Прямые и полные затраты в модели Леонтьева

Прямые  и полные затраты  в модели Леонтьева 

Выполнила: Гривцова Инга, группа 2Э12 

Национально Исследовательский Томский Политехнический  Университет 

Томск 2011

Модель Леонтьева 

    

• Задается  матрицей прямых затрат А=[а_ij];
• а_ij – количество продукции i-й отрасли, расходуемое на изготовление и производство одной единицы продукции j-й отрасли;
• Числа а_ij – коэффициенты прямых затрат j-й отрасли, характеризуют технологию этой отрасли;

• Пусть Х=(x_j) – вектор валового производства.
• Тогда АХ – израсходованные в процессе производства ресурсы.
• Непроизводственная сфера С=Х-АХ.
• Для производства С нужно АС ресурсов. На их производство в свою очередь необходимо А(АС)=А^2·С, это потребует А(А^2·С)=А^3·С ресурсов и т.д.

Полные  затраты 

    

• Таким  образом, полные затраты есть сумма бесконечного ряда.

 
 
    

• Если доказать, что такая сумма существует, то справедливо равенство:

• Для матрицы  А число λ называют собственным числом, если существует вектор Y (Y≠0), такой что АY= λY.
• Такой вектор Y называют собственным вектором, отвечающим данному собственному числу λ.
• Вектор, пропорциональный данному, также является собственным вектором, отвечающим этому же собственному числу λ.

Утверждение: 

    

• Модель Леонтьева  с матрицей А продуктивна тогда  и только тогда, если матрица имеет  собственное число λ_А<1 (оно также является наибольшим по модулю из всех собственных чисел матрицы.
• Если матрица А имеет такое λ_А, то можно доказать, что                   и формула верна.

Пример 

    

• Для матрицы  А           найти  собственные числа и собственные  вектора.
• По определению

      АY= λY или (A- λE)Y=0

• Имеем однородную СЛАУ

• Чтобы данная СЛАУ имела ненулевое решение: det A=0

Задача 

    

• Найдите закон изменения стоимости набора товаров Х=(5,10). Опишите как меняется в зависимости от цен бюджетное множество при неизменном доходе, равном 60

 
 
    

• Пусть вектор цен в пространстве двух товаров  изменяется по закону

Решение 

    

• Стоимость набора изменяется по закону последовательности

Решение 

    

• Крайняя левая  точка бюджетного множества

Решение 

    

• Крайняя правая точка бюджетного множества

Ответ 

    

• Стоимость набора изменяется по закону последовательности

 
    

• Бюджетное множество меняется по закону

Спасибо за внимание!