Шпаргалка по "Архитектуре"

1. Метод проецирования. Центральное и параллельное проецирование.

Под методом проецирования  понимается существование плоскостей проекций, объекта проецирования и проецирующих лучей. (Проекцией точки А на плоскости П₀ есть точка А⁰ пересечение проецирующего луча с плоскостью проекций, который проходит через т А).

В зависимости от положения  центра проецирования относительно плоскости проекций проецирование может быть центральным или параллельны.

При центральном проецировании проецирующие лучи выходят с одной точки — центра проецирования S, который находится на определённом расстоянии от плоскости проекций П₀. Центральное проецирование обладает наглядностью, оно используется при изображении предметов в перспективе. Основной недостаток — трудность определения размеров по его изображению.

При параллельном проецировании, проецирующие лучи проходят параллельно один одному. В этом случае считают, что центр проекций отдален в бесконечность. При параллельном проецировании задается направление проецирования — S и плоскость проекций. В зависимости от направления проецирования относительно плоскости проекций параллельные проекции могут быть прямоугольными, если проецирующие лучи проходят перпендикулярно к плоскости проекций, и косоугольными, если проецирующие лучи не перпендикулярные к плоскости проекций.

Основные свойства прямоугольного параллельного проецирования: 1) проекция точки есть точка; 2) проекция прямой есть прямая; 3) если точка принадлежит прямой, то одноименная проекция точки находится на одноименной проекции прямой; 4) если точка делит отрезок в каком-то соотношении, то проекция отрезка делится в таком же соотношении; 5) если две прямые параллельны между собой, то их одноименные проекции то же параллельны; 6) если две прямые пересекаются между собой, то они имеют общую точку, проекции этих прямых так же имеют общую точку, связанную проекционной связью.

Операция проецирования  сводится к изображению множества точек предмета на плоскости проекций. При этом необходимо, чтобы между изображенными точками на плоскости и точками поверхности устанавливалось взаимное соотношение. В качестве основных плоскостей проекций берут горизонтальную (П₁), фронтальную (П₂) и профильную (П₃). Две плоскости П₁ и П₂ делят пространство не четыре двухгранных угла (квадранты), а три плоскости П₁, П₂ и П₃ — на восемь трехгранных углов (октантов). Линии пересечения плоскостей проекций называются осями проекций (x y z).

 
2. Чертеж точки в системе прямоугольных координат. Способы построения недостающих проекций точек.

Точка в пространстве определяется своими координатами, которые, как правило, имеют числовые значения, например А (x, y, z), А (10, 45, 15). Прямоугольные проекции точки на плоскостях проекций определяются как основания перпендикуляров, опущенных с точки на каждую с плоскостей проекций. Проекции точек обозначаются большими буквами латинского алфавита или числами.

А′ — горизонтальная проекция точки А;

А′′ — фронтальная проекция точки А;

А′′′ — профильная поекция точки А.

Для получения проекционного чертежа  совмещают плоскости П₁ и П₃ с фронтальной плоскостью проекций П₂ поворотом соответственно около осей X и Z. Тогда на чертеже проекции А′ и А′′ размещаются на одном перпендикуляре к оси ОX, а А′′ и А′′′ — на одном перпендикуляре к оси ОZ. Известно три способа построения профильной проекции точки по данным двум проекциям.

 
3. Прямая линия общего и частного положения на эпюре Монжа.

Для того, чтобы выполнить  чертеж прямой, необходимо найти проекции двух её точек. В начертательной геометрии, в зависимости от положения прямых относительно плоскостей проекций, они могут иметь свое название — прямые общего и частного положения. Прямая не параллельная ни одной с плоскостей проекций, называется прямой общего положения. Прямые частного положения бывают параллельными или перпендикулярными плоскостям проекций. Прямые, параллельные одной из плоскости проекций, делятся на: горизонтальные прямые — параллельные горизонтальной плоскости проекций; фронтальные прямые — параллельные фронтальной плоскости проекций; профильные прямые — параллельные профильной плоскости проекций. Прямые, перпендикулярные одной из плоскостей проекций, делятся на: горизонтально-проецирующие прямые, перпендикулярные горизонтальной плоскости проекций; фронтально-проецирующие прямые, перпендикулярные фронтальной плоскости проекций; профильно-проецирующие прямые, перпендикулярные профильной плоскости проекций. 

 

4. Следы прямой линии. Сформулировать последовательность построения горизонтального и фронтального следов прямой.

Следом прямой линии  называется точка пересечения прямой с соответствующей плоскостью проекций. Для определения горизонтального следа М (М′, М′′) прямой АВ (А′В′, А′′В′′) надо: продлить фронтальную проекцию А′′В′′ до пересечения с осью ОХ (М′′), затем повести перпендикуляр к оси ОХ до пересечения с продолжением горизонтальной проекции А′В′. Для определения фронтального следа N (N′, N′′) прямой надо: продлить горизонтальную проекцию А′В′ до пересечения с осью ОХ, затем провести перпендикуляр к оси ОХ до пересечения с подолжением фронтальной проекции А′′В′′.

М (М′, М′′) — горизонтальный след рпямой АВ (А′В′, А′′В′′);

N (N′, N′′) — фронтальный след прямой АВ (А′В′, А′′В′′).

 

  

5. Определение истинной величины отрезка прямой общего положения способом прямоугольного треугольника.

Натуральная величина отрезка  прямой общего положения определяется как гипотенуза прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция отрезка на одну из плоскостей проекций, а второй катет равен разности расстояний концов отрезка до этой же плоскости.

φ₁ — угол наклона отрезка АВ к плоскости проекций П₁;

φ₂ — угол наклона отрезка АВ к плоскости проекций П₂.

 
6. Взаимное положение точки и прямой, двух прямых. Определение видимости проекций точек на скрещивающихся прямых.

Точка и прямая в пространстве занимают разное положение относительно друг друга.

С (С′, С′′) — находится  над прямой АВ.

D (D′, D′′) — находится под прямой АВ.

E (E′, E′′) — принадлежит прямой АВ.

F (F′, F′′) — находится за прямой АВ.

Две прямые в пространстве могут  быть параллельными, пересекающимися  и скрещивающимися.

Если прямые параллельные, то их соответствующие проекции то же параллельные (А′В′//, С′D′, А′′В′′//С′′D′′).

Если две прямые пересекаются, то они имеют общую точку. Проекции этой точки дожны лежать на одной  линни связи.

Если две прямые не параллельные и не пересекаются, то они скрещивающиеся. Проекции этих прямых на чертеже могут пересекаться, но точки пересечения их проекций не лежат на одной линии связи.

Видимость проекций прямых, которые  скрещиваются, определяется по правилу  конкурирующих точек — точек, принадлежащих скрещивающимся прямым и расположенных на одной и той же проецирующей прямой. Видимость фронтальных проекций определяется видимостью конкурирующих точек 1 и 2. В этом случае видимой, ближайшей к наблюдателю, является проекция С′D′. Видимость горизонтальных проекций прямых определяется видимостью конкурирующих точек 3 и 4. видимой проекцией здесь является А′В′.

 

 

7. Способы задания плоскостей. Плоскости частного и общего положения на эпюре Монжа.

Плоскостью называется множество  точек равноудалённых от двух точек пространства. Плоскость задается следующим образом: 1)проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой; 2) проекцией прямой и точки, не лежащей на прямой; 3) проекцией плоской фигуры; 4) проекциями двух прямых, которые пересекаются; 5) проекциями двух параллельных прямых; 6) следами плоскости (линия пересечения заданной плоскости с плоскостью проекций называется следом). Плоскости относительно плоскостей проекций могут занимать общее и частное положения. Плоскости, не перпендикулярные ни одной из плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения. Плоскости частного положения делятся на проецирующие плоскости, перпендикулярные к одной из плоскостей проекций, и на плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций. Проецирующие плоскости делятся на: 1) горизонтально-проецирующие, перпендикулярные к плоскости проекций П₁; фронтально-проецирующие, перпендикулярные к плоскости проекций П₂; профильно-проецирующие, перпендикулярные к плоскости проекций П₃. Проецирующие прямые обладают собирательным свойством, а именно: все геометрические образы, принадлежащие плоскости, проецируются в линию на ту плоскость, перпендикулярно которой она размещена. Плоскости, параллельные плоскостям проекций, делятся на: горизонтальные, фронтальные, профильные.

 

 
 
8. Горизонтали и фронтали плоскости. Точка и прямая в плоскости.

Точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, принадлежащей  плоскости. Например, точка D (D′, D′′) принадлежит плоскости АВС (А′В′С′, А′′В′′С′′), т. к. она лежит на прямой С1 (С′1′, С′′1′′). Прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадрежат плоскости. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через одну точку этой плоскости и параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости. К числу прямых, которые занимают особое положение в плоскости, относят горизонтали и фронтали. Горизонталями плоскости называют прямые, принадлежащие плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций. Фронталями плоскости называют прямые, принадлежащие плоскости и параллельные фронтальной плоскости проекций. 

9. Взаимное положение прямой и плоскости (прямые параллельные и перпендикулярные плоскости). Проецирование прямого угла.

    

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, принадлежащей данной плоскости. Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна ко всем двум прямым, которые пересекаются в этой плоскости принадлежат ей. Но, чтобы при этом проекция перпендикуляра к плоскости общего положения оказалась перпендикулярной к соответственной проекции некоторой прямой этой плоскости, прямая должна быть горизонталью или фронталью, или профильной прямой плоскости. Поэтому, если надо построить перпендикуляр к плоскости, берут в общем случае две такие прямые. Таким образом, у перпендикуляра к плоскости его горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали. Очевидно, если плоскость задана следами, мы получаем следующий результат: если прямая перпендикулярна к плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна горизонтальному следу плоскости, а фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальному следу плоскости. Если через точку D надо провести прямую L (1′, 1″), перпендикулярную к плоскости, заданой r АВС нужно выполнить следующие построения:

1. Провести в плоскости горизонталь С1 (С′1′, С″1″) и фронталь А2 (А′2′, А″2″);
2. Через горизонтальную проекцию D′ точки D провести прямую 1′, перпендикулярную к горизонтальной проекции горизонтали С′1′, — это будет горизонтальная проекция перпендикуляра;
3. Через фронтальную проекцию D″ точки D провести прямую 1″, перпендикулярную к фронтальной проекции фронтали А″2″, — фронтальная проекция перпендикуляра. Построенная прямая L (1′, 1″) и есть перпендикуляр к плоскости r АВС.

На основании перпендикулярности прямой и плоскости можно решать следующие задачи: определять расстояние в пространстве; определять расстояние между двумя параллельными плоскостями; проводить плоскость, параллельную данной, находящейся на некотором расстоянии; из точки, лежащей в плоскости, строить перпендикуляр к ней; проводить через точку плоскость, перпендикулярную к данной плоскости.

Теоретической основой  для построения на чертежах проекций прямых и плоскости, перпендикулярных относительно к друг другу, служит теорема о проецировании прямого угла. В общем случае угол проецируется на плоскость в натуральную величину, если две его стороны параллельны этой плоскости. Прямой угол проецируется в натуральную величину, если хотя бы одна его сторона параллельна плоскости проекций, а другие не перпендикулярны к этой плоскости. Таким образом, возможно три случая проецирования прямого угла на плоскость:

1. Если две стороны прямого угла заданы прямыми общего положения, то прямой угол проецируется с искажением на все три плоскости проекций;
2. Если две стороны прямого угла параллельны какой-нибудь плоскости проекций, то на эту плоскость прямой угол проецируется в натуральную величину;
3. Если одна сторона прямого угла прямая общего положения, а другие параллельны плоскости проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость проекций в прямой.

 

 

 

10. Взаимное положение двух плоскостей. Построение линии пересечения плоскостей при различных способах их задания.

Две плоскости параллельны, если две пересекающие прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Если плоскость задана следами, то параллельность определяется параллельностью соответственных следов. Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную к другой плоскости, или перпендикулярна к прямой, лежащей в другой плоскости.

    

Две плоскости пересекаются по прямой. В зависимости от, того какое положение занимают плоскости, возможно три случая пересечения плоскостей:

1. Две плоскости занимают частное положение. Возможно два варианта: 1) две пересекающиеся плоскости перпендикулярны к одной плоскости проекций Þ линия пересечения перпендикулярна к этой же плоскости проекций; 2) две пересекающиеся плоскости перпендикулярны к разным плоскостям проекций Þ линия пересечения есть линия, проекция которой совпадает со следами плоскостей.
2. Одна из плоскостей занимает общее положение, а другая — частное Þ одна проекция линии пересечения совпадает со следом плоскости частного положения, а другая проекция определяется из условия принадлежности этой прямой плоскости общего положения.
3. Две плоскости занимают общее положение.