Аксонометриялық проекциялар

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия  ұлттық университеті  
Аксонометриялық проекциялар

 

Негізгі түсініктемелер

Аксонометриялық проекциялауда берілген пішінмен байланыстырылған тік бұрышты координаттар өстерінің  проекциялары қарастырылады.  1-cуретте  А нүктесін аксонометриялық проекциялар жазықтығы ретінде алынған жазықтығына проекциялау көрсетілген. Нүкте алдын - ала өзіне тиісті Охуz координаттар жүйесімен байланыстырылған; проекциялау бағытын нұсқама көрсетіп тұр (оны координаттар өстеріне параллель алуға болмайды).

x, у, z түзулері  кеңістіктегі координаттар өстері ал х', у', z'  түзулері - олардың жазықтығындағы проекциялары - аксонометриялық өстер. А нүктесімен бірге оның Оху жазықтығындағы тік бұрышты проекциясы – А₂ нүктесінің проекциясы (A'₂) берілген. Бұл нүкте А нүктесінің екінші (қосалқы) проекциясы деп аталады. О'А'_xА'₂А' сынық сызығы координаттар сынық сызығының (ОА_xА₂А-ның) аксонометриялық проекциясы болады.

1-сурет

Кеңістіктегі өзара параллель  сызықтардың аксонометриялық проекциялары параллель болатынына назар аударыңыздар!

х, у, z, өстері бойларын |ОХ|=|ОУ|=|ОZ| кесінділерін салайық (бұл кесінділерді өлшеу бірлігі ретінде қабылдап, натурал бірлік деп атауға болады). [O'X'], [O'Y'], [O'Z'] кесінділері осы натурал бірліктің аксонометриялық проекциялары болып табылады; жалпы жағдайда олар өзара тең емес. Бұл кесінділер аксонометриялық өстер бойынша өлшеу бірліктері - аксонометриялық бірліктер болады.

 - қатыстары аксонометриялық өстер бойынша бұрмалану көрсеткіштері деп аталады. Оларды әр өске сәйкес k_х, k_у, k_z деп белгілейік.

 

Аксонометрияның негізгі теоремасы

Натурал координаттар жүйесі мен аксонометриялық проекциялар  жазықтығының өзара орналасуы және проекциялау бағытының әр түрлі өзгеруі себептерінен алуан аксонометриялық проекцияларды алуға болады. Олар бір-бірімен аксонометриялық өстердің бағытымен және бұрмалану көрсеткіштерімен айырылады.  

2-сурет

Осыған байланысты К.Полькенің мына теоремасын келтірейік: бір жазықтықта жатқан, бір нүктеден өзара кез-келген бұрыш жасап тарайтын, ұзындықтары кез-келген шамаға тең үш кесінді тік бұрышты координаттар өстеріне бас нүктеден салынған бір-біріне тең үш кесіндінің параллель проекциялары бола алады. Бұл теореманың маңыздылығы соншалық, оны параллель аксонометрияның негізгі теоремасы деп атайды.

 

Аксонометриялық проекциялардың түрлері

Проекциялау бағытына байланысты аксонометрия екі түрге  бөлінеді:

1. Тік бұрышты аксонометриялық проекциялар (проекциялау бағыты аксонометрия жазықтығына перпендикуляр);
2. Киғаш бұрышты аксонометриялық проекциялар (проекциялау бағыты аксонометрия жазықтығына перпендикуляр емес);

Егер бұрмалану  көрсеткішінің үшеуі де бір-біріне тең болса (k_х=k_y=k_z), онда аксонометриялық проекция изометриялық деп аталады; егер бір-біріне тек қана екі көрсеткіш тең болса (мысалы k_х=k_y≠k_z немесе k_х ≠k_y=k_z), онда проекция диметриялық деп аталады; ал егер k_х≠k_y≠k_z болса, онда проекция триметриялық болады.

2.317-69-шы мемлекеттік стандарт өнеркәсіп пен құрылыстың барлық салаларында пайдаланатын сызбаларда аксонометрияның бес түрін қолдануға ұсыныс жасайды. Бұларға жататындар: екі тік бұрышты (изометриялық пен диметриялық) және үш қиғаш қиғаш бұрышты (фронталь жәе горизоталь изометрия мен фронталь диметрия). Аксонометрияның бұл түрлерін стандарт проекциялар дейді.

 

Бұрмалау  көрсеткіштері мен проекциялау  бағыты арасындағы байланыс

Проекциялаушы сәулелер мен проекция жазықтығы  арасындағы бұрышты  деп белгілейік.

Бұрмалану көрсеткіштері  мен проекциялау бағытын анықтайтын бұрыш былай байланысады:

                                                               (1)

Тік бұрышты аксонометрияда

                                         (2)

себебі  ctg

 

Стандарт аксонометриялық проекциялар

Стандарт тік  бұрышты аксонометриялар

1. Изометрияда k_х=k_y=k_z, сондықтан (2)-ге сүйеніп олардың әрқайсысы шамамен 0,82-ге тең екенін анықтаймыз. Бұрмалану көрсеткіштерінің өзара теңдігінен мына теңдік пайда болады: cos =cos =cos .

Демек, -тең қабырғалы үшбұрыш, яғни тік бұрышты изометрияда аксонометриялық өстер өзара тең (360˚:3=120˚) бұрыш жасайды (3, а-сурет).

3-сурет

2. МЕСТ 2.317-69 диметрияда k_х=k_z, k_y=0,5 k_х деп алуды ұсынады.

(2)-ден k_х=k_z 0,94; k_y 0,47 екенін анықтаймыз.

Өстер арасындағы бұрыштар:

(x’^z’)=97 10’, (x’^z’)=180 -45 38=131 25’ (3, ә-сурет)

3. Енді айтып кететін жәйт: жоғарыда табылған бұрмалану көрсеткіштері өте қолайсыз, сондықтан олардың орнына келтірілген көрсеткіштерді пайдаланған жөн. Мысалы, изометрияда k^*_х=k^*_y=k^*_z, ал диметрияда k^*_х=k^*_z=1, k^*_y=0,5 деп қабылдайды.

Тік бұрышты диметрия

 

Тік бұрышты диметрия туралы жалпы мәліметтер

Бұрмалану көрсеткіштері және аксонометриялық өстердің орналасуы. Диметриялық проекцияда (қысқаша диметрияда) х’ және z’ өстері бағытындағы бұрмалану көрсеткіштерін тең етіп, ал у’ өсі бағытындағы бұрмалану көрсеткішін олардың жартысына тең деп алады. Сонда аксонометрияның негізгі формуласынан мыналарды аламыз:

Стандарт бойынша х’ және z’ өстері бағытындағы бұрмалану көрсеткіштерін бірге тең деп, дөңгелектейді: U=W=1; V=0,5. Сонда фигура абцисса және аппликата өстері бағытында натурал шамаларына, ал ордината өсі бағытында бұрмаланып кескінделеді. U=W=1 және V=0,5 келтірілген бұрмалану көрсеткіштері деп аталады. Аксонометриялық өстердің аралығындағы бұрыштар (х’, z’) =97 10’ және (х’,^у’) = (y’,^z’) = 131 25’-қа тең болады. Кескіннің масштабы 1.06:1 (4, а-сурет). Аксонометриялық өстерді іс жүзінде былай тұрғызады: өсін вертикаль орналастырады; оның бойынан О’ нүктесін белгілеп, бұл нүктені аксонометриялық координаттар жүйесінің бас нүктесі ретінде қабылдaйды. Осы О’ нүктесі арқылы горизанталь түзу жүргізіп, оның бойына қалауымызша алынған өзара 8 тең кесінді салынады (4, ә-сурет). Ең соңғы кесіндінің ұшы арқылы z’ өсіне параллель түзу жүргізіледі. Осы түзуге төмен қарай 1 кесінді, ал жоғары қарай 7 кесінді салынады. Соңғы кесінділердің ұзындығы алдыңғы кесінділердің ұзындығына тең болуы тиіс. Шеткі нүктеледі координаттар жүйесінің бас нүктесімен қосса, аксонометриялық абсциссалар (x’) және ординаталар (y’) өстері шығады.

4-сурет

Координаттар  жазықтықтарында немесе оларға параллель  жазықтықтарда жататын шеңберлердің кескіндері. xOz жазықтығына параллель орналасқан щеңбер 1-эллипске проекцияланады (5-сурет).

Бұл суретте  кескінделген үш эллипстің үлкен  өстері |A’B’| = 1,06d болады. Мұндағы d – кескінделген шеңбердің диаметрі. Үлкен өс кескінделген щеңберге параллель координаттар жазықтығының белгілеуінде жоқ өстің проекциясына перпендикуляр болады: 1-эллипстің үлкен өсі y’-қа, 2-эллипстің үлкен өсі z’-қа, 3-эллипстің үлкен өсі x’-қа перпендикуляр орналасады. 1-эллипстің кіші өсі |C’D’| = 0,95d теңдігінен, ал 2- және 3-эллипстердің кіші өстері |C’D’| = 0,35d теңдігінен анықталады. 2-эллипс xOy жазықтығына параллель шеңберге, ал 3-эллипс yOz жазықтығына параллель шеңберге сәйкес болады.                                                            

Эллипстің аксонометриялық өстерге параллель орналасқан диаметрлерінің ұзындығын мынадай теңдіктерден анықтауға болады: |E’F’| = |M’N’| = d; |K’L’| = 0,5d.

Диметрияда 1-эллипстің  орнына сызылатын сопақшаны былай  сызуға болады (6-сурет): x’ және z’ өстері бағытында бұрмалану болмайтынын ескеріп E’, F’, M’ және N’ нүктелерін анықтайды; одан кейін E’ және F’ нүктелері арқылы горизонталь түзулер жүргізеді, ал олар y’ өсін О₁ және О₂ нүктелерінде және үлкен өспен О₃ және О₄ нүктелерінде қиылысады; Е’ және М’ нүктелерін центрі О₁ нүктесі                                                       5-сурет

болатын шеңбер доғасымен, F’ және N’ нүктелерін центрі О₃ нүктесі болатын шеңбер доғасымен, M’ және F’ нүктелерін центрі О₄ нүктесі болатын шеңбер доғасымен қосады. 2-эллипс (6-сурет) 5, ә-суреттегі сопақшамен алмастырылады. Оның үлкен өсі z’ өсіне перпендикуляр болады. Мына теңдік:

6-сурет

|E’F’| = |O’O₁| = |O’O₂| = d ескеріліп және нүктелері анықталады. О₁Е’ түзуі үлкен өсті О₃ нүктесінде, O₂F’ түзуі O₄ нүктесінде қияды. Енді центрі О₁ нүктесі болатын шеңбер доғасы E’ нүктесінен О₁О₄ түзуіне дейін, центрі О₂ нүктесі болатын шеңбер доғасы F’ нүктесінен О₂О₃ түзуіне дейін, центрі О₃ нүктесі болатын шеңбер доғасы E’ нүктесінен О₂О₃ түзуіне дейін, центрі О₄ нүктесі болатын шеңбер доғасы F’ нүктесінен О₁О₄ түзуіне дейін жүргізіледі. 3-эллипске сәйкес сопақшаны салу. 6, б-суретте көрсетілген.

7-сурет

Тік бұрышты диметрияда қималарды сызықтау. Сызықтау сызығы тік бұрышты изометриядағы сияқты координаттар жазықтықтарында жататын шаршылардың диагональдарының  біреуіне параллель жүргізіледі. Бұл шаршылардың қабырғалары сәйкес координаттар өстеріне параллель (7-сурет) және y’ өсі бағытындағы бұрмадану көрсеткіші 0,5-ке тең болатыны ескеріледі.

 

Тік бұрышты диметрияны салу

8, а-суретте аунақша ашасы деп аталатын тетікбөлшектің екі кескіні келтірілген. Мұндай тетікбөлшектердің тікбұрышты диметриясын салғанда мына жайтты естен шығармау керек: оның формасына енген шеңберлердің көбісі фронталь проекциялар жазықтығына параллель болған жағдайда кескін көрнекі болады. Диметрияда y’ өсіне параллель кесінділер екі есе қысқыртылып салынатыны ескерсе, тетікбөлшектің ең үлкен өлшемін (ұзындығын) y өсі бойымен жіберген жөн болатынын көру қиын емес.

8-сурет

Осы айтылғанның  негізінде натурал координаттар жүйесінің өстері 8, а-суретте келтірілгендей тағайындалады. Жоғарыда баяндалған реттілікті сақтаса, 8, ә, бә в-суреттерде көрсетілген кескіндер алынады. Толығымен орындалған аксонометриялық проекция 8, г-суретте берілген. 

 

 

 

 

 

 

 

Пайдаланылған әдебиеттер:

Ы.А. Нәби «Сызба геометрия және инженерлік графика». Алматы, 2010.