное распределение ресурсов
400	400	0	10 + 0 = 10	(100, 100, 100, 100)
	300	100	8 + 4 = 12
	200	200	6 + 4 = 10
	100	300	4 + 5 = 9
	0	400	0 + 6 = 6

 

 

Заключение:

Согласно полученным результатам, оптимальным будет следующее  распределение ресурсов.

	номер цеха	номер цеха	номер цеха	номер цеха
	1	2	3	4
X	100	100	100	100

 

Вывод:

Максимальное значение функции полезности V = 12 условных единиц.

Заключение.

Подводя итоги работы, можно сделать  вывод, что в  целом динамическое  программирование  представляет  собой достаточно простую теорию для применения в различных видах деятельности при решении как линейных, так и нелинейных задач. А  возможность упрощения процесса решения, которая достигается за счет ограничения области и количества, исследуемых при переходе  к  очередному  этапу  вариантов,  увеличивает  достоинства  этого метода.

Вместе с тем динамическому программированию свойственны и недостатки. Метод динамического программирования не универсален, и почти  каждая  задача, решаемая  этим методом,  характеризуется  своими  особенностями  и  требует проведения поиска наиболее приемлемой совокупности методов для ее решения. Кроме того, большие объемы и трудоемкость решения многошаговых задач, имеющих множество состояний, приводят к необходимости  отбора  задач малой  размерности  либо  использования  сжатой  информации.

 

Список литературы.

1. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. 400 с.
2. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов /Н.Ш. Кремер, БА. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2002. - 407 с.
3. Ломкова Е.  Н.  ,  Эпов А.  А.  .  Экономико-математические  модели управления  производством (теоретические аспекты):  Учеб.  пособие /ВолгГТУ, Волгоград, 2005. – 67 с.
4. Баллод Б.А. Методы и алгоритмы принятия решений в экономике: учеб. пособие/ Б.А. Баллод, Н.Н. Елизарова. – М.: Финансы и статистика; ИНФРА-М, 2009. – 224с.
5. Надеев А.Т., Данилова О.С., Прохорова Е.С. Разработка управленческих решений: учеб. пособие. – 2-е изд., испр. и доп. – Н.Новгород: Изд-во ВВАГС, 2007. – 116с.
6. Павленков М.Н., Куликов, А.Л. Методы и модели принятия управленческого решения в экономических системах. – Н.Новгород: Изд-во ВВАГС, 2004. – 322с.
7. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов. – М.: Высш. Шк., 1986. – 316с.
8. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. – 2-е изд., стер. – М.: Наука, 1988. – 208с.

 

¹ Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. лит., 1960, с. 105.

² Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. – 2-е изд., стер. – М.: Наука, 1988, с.86-87.

³ Там же, с 87-88.

⁴ Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов. – М.: Высш. Шк., 1986, с.300.