Законы Иоганна Кеплера

Введение 

 

 

Поиски точных законов  гелиоцентрического планетного мира стали  главным делом жизни великого немецкого астронома Иоганна  Кеплера. В ходе этой колоссальной работы проявились не только его гениальность как астронома и математика, но и смелость мысли, свобода духа, благодаря которым он сумел преодолеть тысячелетние космологические традиции и вместе с тем возродить и поставить на службу науке известные с древности, но, по существу, забытые некоторые натурфилософские принципы, раскрыв их глубокое истинное содержание. Законы движения планет, выведенные Иоганном Кеплером, сокрушили тысячелетние догмы о кругах и сферах и открыли дорогу физическому пониманию небесных явлений. История открытия этих законов, потребовавшая от учёного многих лет напряженного труда, полна драматизма.

Структурно работа состоит  их двух глав, в первой главе мы кратко рассмотрим  биографию ученого, проследим  его жизненный путь, во второй графе  обратимся к  трем законам открытых Иоганном Кеплером.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Биография ученого

 

Немецкий  математик, астроном, оптик и астролог Иоганн Кеплер родился 27 декабря 1571 года  в  имперском Вайль-дер-Штадте.

 Его отец служил  наёмником в Испанских Нидерландах.  Когда юноше было 18 лет, отец  отправился в очередной поход  и исчез навсегда. Мать Кеплера, Катарина Кеплер, содержала трактир, подрабатывала гаданием и траволечением. Интерес к астрономии появился у Кеплера ещё в детские годы, когда его мать показала впечатлительному мальчику яркую комету , а позднее — лунное затмение.

В 1589 году Кеплер закончил школу при монастыре Маульбронн, обнаружив выдающиеся способности. Городские власти назначили ему стипендию для помощи в дальнейшем обучении.

В 1591 году поступил в университет  в Тюбингене — сначала на факультет  искусств, к которым тогда причисляли и математику с астрономией, затем переходит на теологический факультет. Здесь он впервые услышал об идеях Николая Коперника о гелиоцентрической системе мира и сразу стал их приверженцем.

Первоначально Кеплер планировал стать протестантским священником, но благодаря незаурядным математическим способностям в 1594 году был приглашён читать лекции по математике в университете города Граца (ныне в Австрии).

В Граце Кеплер провёл 6 лет. Здесь  в 1596 году вышла в  свет его первая книга «Тайна мира». В ней Кеплер попытался найти тайную гармонию Вселенной, для чего сопоставил орбитам пяти известных тогда планет (сферу Земли он выделял особо) различные «платоновы тела» (правильные многогранники). Орбиту Сатурна он представил как круг на поверхности шара, описанного вокруг куба. В куб в свою очередь был вписан шар, который должен был представлять орбиту Юпитера. В этот шар был вписан тетраэдр, описанный вокруг шара, представлявшего орбиту Марса и т. д. Эта работа после дальнейших открытий Кеплера утратила своё первоначальное значение,  тем не менее в наличие скрытой математической гармонии Вселенной Кеплер верил до конца жизни, и в 1621 году переиздал «Тайну мира», внеся в ней многочисленные изменения и дополнения.

Книгу «Тайна мира» Кеплер послал Галилею и Тихо Браге. Галилей одобрил гелиоцентрический подход Кеплера, хотя мистическую нумерологию не поддержал. В дальнейшем они вели оживлённую переписку.

Тихо Браге также  отверг надуманные построения Кеплера, однако высоко оценил его знания, оригинальность мысли и пригласил Кеплера к себе.

В 1597 году Кеплер женится  на вдове Барбаре Мюллер фон Мулек. Их первые двое детей умирают во младенчестве, а жена заболевает эпилепсией. В довершение невзгод, в католическом Граце начинаются гонения на протестантов. Кеплер занесён в список изгоняемых «еретиков» и вынужден покинуть город.

Он принимает приглашение  Тихо Браге, который к этому времени  переехал в Прагу и служит у  императора Рудольфа II придворным астрономом и астрологом.

Проведённые  в Праге 10 лет являются самый плодотворным периодом жизни Иоганна Кеплера.

После смерти Браге в 1601 году Кеплер становится его преемником в должности. Казна императора из-за нескончаемых войн была постоянно пуста. Жалованье Кеплеру платили редко  и скудно. Он вынужден подрабатывать  составлением гороскопов. Кеплеру пришлось также вести многолетнюю тяжбу с наследниками Тихо Браге, которые пытались отобрать у него, среди прочего имущества покойного, также и результаты астрономических наблюдений.

В 1610 году Галилей сообщает Кеплеру об открытии спутников Юпитера. Кеплер встречает это сообщение недоверчиво и в полемической работе «Разговор со Звёздным вестником» приводит несколько юмористическое возражение: «непонятно, к чему быть, если на этой планете нет никого, кто бы мог любоваться этим зрелищем». Но позже, получив свой экземпляр телескопа, Кеплер изменил своё мнение, подтвердил наблюдение спутников и сам занялся теорией линз. Результатом стали усовершенствованный телескоп и фундаментальная работа «Диоптрика».

В Праге у Кеплера  родились два сына и дочь. В 1611 году старший сын Фридрих умирает от оспы. В это же время душевнобольной император Рудольф II, проиграв войну с собственным братом Матвеем, отрекается в его пользу от чешской короны и вскоре умирает. Кеплер начинает сборы для переезда в Линц, но тут после долгой болезни умирает его жена Барбара.

В 1612 году, собрав скудные  средства, Кеплер переезжает в Линц, где прожил 14 лет. За ним сохранена  должность придворного математика и астронома, но в деле оплаты новый  император ничем не лучше старого. Некоторый доход приносят преподавание математики и гороскопы. В 1613 году Кеплер женится на 24-летней дочери столяра Сюзанне. У них родилось семеро детей из которых выжили только четверо. В 1615 году Кеплер получает известие, что его мать обвинена в колдовстве. Кеплер пишет городским властям; мать вначале отпускают, но затем снова арестовывают. Следствие тянулось 5 лет. Наконец, в 1620 году начался суд. Кеплер сам выступил защитником, и через год измученную женщину наконец освободили. В следующем году она скончалась.

 Кеплер стал автором  первого обширного изложения  коперниканской астрономии в  трех томах (1617–1622), который немедленно  удостоился чести попасть в  «Индекс запрещённых книг». В  эту книгу, свой главный труд, Кеплер включил описание всех  своих открытий в астрономии.

В 1626 году в ходе Тридцатилетней войны Линц осаждён и вскоре захвачен. Начинаются грабежи и пожары; в  числе прочих сгорает типография. Кеплер переезжает в Ульм

Летом 1627 года Кеплер после 22 лет трудов опубликовал за свой счёт астрономические таблицы, которые в честь императора назвал «Рудольфовыми». Спрос на них был огромен, так как все прежние таблицы давно разошлись с наблюдениями. Этот труд впервые включал удобные для расчётов таблицы логарифмов. Кеплеровы таблицы служили астрономам и морякам вплоть до начала XIX века.

  В 1628 году Кеплер переходит на службу к Валленштейну. В 1630 году отправляется к императору в Регенсбург, чтобы получить хотя бы часть жалованья. По дороге сильно простужается и вскоре умирает.

После смерти Кеплера  наследникам досталось: поношенная одежда, 22 флорина наличными, 29 000 флоринов невыплаченного жалованья, 27 опубликованных рукописей и множество неопубликованных; они позже были изданы в 22-томном сборнике.

Со смертью Кеплера  его злоключения не закончились. В конце Тридцатилетней войны было полностью разрушено кладбище, где он похоронен, и от его могилы ничего не осталось. Часть архива Кеплера исчезла. В 1774 году большую часть архива (18 томов из 22) приобрела Петербургская Академия наук, где он и хранится в настоящий момент.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Законы Кеплера

 

В конце XVI века в астрономии ещё происходила борьба между  геоцентрической системой Птолемея и гелиоцентрической системой Коперника. Противники системы Коперника ссылались  на то, что в отношении погрешности расчётов она ничем не лучше птолемеевской. В модели Коперника планеты равномерно движутся по круговым орбитам: чтобы согласовать это предположение с видимой неравномерностью движения планет, Копернику пришлось ввести дополнительные движения по эпициклам. Хотя эпициклов у Коперника было меньше, чем у Птолемея, его астрономические таблицы, первоначально более точные, чем птолемеевы, вскоре существенно разошлись с наблюдениями, что немало озадачило и охладило восторженных коперниканцев.

Открытые Кеплером три закона движения планет полностью и с превосходной точностью объяснили видимую неравномерность этих движений. Вместо многочисленных надуманных эпициклов модель Кеплера включает только одну кривую — эллипс. Второй закон установил, как меняется скорость планеты при удалении или приближении к Солнцу, а третий позволяет рассчитать эту скорость и период обращения вокруг Солнца.

Хотя исторически кеплеровская система мира основана на модели Коперника, фактически у них очень мало общего (только суточное вращение Земли). Исчезли круговые движения сфер, несущих на себе планеты, появилось понятие планетной орбиты. В системе Коперника Земля всё ещё занимала несколько особое положение, поскольку только у неё не было эпициклов.

У Кеплера Земля — рядовая  планета, движение которой подчинено общим трём законам. Все орбиты небесных тел — эллипсы (движение по гиперболической траектории открыл позднее Ньютон), общим фокусом орбит является Солнце.

Законы планетной кинематики, открытые Кеплером, послужили позже  Ньютону основой для создания теории тяготения. Ньютон математически доказал, что все законы Кеплера являются следствиями закона тяготения.

Законы Кеплера соединяли  в себе ясность, простоту и вычислительную мощь, хотя мистическая форма его  системы мира основательно засоряла реальную суть великих открытий Кеплера. Тем не менее, уже современники Кеплера убедились в точности новых законов, хотя их глубинный смысл до Ньютона оставался непонятным. Никаких попыток реанимировать модель Птолемея или предложить иную систему движения, кроме гелиоцентрической, больше не предпринималось.

  Исторически сложилось так, что законы Кеплера  пронумерованы не по хронологии их открытия, а в порядке их осмысления в научных кругах. Реально же первый закон был открыт в 1605 году (опубликован в 1609 году), второй — в 1602 году (опубликован в 1609 году). Оба закона были сформулированы Кеплером в 1609 году в книге «Новая астрономия», причём, осторожности ради, он относил их только к Марсу. Третий закон был открыт в 1618 году (опубликован в 1619 году).

Замечательно, что законы Кеплера, составляющие базис небесной механики, выведены из наблюдений Тихо Браге, выполненных без телескопа.

Будучи великолепным наблюдателем, Тихо Браге за много лет составил объёмный труд по наблюдению планет и сотен звёзд, причём точность его измерений была существенно выше, чем у всех предшественников. Для повышения точности Браге применял как технические усовершенствования, так и специальную методику нейтрализации погрешностей наблюдения. Особо ценной была систематичность измерений. На протяжении нескольких лет Кеплер внимательно изучает данные Браге и в результате тщательного анализа приходит к своим открытиям в астрономии.

 

 

 

 

2.1. Первый закон 

 

 Каждая  планета обращается вокруг Солнца  по эллипсу, в одном из фокусов  которого находится Солнце.

Тихо Браге  поставил перед Кеплером задачу создания научной  теории движения Марса. Следуя методике тех лет, Кеплер перепробовал множество  комбинаций эпициклов и эксцентриков, но не смог найти подходящую для точного предвычисления наблюдаемого положения планеты. Наконец, он предположил, что орбита Марса эллиптическая, и увидел, что эта кривая хорошо описывает наблюдения, если Солнце поместить в один из фокусов эллипса. Затем Кеплер предположил, что все планеты движутся по эллипсам, в фокусе которых находится Солнце. А орбиту Луны он описал эллипсом, в фокусе которого расположена Земля.

Действительно, орбиты всех больших планет – эллипсы, причем у Венеры орбита наиболее округлая (эксцентриситет е = 0,0068), а у Плутона наиболее вытянута (е = 0,2485). Орбиты малых планет – астероидов – тоже эллипсы; наиболее круглая орбита у астероида 1177 Гоннезия (е = 0,0063), а наиболее эксцентричная у 944 Идальго (е = 0,656).

Самая  близкая к  Солнцу точка эллипса называется перигелий (обозначается q), а самая  отдаленная - афелий (обозначается Q).

Если центральным "светилом" является не Солнце, а, например, Земля (или иная планета) и нас интересует движение ее спутников, также можно пользоваться законами Кеплера. Надо просто Солнце заменить на Землю, а планеты - на спутники.

Современная  формулировка первого закона дополнена так: в  невозмущенном движении орбита движущегося  тела есть кривая второго порядка  – эллипс, парабола или гипербола; эти кривые получаются в результате разных вариантов сечения конуса.

 

 

 

Множество всех точек  плоскости, сумма расстояний от которых  до двух данных точек F1 и F2 постоянна  называются эллипсом. Точки F1 и F2 называются его фокусами.

Величины а и b задают размеры полуосей эллипса (т. е. расстояния от центра эллипса до наиболее и наименее удалённых его точек). Чем ближе друг к другу размеры полуосей эллипса, тем больше он похож на окружность и превращается в неё при а = b. Сплюснутость эллипса принято также характеризовать отношением е = с/а, получившим название эксцентриситет.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2. Второй закон 

 

  Радиус-вектор  планеты за равные промежутки  времени описывает равные площади.

Другая  формулировка этого закона - секториальная скорость планеты постоянна.

 

     Секториальная скорость

 

    

 

    

Это означает, что чем  ближе планета к Солнцу, тем  быстрее она движется. И наоборот, чем дальше планета от Солнца, тем  медленее она движется.

Законы Кеплера полностью  эмпирические, они выведены из наблюдений. Чтобы получить закон площадей, Кеплер трудился около восьми лет, проделав громадный объем вычислений. Чем ближе планета к Солнцу, тем быстрее она движется по орбите. Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее; поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленно, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.