Численные решения обыкновенных дифференциальных уравнений

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Программа решения  методом Рунге-Кутта :

CLS

DEF fnf(x ,  y ,  z ) = z

DEF fng ( x,  y ,  z ) = -y-z*LOG(x)

READ  a, b,  y,  z,  n

DATA 1.4,2.4,1.8,2.3,10

h = (b-a) / n

FOR  i = 0  TO  n

x = a + i * h

PRINT #1,  “x= “; x,  “y=” ; y

k1 = fnf (x, y, z)

m1 = fng (x, y, z)

y1=y

z1=z

x = x + h / 2

y = y1 + h * k1 / 2

z = z1 + h * m1 / 2

k2 = fnf (x, y, z)

m2 = fng (x, y, z)

y = y1 + h * k2 / 2

z = z1 + h * m2 / 2

k3 = fnf (x, y, z)

m3 = fng (x, y, z)

x = x + h / 2

y = y1 + h * k3

z = z1 + h * m3

k4 = fnf (x, y, z)

m4 = fng (x, y, z)

y = y1 + h * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6

z = z1 + h * (m1 + 2 * m2 + 2 * m3 + m4) / 6

NEXT i

END 

Результаты счета  по программе :

х= 1.4            у=1.8

х= 1.5            у=2.016653

х= 1.6            у= 2.204984

х= 1.7          у= 2.363179

х= 1.8            у= 2.490232

х= 1.9            у= 2.585896

х= 2.0            у= 2.650613

х= 2.1            у= 2.685432

х= 2.2            у= 2.691923

х= 2.3            у= 2.672077

х= 2.4            у= 2.628217 

Блок-схема  метода Рунге - Кутта  

                                                                        начало

ввод: x0, n, h, y, z

 

i=0

                                                              x=x0 + i*h 

печать: x,y

k1=z: m1=z′

y1=y: z1=z

x=x+h/2: y=y1+h*k1/2: z=z1+h*m1/2

k2=z: m2=z′ 

y=y1+h*k2/2: z=z1+h*m2/2

k3=z: m3=z′

x=x+h/2: y=y1+h*k3: z=z1+h*m3

k4=z: m4=z

y=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6

z=z1+h*(m1+2*m2+2*m3+m4)/6

            

                                                                    i=i+1

                                                                   нет                       да

           i<n 

                                                    конец 
 
 

3.4 Сравнение полученных  результатов.

      Сравним результаты проведенных вычислений. Для этого поместим их в общую  таблицу и построим график.

Таблица 2: сравнение полученных результатов 

 

График 2: сравнение  полученных результатов 

 
 

Ряд 1   - значения, полученные методом Эйлера

Ряд 2- значения, полученные методом Рунге-Кутта

       

Из графика  видно, что значения, полученные методом Эйлера, почти, совпадают со значениями, которые мы получили при решении уравнения методом Рунге-Кутта. С ростом аргумента увеличивается разница между значениями функции. 
 
 

Заключение.

        В  данной  работе  были  рассмотрены   два  численных  метода  приближенного   решения  задачи  Коши  для   дифференциального  уравнения  1-го  и  2-го  порядков:  метод   Эйлера  и  метод  Рунге – Кутта.  Каждый  из  них  имеют  свои  преимущества  и  недостатки.  Так,  решение  по  методу  Эйлера  значительно  проще  и  требует  меньших  временных  затрат,  чем  по  методу  Рунге – Кутта.  Но,  в  то  же  время,  метод  Эйлера  обладает  невысокой относительно  шага  точностью и дает  сравнительно  удовлетворительные  результаты  лишь  при малых значениях шага.  Поэтому,  в отдельных случаях в зависимости от  конкретных  целей (получения быстрых или точных  результатов),  применяют  тот  или  иной  метод.

      Таким  образом,  по  результатам  данной  работы  можно  сделать  вывод,  что  численные  методы  играют  важную  роль  в  решении  дифференциальных  уравнений. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Используемая  литература.

1  Методические указания №1-4. Дифференциальные уравнения.- Г.: НГТУ,1986.

2 Методические указания №1-9. Численное интегрирование дифференциальных уравнений. – Г.: НГТУ,1988.

3       Методические указания №1-23. Решение задач численными методами.                           - Н.Н.:НГТУ,1997.

4      Волков Е.А. Численные методы-.М.:Наука,1987

5      Пискунов С.Н. Дифференциальное  и интегральное исчисления –  М.: Наука, 1978 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Содержание

Введение

1 Краткая характеристика  используемых методов

1.1 Метод Эйлера

1.2 Метод Ренге-Кутта

2 Решение обыкновенного  дифференциального уравнения первого  порядка

2.1 Аналитическое  решение

2.2 Решение методом  Эйлера

2.3 Решение методом  Рунге-Кутта

2.4 Сравнение  полученных результатов

3 Решение обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

3.1 Аналитическое  решение

3.2 Решение методом  Эйлера

3.3 Решение методом  Рунге-Кутта

3.4 Сравнение  полученных результатов

Заключение

Используемая  литература