Арифметические  основы ЭВМ.

План.

1. Понятие системы счисления. Виды систем счисления.
1. Двоичная система счисления.
2. Восьмеричная система счисления.
3. Шестнадцатеричная система счисления.
4. Двоично-десятичная система счисления.
2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
1. Получение десятичного эквивалента q-ичного числа.
2. Перевод целых чисел.
3. Перевод дробных чисел.
4. Табличный способ перевода.
3. Упражнения для самостоятельной работы.

Понятие системы счисления. Виды систем счисления.

   Система счисления соглашение о представлении чисел посредством конечной совокупности символов, называемой алфавитом.

   Различают позиционные и непозиционные  системы счисления. В позиционной системе счисления величина каждой цифры зависит от ее места положения в числе (например, десятичная система счисления). В непозиционной системе счисления величина каждой цифры фиксирована и не зависит от ее положения в числе. Пример непозиционной системы счисления - римская, в которой числа изображаются буквами латинского алфавита:

   I  всегда означает 1

   V  всегда означает 5

   X  всегда означает 10

   L  всегда означает 50

   C  всегда означает 100

   D  всегда означает 500

   M  всегда означает 1000

   В римской системе счисления значения записанных рядом букв в изображении  числа складываются, но если меньшее  число  стоит в изображении слева от большего, то оно вычитается.

   Пример:

   MDCLXXVIII=1000+500+100+50+10+10+5+1+1+1=1678

   CCXLVII=100+100-10+50+5+1+1=247

   MCDXXIX=1000+500-100+10+10+10-1=1429 

   В непозиционных системах счисления очень сложно выполнять арифметические операции (действия над числами связаны с большими трудностями и не имеют строгих правил), и в этих системах нельзя выражать отрицательные и дробные числа. Поэтому в вычислительной технике используются только позиционные системы счисления.

   Число N_q в системе счисления с основанием q записывается в виде: N_q = a_n-1a_n-2...a₁a₀,a_-1...a_-m, где

   a_i – цифры системы счисления

   n - число разрядов целой части

   m - число разрядов дробной части

   В случае, если q=10, основание системы счисление не подписывают.

   Пример: 5124₆, 1010₂, AD20₁₆, 507₈.

   В позиционной системе счисления  с основанием q любое положительное число N_q может быть представлено в виде суммы степеней основания q с соответствующими коэффициентами а_i:

   N_q = a_n-1q^n-1 + a_n-2q^n-2 + ... +a₁q + a₀ + a_-1q^-1 + ... + a_-mq^-m =

            (*)

   где а_i = 0, 1, 2, ..., q-1.

   Запись (*) еще называют систематической записью числа в системе счисления с основанием q.

   Так в привычной нам десятичной системе счисления:

   567,89₁₀=5·100+6·10+7+0,8+0,09=5·10²+6·10¹+7·10⁰+8·10^-1+9·10^-2

   1101,101₂=1·2³+1·2²+0·2¹+1·2⁰+1·2^-1+0·2^-2+1·2^-3

   В вычислительной технике обычно используются системы счисления: двоичная; восьмеричная; шестнадцатеричная; двоично-десятичная.

Двоичная  система счисления.

   Любая информация в современных ЭВМ представляется последовательностью 0 и 1 (бит). Это обусловлено тем, что большинство элементов, из которых состоит ЭВМ, по своей физической природе могут находиться лишь в одном из двух устойчивых состояний: “Включено”, “Выключено”. Такие элементы принято называть двухпозиционными. С помощью двухпозиционных элементов легко изображаются разряды двоичного числа. Одно из устойчивых состояний соответствует цифре 0, а другое - цифре 1.

   В этом отношении двоичная система  счисления имеет преимущества перед остальными системами и поэтому оказывается очень удобной для применения в ЭВМ. В двоичной системе счисления легко реализуются арифметические операции, что дает возможность значительно упростить конструкции вычислительных устройств  по сравнению с устройствами, работающими в других системах.

   Кроме того, двоичная система счисления  по плотности представления информации является одной из наиболее близких к оптимальной.

   В двоичной системе счисления основание  системы равно 2 и для представления чисел используются только два символа (2 цифры): 0 и 1. Любое число N в двоичной системе счисления представляется в виде суммы степеней основания 2 с соответствующими коэффициентами:

   N = a_n-12^n-1+a_n-22^n-2+...+a₁2¹+a₀+a_-12^-1+...+a_-m2^-m=

        где a_i = 0; 1.

   Затем с помощью этих коэффициентов  число записывается в сокращенной форме.

   Например, десятичное число 23,625 можно представить  в виде суммы: 23,625 = 1^.2⁴+0^.2³+1^.2²+1^.2¹+1^.2⁰+1^.2^-1+0^.2^-2+1^.2^-3.

   Отсюда  может быть получена его запись в  двоичной системе счисления: 23,625₍₁₀₎ = 10111,101₍₂₎ .

   При разложении числа используют таблицу  степеней основания, отсюда этот способ перевода чисел получил название табличный.

   Поскольку двоичная система широко используется, полезно знать степени числа 2:

Восьмеричная  система счисления

   Для ускорения процесса перевода чисел  бывает удобнее воспользоваться восьмеричной системой счисления, в которой число представляется в виде суммы степеней основания восемь:

   N = b_n-18^n-1+...+b₂8²+b₁8¹+b₀+b_-18^-1+...+b_-m8^-m=

     где b_i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Шестнадцатеричная система счисления

   В ЭВМ в качестве единицы информации или объема памяти используют не бит, а байт, содержащий 8 двоичных разрядов. Один полубайт соответствует одному разряду шестнадцатеричного числа 2⁴ = 16. Поэтому для более компактного отображения двоичного числа удобнее представлять его в шестнадцатеричной системе счисления, в которой используется 16 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Каждой цифре шестнадцатеричного числа ставят в соответствие его двоичный эквивалент - тетраду.

   Иногда  полезно знать соответствие одинаковых чисел в указанных системах счисления  и десятичной системе счисления (таблица)

Двоично-десятичная система счисления

   Входная информация в ЭВМ обычно представляется в десятичной системе счисления, а затем по специальным программам переводится в двоичную. Однако для  того чтобы можно было обрабатывать десятичные числа в машине, их необходимо представить в форме, удобной для машины. С этой целью производится кодирование каждой десятичной цифры с помощью двоичных элементов.

   Двоично-десятичное представление является наиболее простым  представлением, где каждая десятичная цифра, представляется своим четырех-разрядным двоичным эквивалентом - “тетрадой”.

   Десятичные  цифры от 0 до 9 кодируются тетрадами  от 0000 до 1001, тетрады 1010-1111 запрещены, т.к. используются для представления  десятичных чисел больших девяти. При обратном преобразовании каждая двоичная тетрада интерпретируется как десятичная цифра.

   Пример: представим десятичное число 3759 в двоично-десятичной форме

   3759₁₀=0011 0111 0101 1001=11011101011001_2-10

   Пример: представим двоично-десятичное число 1000010110010011 в десятичной форме

   1000010110010011_2-10=1000 0101 1001 0011=8593₁₀

   Пример: 237,82₍₁₀₎ = 1000110111,1000001_(2-10).

Перевод чисел из одной  системы счисления  в другую.

Получение десятичного эквивалента q-ичного числа

   Если  требуется записать десятичный эквивалент q-ичного числа, то это число следует представить в систематической форме (*), после чего выполнить арифметические операции над числами в десятичной системе счисления.

   Пример:

   A50D,0B₁₆=A·16³+5·16²+0·16¹+D·16⁰+0·16^-1+B·16^-2=10·4096+5·256+13+11·0,00390625=

       =42253,04296875

   101,11₂=1·2²+0·2¹+1·2⁰+1·2^-1+1·2^-2=4+1+0,5+0,25=5,75

Перевод целых чисел

   Алгоритм  перевода целого числа состоит в  делении исходного числа на основании  новой системы счисления. Остаток  представляет младший разряд числа. Полученное частное вновь делится на основание системы счисления. Остаток дает более старший разряд числа. И так до тех пор, пока в частном не окажется число, равное нулю (или пока не получится частное, меньшее основания новой системы счисления). Следует заметить, что все операции производятся в старой системе счисления.