Немецкий астроном Иоган Кеплер

Иоганн  КЕПЛЕР  
Johannes Kepler,  1571–1630 

Немецкий астроном. Родился в Вюртембурге. Начав  с изучения богословия в Тюбингенской академии (позднее университет), увлекся  математикой и астрономией и  вскоре получил приглашение на должность  преподавателя математики в гимназии австрийского города Грац. Там он снискал себе репутацию блестящего астролога благодаря ряду сбывшихся метеорологических прогнозов на 1595 год. Начиная с 1598 года Кеплер и другие протестанты стали подвергаться в католическом Граце жестоким религиозным гонениям, и в 1600 году ученый по приглашению датского астронома Тихо Браге переехал в Прагу. Работы Кеплера основывались на наблюдениях, сделанных Тихо Браге. Его дальнейшая жизнь сложилась трагично. Он жил в бедности и умер от лихорадки по дороге в Австрию, куда он отправился в надежде получить причитающееся ему жалованье.

«Космографическая тайна»

В числе первых вопросов, возникших перед Кеплером, был  следующий: почему существует только шесть  планет, а не двадцать, или, скажем, сто? Этот вопрос предстояло решить вместе с объяснением относительной величины расстояний между траекториями движения планет. Попыткой ответить на вопросы такого рода

начались многолетние исследования, которые в конце концов привели к

открытию законов движения планет. Сначала он предположил, что между параметрами планетных орбит должны быть простые соотношения, выражающиеся целыми числами. «Я затратил много времени на эту задачу, на эту игру с числами, но не смог найти никакого порядка ни в численных соотношениях, ни в отклонениях от них» — пишет он в предисловии к «Космографической тайне».

Затем он попытался  решить эту задачу, предположив существование

дополнительных, еще  не открытых по причине малых размеров, планет: одну из них он поместил между Меркурием и Венерой, а другую — между Марсом и Юпитером, рассчитывая, что теперь удастся обнаружить желанные соотношения, но и этот прием не привел его к ожидаемым результатам.

«Я потратил почти  все лето на эту тяжелую работу, и в конце концов совершенно случайно подошел к истине». 9 июля 1595 г. —  Кеплер скрупулезно зафиксировал эту  дату, — решая с учениками какую-то геометрическую задачу, он начертил на классной доске равносторонний треугольник со вписанной в него и описанной

около него окружностями (см. Рис.1). Внезапно его озарила мысль, которая явилась, по его мнению, ключом к разгадке тайны Вселенной. Прикинув отношение между радиусами окружностей, он заметил, что оно близко к отношению радиусов круговых орбит Сатурна и Юпитера, как они были вычислены Коперником (здесь отношение R : r = 2 : 1, а отношение R_С : R_Ю = 8.2 : 5.2, по Копернику). В дальнейшем ход рассуждений был таким: Сатурн и Юпитер — «первые» планеты (считая по направлению к Солнцу) и «треугольник — первая фигура в геометрии. Немедленно я попытался вписать в следующий интервал между Юпитером и Марсом квадрат, между Марсом и Землей — пятиугольник, между Землей и Венерой — шестиугольник...». Во времена Кеплера было известно только шесть планет Солнечной системы, наблюдаемых невооруженным взглядом: Меркурий, Венера,

Земля, Марс, Юпитер и Сатурн. Планета Уран была открыта  В. Гершелем много позже — в 1781 г., Нептун открыт астрономом Галле  и математиком Леверье в 1846 г., Плутон был обнаружен только в 1930 г.

Но дело не ладилось, хотя, казалось, цель была совсем близкой. «И вот я снова устремился вперед. Зачем рассматривать фигуры двух измерений для пригонки орбит в пространстве? Следует рассмотреть формы трех измерений, и вот, дорогой читатель, теперь мое открытие в Ваших руках!». Можно построить любое число правильных многоугольников на плоскости, но можно построить лишь

ограниченное число  правильных многогранников в пространстве трех измерений. Такими правильными многогранниками, все грани которых являются правильными и равными между собой многоугольниками и все двугранные углы которых равны между собой, являются: тетраэдр (4 треугольные грани), куб (6 граней-квадратов), октаэдр (8 треугольных граней), додекаэдр (12 пятиугольных граней) и икосаэдр (20 треугольных граней).

Важным свойством  правильных многогранников является существование для каждого из них вписанного и описанного шаров (сфер) таких, что поверхность вписанного шара касается центра каждой грани правильного многогранника, а поверхность описанного шара проходит через все его вершины. Центры этих шаров совпадают между собой и с центром соответствующего многогранника. Еще древним грекам было известно, что число видов правильных многогранников ограничивается пятью. Но ведь и промежутков между планетами, подумал Кеплер,

тоже пять. Как  трудно было допустить, что это простая  случайность (к тому же умозаключение  опиралось на неверное представление о числе планет) и как заманчиво было видеть в этом совпадении мудрость творца. Ответ на вопрос, почему планет шесть, не меньше и не больше, казалось найден. Одновременно назревает и решение вопроса об относительных расстояниях между орбитами планет: в сферу, на которой расположена орбита Сатурна, вписан куб, в него вписана следующая сфера — с орбитой Юпитера, далее последовательно вписаны

тетраэдр, сфера Марса, додекаэдр, сфера Земли, икосаэдр, сфера Венеры, октаэдр, сфера Меркурия, в центре всей системы у коперниканца Кеплера, разумеется, Солнце, и — тайна Вселенной раскрыта, раскрыта молодым учителем протестантской школы в Граце и математиком провинции Штирии.

Математический аппарат, применяемый в этом случае, достаточно элементарен, дело сводится к вычислениям зависимостей между радиусами сфер, описанных вокруг соответственных правильных многогранников и вписанных в них. Пусть, например, радиус орбиты Земли, а значит и соответствующей сферы, равен 1.

Эта сфера описана вокруг икосаэдра, в который вписана сфера Венеры. Решая геометрическую задачу на определение радиуса сферы, вписанной в икосаэдр, и сравнивая полученную величину с радиусом описанной вокруг икосаэдра сферы Кеплер получил соотношение 0,762 : 1. Относительные расстояния до Солнца для шести планет Солнечной системы, полученные Коперником и Кеплером, и современные усредненные значения приводятся в таблице:

Видим, что данные Кеплера весьма значительно отличаются от вычисленных еще Коперником, и притом во всех случаях —  в сторону ухудшения. Объясняя эти расхождения, Кеплер предположил, что каждая из планетных сфер, не будучи материальной, тем не менее имеет некоторую толщину.

Закончив рукопись, Кеплер озаглавил ее так: «Prodromos dissertationem

cosmographicum continens Mysterium cosmographicum» — «Предвестник

космографических  исследований, содержащий космографическую тайну». 

Законы Кеплера

Переехав в Прагу и став ассистентом знаменитого датского астронома Тихо Браге (Tycho Brahe, 1546–1601), Кеплер натолкнулся на идеи, по-настоящему обессмертившие его имя в анналах науки. Тихо Браге всю жизнь собирал данные астрономических наблюдений и накопил огромные объемы сведений о движении планет. После его смерти они перешли в распоряжение Кеплера. Эти записи, между прочим, имели большую коммерческую ценность по тем временам, поскольку их можно было использовать для составления уточненных астрологических гороскопов (сегодня об этом разделе ранней астрономии ученые предпочитают умалчивать).

Обрабатывая результаты наблюдений Тихо Браге, Кеплер столкнулся с проблемой, которая и при наличии современных компьютеров могла бы показаться кому-то трудноразрешимой, а у Кеплера не было иного выбора, кроме как проводить все расчеты вручную. Конечно же, как и большинство астрономов его времени, Кеплер уже был знаком с гелиоцентрической системой Коперника и знал, что Земля вращается вокруг Солнца. Но как именно вращается Земля и другие планеты?

Представим проблему следующим образом: вы находитесь на планете, которая, во-первых, вращается вокруг своей оси, а во-вторых, вращается вокруг Солнца по неизвестной вам орбите. Глядя в небо, мы видим другие планеты, которые также движутся по неизвестным нам орбитам. Наша задача — определить по данным наблюдений, сделанных на нашем вращающемся вокруг своей оси вокруг Солнца земном шаре, геометрию орбит и скорости движения других планет. Именно это, в конечном итоге, удалось сделать Кеплеру, после чего, на основе полученных результатов, он и вывел три своих закона!

Первый  закон описывает геометрию траекторий планетарных орбит, он утверждает, что орбиты планет представляют собой эллипсы, в одном из фокусов которых расположено Солнце. Эксцентриситеты (степень вытянутости) орбит и их удаления от Солнца в перигелии (ближайшей к Солнцу точке) и апогелии (самой удаленной точке) у всех планет разные, но все эллиптические орбиты роднит одно — Солнце расположено в одном из двух фокусов эллипса. Проанализировав данные наблюдений Тихо Браге, Кеплер сделал вывод, что планетарные орбиты представляют собой набор вложенных эллипсов. До него это просто не приходило в голову никому из астрономов.

Итак, Первый закон  Кеплера (закон эллипсов)

Каждая  планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Форма эллипса и  степень его сходства с окружностью  характеризуется отношением  , где c — расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), a — большая полуось. Величина e называется эксцентриситетом эллипса. При c = 0 иe = 0 эллипс превращается в окружность.

Историческое значение первого закона Кеплера трудно переоценить. До него астрономы считали, что планеты  движутся исключительно по круговым орбитам, а если это не укладывалось в рамки наблюдений — главное круговое движение дополнялось малыми кругами, которые планеты описывали вокруг точек основной круговой орбиты. Это было, я бы сказал, прежде всего философской позицией, своего рода непреложным фактом, не подлежащим сомнению и проверке. Философы утверждали, что небесное устройство, в отличие от земного, совершенно по своей гармонии, а поскольку совершеннейшими из геометрических фигур являются окружность и сфера, значит планеты движутся по окружности. Главное, что, получив доступ к обширным данным наблюдений Тихо Браге, Иоганн Кеплер сумел перешагнуть через этот философский предрассудок, увидев, что он не соответствует фактам — подобно тому как Коперник осмелился убрать Землю из центра мироздания, столкнувшись с противоречащими стойким геоцентрическим представлениям аргументами, которые также состояли в «неправильном поведении» планет на орбитах.

Второй  закон описывает изменение скорости движения планет вокруг Солнца. В формальном виде я его формулировку уже приводил, а чтобы лучше понять его физический смысл, вспомните свое детство. Наверное, вам доводилось на детской площадке раскручиваться вокруг столба, ухватившись за него руками. Фактически, планеты кружатся вокруг Солнца аналогичным образом. Чем дальше от Солнца уводит планету эллиптическая орбита, тем медленнее движение, чем ближе к Солнцу — тем быстрее движется планета. Теперь представьте пару отрезков, соединяющих два положения планеты на орбите с фокусом эллипса, в котором расположено Солнце. Вместе с сегментом эллипса, лежащим между ними, они образуют сектор, площадь которого как раз и является той самой «площадью, которую отсекает отрезок прямой». Именно о ней говорится во втором законе. Чем ближе планета к Солнцу, тем короче отрезки. Но в этом случае, чтобы за равное время сектор покрыл равную площадь, планета должна пройти большее расстояние по орбите, а значит скорость ее движения возрастает.