Белые и черные дыры

Введение

Среди великого разнообразия небесных тел особое место занимает класс объектов, называемых чёрными дырами (ЧД). Их поле тяготения столь велико, что никакая частица, включая частицу (квант) света, не может вырваться изнутри такого объекта и уйти на бесконечность. Поэтому его поверхность действует как своего рода клапан, пропускающий вещество лишь в одну сторону — внутрь ЧД (отсюда и это название: вещество валится в ЧД как в дыру, а свет из неё выйти не в состоянии). Это уникальное свойство чёрных дыр прямо ведёт к уникальному факту — внешнему наблюдателю оно представляется как горячее тело, служащее источником теплового излучения. Это и другие тепловые свойства чёрных дыр описываются специальной теорией — термодинамикой чёрных дыр.

Чёрные дыры

Небесные тела со свойствами чёрных дыр рассматривались в рамках механики Ньютона ещё в XVIII веке как объекты, вторая космическая скорость которых, v = (2GM/R) 1/2, превышает скорость света c. Здесь G — постоянная тяготения, M — масса объекта, R — его радиус. Приведённому условию удовлетворяет объект, масса которого сконцентрирована в очень малом объёме с радиусом

R ≤ rg = 2GM/c 2 ≈ 3(M/MSol ) км,     (1)

где rg — гравитационный радиус тела, MSol — масса Солнца. Сферу радиуса rg называют горизонтом событий: именно ею ограничено поле зрения внешнего наблюдателя, лишённого информации о её внутренней части. Условие (1) оказалось справедливым и в рамках общей теории относительности.

Для подавляющей части небесных тел условие (1) нарушено. Так, для Солнца (радиус 7×10 5 км) и Земли (масса 6×10 27 г, радиус 6×10 3 км)величина rg составляет соответственно всего 3 км и ~ 1 см. Ещё контрастнее соответствующие цифры для земных объектов. Поэтому чёрная дыра возникает лишь при крайне необычных условиях сверхвысокой плотности вещества. Такие условия имеются прежде всего на конечном этапе эволюции звёзд с массой, превышающей примерно 3MSol; неудержимое гравитационное сжатие такой звезды — коллапс — ведёт в конечном счёте к выполнению условия (1) и к образованию чёрной дыры звёздной массы. Массы таких объектов лежат в диапазоне от 3 до 100MSol. Более тяжёлые массивные и сверхмассивные чёрные дыры с массами до 10 9MSol возникают в результате коллапса больших масс газа в центрах шаровых скоплений, в ядрах галактик и в квазарах. Лёгкие чёрные дыры с массами до 3MSol могли бы образоваться в результате нарастания флуктуаций плотности сверхсжатого вещества ранней Вселенной (первичные ЧД).

Абсолютно твёрдых доказательств существования чёрных дыр в космосе пока нет. Однако большинство учёных сходится во мнении, что рентгеновские источники в некоторых двойных системах представляют собой звёздные чёрные дыры, а активность многих (если не всех) ядер галактик и квазаров — результат существования массивных и сверхмассивных чёрных дыр в центрах этих объектов.

Предшественник чёрной дыры (массивная звезда, газ, флуктуация плотности) обладает множеством наблюдаемых параметров, относящихся как к его глобальным свойствам, так и к характеристикам его внутреннего строения. Информация о подавляющей части таких параметров теряется внешним наблюдателем в процессе образования чёрной дыры, которая не выпускает из себя никаких сигналов, характеризующих состав и структуру вещества, распределение электрических токов и пр. Этот факт образно описывают словами: чёрная дыра не имеет волос. Фактически наблюдатель может измерить лишь такие глобальные характеристики чёрной дыры, как её масса M, вращательный момент m и полный электрический заряд Q.

Эффект Хокинга

Нарисованная картина чёрной дыры носит классический, неквантовый характер. Квантовая механика вносит в неё некоторые коррективы: при сохранении горизонта событий чёрная дыра перестаёт быть „чёрной“, становясь источником излучения. Природа этого излучения та же, чтои у электронно-позитронных пар, рождаемых сильным электрическим полем, которое увеличивает энергию виртуальных (короткоживущих) пар в вакууме, превращая их в реальные (долгоживущие) 1 .

 Аналогичным образом рождает пары (в том числе и пары фотонов) и сильное поле тяготения чёрной дыры, действующее на частицы любого сорта. Одна из компонент пары становится реальной частицей снаружи (и вблизи) горизонта событий и, имея положительную энергию, может уйти в бесконечность; другая частица появляется внутри (и вблизи)горизонта и падает с отрицательной энергией внутрь чёрной дыры (см. рис. 1). В итоге чёрная дыра становится источником непрерывного потока частиц, уходящего в бесконечность. При формировании такого излучения никакая частица не пересекает горизонта событий, который тем самым по-прежнемуобладает свойствами клапана.

В 1974–1975 годах английский теоретик С. Хокинг проводил вычисления характеристик излучения чёрных дыр, руководствуясь нарисованной выше физической картиной. Он обнаружил, что свойства такого излучения в точности такие же, как у излучения горячего чёрного тела радиуса rg, нагретого до температуры(в кельвинах)

T ≈ 0,5·10 –7(MSol / M ).     (2)

В описанном явлении, которое называют эффектом Хокинга, температура обратно пропорциональна массе. В процессе излучения масса чёрной дыры уменьшается, а её температура растёт, что усиливает излучение и тем самым ускоряет убыль массы. Поэтому со временем чёрная дыра „разгорается“, её температура быстро растёт и за конечное время (в секундах)

t ≈ 10 72 (M / MSol ) 3     (3)

чёрная дыра прекращает существование, исчерпав всю свою массу.

Существенно, что последние мгновения перед исчезновением чёрной дыры будут протекать в режиме мощного взрыва с выделением энергиипорядка 10 30 эрг за время около 0,1 с. Такие взрывы можно было бы наблюдать и на большом расстоянии от Земли. Это не относится к звёздным и тем более к массивным и сверхмассивным чёрным дырам: уже при массе, равной солнечной, температура составляет ничтожные доли градуса, а время жизни ЧД намного больше времени существования Вселенной (см. формулы (2), (3)). Поэтому взрываться в нашу эпоху способны лишь первичные чёрные дыры с массой около 10 15 г (масса средней горы). К сожалению, такие взрывы до сих пор не наблюдались.

Как не впечатляющи следствия эффекта Хокинга, с точки зрения теории наибольший интерес представляет природа теплового характера чёрных дыр — имеем ли мы здесь дело с чисто случайным сходством или же по каким-то причинам чёрная дыра действительно представляет собой горячее тело.

Термодинамика чёрных дыр

После открытия эффекта Хокинга научное общественное мнение склонялось к тому, что имеет место чисто внешняя аналогия с термодинамическими соотношениями. Ни в самой постановке задачи об излучении чёрной дыры, ни в чисто динамическом методе её решения нет, казалось бы, ни малейшего намёка на термодинамику. Однако такая точка зрения просуществовала недолго. Пришлось вспомнить, что ещё до открытия Хокинга высказывалось немало соображений, свидетельствующих о тесном переплетении физики чёрных дыр и термодинамики.

Всё началось, по-видимому, с задачи, которую поставил известный американский теоретик Дж. Уилер перед своим аспирантом Дж. Бекенштейном за несколько лет до работ Хокинга. Пусть первоначально имеется чёрная дыра и вдали от неё горячее тело, обладающее некоторым запасом энтропии. Энтропия представляет собой меру того хаоса, который мы связываем с понятием теплоты (о количественномопределении энтропии см. ниже). чёрная дыра притянет к себе тело, которое в конце концов уйдёт под горизонт событий. Тогда наблюдатель столкнётся с явным нарушением второго начала термодинамики, согласно которому полная энтропия замкнутой системы (в данном случае системы „ЧД + тело“) не может уменьшаться со временем — порядок, в отличие от хаоса, не может возникать сам собой. В начальный момент времени энтропия системы была равна энтропии тела, а в конце она исчезла, так как внутренность чёрной дыры наблюдателю недоступна. На самом деле энтропия тела не исчезла, а передалась внутренней части чёрной дыры, но этот аргумент не более чем отговорка: физический мир внешнего наблюдателя не включает в себя внутренности чёрной дыры, а общие законы физики должны выполняться именно в этом мире 2 .

Существовали и другие, более формальные свидетельства того, что в физике чёрных дыр определяющей является термодинамика. Например, как показал сам Хокинг, поверхность чёрной дыры (для нескольких чёрных дыр — сумма поверхностей),

F = 4π rg2,     (4)

ведёт себя подобно энтропии, не уменьшаясь ни при каких естественных процессах с участием чёрной дыры — при падении вещества в чёрную дыру, при сливании двух чёрных дыр в одну и пр. (в этом легко убедиться с помощью соотношений (1), (4)). Однако до поры до времени такие свидетельства воспринимались как проявление чисто формальной аналогии.

По-видимому, только Бекенштейн почувствовал, что за всем сказанным стоит глубокая физика. Отвергнув возможность нарушения второго начала термодинамики, он дал следующее решение задачи Уилера. При падении тела внутрь чёрной дыры такие его характеристики, как масса, вращательный момент и заряд, не исчезают, а передаются чёрной дыре как целому, меняя соответствующим образом значения её наблюдаемыхпараметров M, m, Q. Бекенштейн расширил список таких характеристик тела, включив в него и энтропию, одновременно введя её в список наблюдаемых параметров чёрной дыры. Спасение второго начала термодинамики происходит при этом потому, что падающее тело меняет(увеличивает) энтропию самой чёрной дыры на величину, не меньшую исходной энтропии тела. Перечисленные наблюдаемые величины локализованы не внутри чёрной дыры (иначе они не были бы наблюдаемыми), а вне её горизонта, где они и проявляют себя: энтропия — в тепловом характере излучения Хокинга, масса и заряд — в гравитационном и электрическом полях чёрной дыры и пр.

Но Бекенштейн на этом не остановился, всерьёз восприняв чёрную дыру как термодинамический объект. Он определил температуру чёрной дыры (она практически совпала с результатом Хокинга, см. (2)), придумав особого рода машину, которая способна (мысленно, конечно) превращать тепло в работу в поле чёрной дыры (грубо говоря, это заполненный горячим излучением контейнер на длинной нити, который после его спуска до горизонта событий опорожняется, после чего поднимается обратно уже в облегчённом виде; выигрыш в энергии при спуске поэтому не меньше её затрат при подъёме, см. рис. 2). Температура чёрной дыры определяется коэффициентом полезного действия такой машины (теорема Карно). Одновременно, используя формулу (4), Бекенштейн нашёл и энтропию чёрной дыры, оказавшуюся пропорциональной её поверхности:

S ≈ 10 75k( M / MSol ) 2hF,     (5)

где k = 1,4·10 –16 эрг/град — постоянная Больцмана, F — площадь поверхности. Этот факт снимает покров таинственности со сказанного выше о свойствах поверхности чёрной дыры, которые оказываются прямым следствием второго начала термодинамики.

Определив температуру и энтропию чёрной дыры, Бекенштейн, однако, не сделал последнего шага — не предсказал самого эффекта Хокинга, который по справедливости должен был бы носить имя обоих учёных.

Коллапс тел малой массы

Результаты термодинамики чёрных дыр не ограничиваются выводом о неравенстве нулю температуры чёрной дыры. Эта теория, как и любой другой раздел термодинамики, позволяет делать общие и достаточно сильные утверждения без проведения конкретных микроскопических расчётов. Ещё один пример такого рода приводится ниже.

Выше говорилось, что коллапс могут испытывать лишь тела с массой, превышающей примерно 3MSol. В 1962 году советский теоретик Я.Б. Зельдович показал, что такая граница относится лишь к быстрому коллапсу. В действительности неудержимо сжиматься, хотя и чрезвычайно медленно, способно тело произвольной массы — состояние чёрной дыры предпочтительнее при любом значении M.

Термодинамика чёрных дыр вносит существенные коррективы в этот вывод. Применим к процессу коллапса второе начало термодинамики, требующее, чтобы энтропия тела в исходном состоянии была не больше энтропии при его переходе в состояние чёрной дыры. Первую из этих величин можно оценить, считая, что на каждую степень свободы классической системы частиц приходится энтропия, по порядку величины равная постоянной Больцмана,

S ≈ k(M/m) ≈ 10 57k(M / MSol ),     (6)

где m = 1,6×10 –24 г — масса нуклона. Вторая величина дается формулой (5). Отсюда видно, что процесс коллапса с образованием чёрной дыры звёздной массы необратим: энтропия в итоге возрастает почти на 20 порядков для звезды солнечной массы.

Будем теперь уменьшать массу звезды M. При этом, как видно из формул (5) и (6), энтропия чёрной дыры будет уменьшаться быстрее энтропии исходного тела и при значении M ~ 10 15 г эти величины становятся равными друг другу. При дальнейшем уменьшении M энтропия в процессе коллапса должна была бы уменьшаться, что очевидным образом противоречит второму началу термодинамики. Таким образом, нижняя граница массы коллапсирующего тела хотя и смещается вниз по отношению к величине 3MSol, но остаётся отличной от нуля. Подчеркнём, что приведённые рассуждения относились лишь к коллапсу изолированного тела и никоим образом неприложимы к первичным чёрным дырам.

Термодинамика и информация

Существование области, информация из которой не доходит до наблюдателя, имеет для термодинамики чёрных дыр принципиальное значение. Это видно уже из формулировки задачи Уилера, описанной выше, которая послужила отправным пунктом аргументации Бекенштейна. В более общем плане это ясно из следующих квантово-механических соображений. Горячая чёрная дыра, как и любое горячее тело, должна описываться не волновой функцией, а особой величиной — матрицей плотности, которая осуществляет неполное описание системы. Такая неполнота в случае обычного горячего тела связана с невозможностью детального описания составляющих его частиц, в случае чёрной дыры как динамической системы — с существованием указанной выше области.

Существует возможность прямого перехода от утверждения: „наблюдатель не имеет информации о внутренней части чёрной дыры“, к утверждению: „чёрная дыра обладает запасом энтропии, а значит, и отличной от нуля температурой“. Эта возможность опирается на сформулированный американским физиком Л. Сцилардом особый информационный подход к термодинамике, который восходит к классикам теории теплоты и развивался многими физиками и математиками. Такой подход сводится к установлению прямой связи величины энтропии системы с недостатком информации о её внутренней структуре. Речь идёт об объективном, принципиально невосполнимом недостатке информации, а не просто об отказе от возможной в принципе регистрации характеристик системы.

Идею информационного подхода сформулируем сначала на примере обычной термодинамики, точнее говоря, на примере перехода динамической системы в состояние термодинамического равновесия. Будем опираться на реальный пример — метод получения высокотемпературной плазмы путём инжекции (впрыскивания) в специальную камеру сгустка ускоренных частиц с его последующей термализацией. Первоначальный сгусток — для определённости монохроматический и поляризованный — представляет собой динамическую систему, описываемую волновой функцией. В процессе нелинейного взаимодействия частиц сгустка в камере развиваются соответствующие неустойчивости, система частиц становится хаотической и переходит в термодинамически равновесное состояние. Это состояние описывается матрицей плотности, причём соответствующая температура определяется первоначальной энергией сгустка. В итоге система „забывает“ своё начальное состояние и характеризуется существенно меньшим числом параметров (энергия или температура, давление или объём и пр.), чем полное число её степеней свободы. Каждому набору таких параметров отвечает огромное число N различных микросостояний системы — комплексий, по терминологии Больцмана, которые реализуют этот набор и которые в принципе невозможно различить. Равновероятность различных комплексий, невозможность предпочесть одну из них другой и есть точный и наиболее общий смысл понятия „хаос“.