Разднльное обучение

ЛАБОРАТОРНАЯ  РАБОТА №6 

ИЗУЧЕНИЕ  СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ  МАТЕМАТИЧЕСКОГО 

И ПРУЖИННОГО МАЯТНИКОВ 

    Цель  работы: изучение физических основ свободных незатухающих колебаний; определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника и коэффициента упругости пружины пружинного маятника. 

    Приборы и оборудование: нитяной маятник, миллиметровая линейка, секундомер,  пружина, набор грузов известной массы. 

1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ 

1.1. Гармонический осциллятор 

   Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые дифференциальным уравнением вида:

          (1)

Решением  этого уравнения является выражение:

                                      ,                                          (2)

где – амплитуда колебаний (максимальное отклонение  колеблющейся величины от её среднего значения),

– фаза колебания в момент времени  , ;

  - круговая (или циклическая) частота, ;

- начальная фаза (т.е. фаза колебания в момент времени с), ;

Период  колебаний такого гармонического осциллятора  равен 

   Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики.

   Примерами гармонического осциллятора являются пружинный,  физический и математический маятники при малых амплитудах колебаний  и электрический колебательный  контур (для токов и напряжений столь малых, при которых элементы контура можно считать линейными).  

1.2. Пружинный маятник

   Пружинным маятником называется груз массой , укреплённый на абсолютно упругой, невесомой пружине, совершающий гармонические колебания под действием упругой силы , где – жесткость пружины.

   Рассмотрим  свободные колебания горизонтального  пружинного маятника (см. рис. 1)

   Он  состоит из тележки массой , прикреплённой к вертикальной стене пружиной жёсткостью , которая может практически без трения перемещаться по горизонтальной поверхности. При любых положениях тележки сила тяжести и сила реакции опоры уравновешивают друг друга. При смещении тележки из положения равновесия на величину на неё начинает действовать сила упругости со стороны пружины , под действием которой тележка будет совершать свободные колебания.

   Уравнение движения пружинного маятника в проекции на ось Х на основании второго закона Ньютона будет иметь вид:

     или      .    (3)

Если ввести обозначение  , то уравнение (3) примет вид   .               (4)

Уравнение (4) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Таким  образом, мы получили, что пружинный  маятник совершает гармонические  колебания по закону с циклической частотой и периодом колебаний .

   Эти формулы справедливы в пределах выполнения закона Гука, то есть при  малых деформациях пружины, а  так же при условии, что  масса  пружины мала по сравнению с массой тела. 

1.3. Математический маятник

   Математическим  маятником называется идеализированная система, состоящая из материальной точки массой , подвешенной на невесомой нерастяжимой нити и совершающей колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

   Материальной  точкой называется тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

   Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити

(см. рис. 2).

   В этом случае момент инерции математического  маятника можно определить по формуле 

    ,      (5)

где - длина маятника (реально - это расстояние от точки подвеса до центра масс шарика)

   Так как математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке - центре масс, то, подставив уравнение (8) в формулу (7), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника:

   

.

Таким образом, математический маятник при  небольших отклонениях от вертикали будет также совершать гармонические колебания по закону

с периодом колебаний      и циклической частотой   . 

1.4. Физический маятник

   

   Физическим  маятником называется твёрдое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания в вертикальной плоскости вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс тела (см. рис 3).

   Найдём период колебаний физического маятника.

   Если  силами трения в подвесе маятника можно пренебречь, то момент сил относительно оси качания маятника создает только сила тяжести , действующая на маятник (момент силы реакции опоры равен нулю, так как сила реакции проходит через ось маятника).

   При отклонении маятника на угол эта сила создает момент , стремящийся возвратить маятник в положение равновесия .

   Запишем основное уравнение динамики для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

   Так как  , где и , то                           (6)

(знак  минус в уравнении (6) обусловлен тем, что знаки величин и согласно правилу буравчика или правилу правого винта  всегда оказываются противоположными).

   В уравнении (6):

- расстояние от центра масс  маятника  С до оси качания  О,  ;

- момент инерции маятника относительно оси качания, ,

- ускорение свободного падения,  ; - масса маятника, .

   Если  маятник отклонить на небольшой  угол , то  можно заменить .  В этом случае уравнение (3) примет вид

   

  .

Если  ввести обозначение  , то получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний

                     ,                             (7)

 решением  которого является уравнение  вида 

                                                           ,                                                                     

где - амплитуда колебаний, ; - начальная фаза колебаний, .

   Из  уравнения (7) следует, что при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник будет совершать гармонические колебания (т.е. колебания, совершаемые по закону или ) с круговой частотой     и периодом колебаний     ,                                 (7)

где величина называется  приведенной длиной физического маятника (т.е. это длина такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника, то есть ). 

 

     2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 

2.1. Определение ускорения  свободного падения  с помощью математического маятника 

1. Начертить таблицу 1 для занесения результатов  измерений и расчетов.

Таблица 1.

 

2. Установить  шарик маятника в нижней части  на вертикальной прямой и измерить длину нити маятника.
3. Заставить маятник качаться, но так, чтобы угол отклонения был достаточно мал (не превышал 4-6⁰). Измерить секундомером время N = (20 - 30) полных колебаний маятника и вычислить период колебаний маятника: .
4. Это измерение произвести 4-5 раз для данной длины маятника l₁ и каждый раз вычислить Т₁. Таким образом, получить несколько значений для Т₁, найти их среднеарифметическое значение и абсолютные погрешности .
5. Вычислить среднюю абсолютную погрешность периода по формуле , где где t_kn - коэффициент Стьюдента, зависящий от заданной вероятности k и числа измерении n. Для k = 0,95, принятой в студенческом практикуме, коэффициент Стьюдента для различного числа измерения n указан в таблице ниже.

 
 

6. Изменить длину маятника на 10-15 см. Теперь длина l₂. Определить период колебания Т₂ этого маятника тем же способом, что и первого маятника. Измерения повторить также 4-5 раз, вычислив потом среднеарифметическое значение , абсолютные погрешности и среднюю абсолютную погрешность периода .
7. Подставив среднее значение периодов , , измеренную разность длины маятников в формулу вычислить величину ускорения силы тяжести, приняв .
8. Вычислить относительную погрешность ускорения свободного падения по формуле: , где принять .
9. Вычислить абсолютную погрешность ускорения свободного падения по следующей формуле:
10. Записать результат в виде: