I (X, Y) = H(X) = H(Y); H (X/Y) = 0. 

     Если Х_Т – количество символов за время T, то скорость передачи информации для дискретного канала связи без помех равна 

       (6) 

     где V = 1/ – средняя скорость передачи одного символа.

     Пропускная  способность для дискретного  канала связи без помех 

       (7) 

     Т.к. максимальная энтропия соответствует для равновероятных символов, то пропускная способность для равномерного распределения и статистической независимости передаваемых символов равна: 

      . (8) 

     Первая  теорема Шеннона для канала: Если поток информации, вырабатываемый источником, достаточно близок к пропускной способности канала связи, т.е. 

      , где - сколь угодно малая величина, 

     то  всегда можно найти  такой способ кодирования, который обеспечит передачу всех сообщений источника, причем скорость передачи информации будет весьма близкой к пропускной способности канала.

     Теорема не отвечает на вопрос, каким образом осуществлять кодирование.

     Пример 1. Источник вырабатывает 3 сообщения с вероятностями:

     p₁ = 0,1; p₂ = 0,2 и p₃ = 0,7.

     Сообщения независимы и передаются равномерным  двоичным кодом (m = 2) с длительностью символов, равной 1 мс. Определить скорость передачи информации по каналу связи без помех.

     Решение: Энтропия источника равна 

     

      [бит/с]. 

     Для передачи 3 сообщений равномерным  кодом необходимо два разряда, при  этом длительность кодовой комбинации равна 2t.

     Средняя скорость передачи сигнала 

     V =1/2t = 500 [1/c]. 

     Скорость  передачи информации 

     C = vH = 500×1,16 = 580 [бит/с]. 

     Дискретный канал связи с помехами 

     Мы  будем рассматривать дискретные каналы связи без памяти.

     Каналом без памяти называется канал, в котором на каждый передаваемый символ сигнала, помехи воздействуют, не зависимо от того, какие сигналы передавались ранее. То есть помехи не создают дополнительные коррелятивные связи между символами. Название «без памяти» означает, что при очередной передаче канал как бы не помнит результатов предыдущих передач.

     При наличии помехи среднее количество информации в принятом символе сообщении – Y, относительно переданного – X равно: 

      . 

     Для символа сообщения X_T длительности T, состоящего из n элементарных символов среднее количество информации в принятом символе сообщении – Y_T относительно переданного – X_T равно: 

     I(Y_T, X_T) = H(X_T) – H(X_T/Y_T) = H(Y_T) – H(Y_T/X_T) = n [H(Y) – H (Y/X). (9) 

     Для определения потерь в дискретном канале связи используется канальная  матрица (матрица переходных вероятностей), позволяющая определить условную энтропию характеризующую потерю информации на символ сообщения.

     Скорость  передачи информации по дискретному  каналу с помехами

     равна: 

       (10) 

     Пропускная  способность дискретного канала при наличии помех равна максимально  допустимой скорости передачи информации, причем максимум разыскивается по всем распределениям вероятностей p(x) на X и, поскольку, энтропия максимальна для равномерного распределения (для равновероятных символов сообщения), то выражение для пропускной способности имеет вид: 

      . (11) 

     Как видно из формулы, наличие помех  уменьшает пропускную способность  канала связи.

     Пример. По каналу связи передаются сообщения, вероятности которых соответственно равны:

 

     p(x₁)=0,1; p(x₂)=0,2; p(x₃)=0,3; p(x₄)=0,4. 

     Канальная матрица, определяющая потери информации в канале связи имеет вид:

     

      . 

     Определить:

1. Энтропию источника информации – H(X).
2. Безусловную энтропию приемника информации – H(Y).

     3. Общую условную энтропию – H (Y/X).

4. Скорость передачи информации, если время передачи одного символа первичного алфавита t = 0,1 мс.
5. Определить потери информации в канале связи при передаче 500 символов алфавита.
6. Среднее количество принятой информации.
7. Пропускную способность канала связи.

     Решение:

1. Энтропия источника сообщений равна

 

       

     

2. Вероятности появления символов на входе приемника

 

     

       

     Проверка: 

       

     Энтропия  приемника информации равна 

       

     

3. Общая условная энтропия равна

 

       

     

4. Скорость  передачи информации равна:

     

     =(1,85–0,132)/0,0001=17,18 Кбит/с.  

     

5. Потери информации в канале связи при передаче 500 символов алфавита равны:

 

      500×0,132=66 бит. 

     

6. Среднее количество принятой информации равно:

 

     

     =500×(1,85–0,132)=859 бит. 

     

7. Пропускная  способность канала связи

 

      (2–0,132)/0,0001=18,68 Кбит/с.[4стр.89-112] 

     Пропускная  способность бинарного, симметричного канала 

     Бинарным  дискретным каналом  называется канал, по которому передается только два элементарных дискретных символа (т.е. используется двоичный код).

     Симметричным  дискретным каналом называется канал, в котором. вероятности не зависят от передаваемых символов, т.е. вероятности правильной передачи одинаковы (p(x₁)= p(x₂)) и вероятности ошибочной передачи одинаковы (p(y₁ /x₂)= p(y₂/x₁)).

     Рассмотрим  двоичный дискретный канал, по которому передаются дискретные символы «0» и «1» (m=2). Если передаваемые символы независимы и равновероятны (p(x₁)= p(x₂)=1/2), то сигнал имеет максимальную энтропию (H_max(X)=1), при этом p (1/0) = p (0/1).

     Если P_ош – вероятность ошибки то 1-Р_ош – вероятность правильного приема. Диаграмма передачи двоичных сигналов по симметричному калу приведена на рис. 2. 

     p(y₁/ x₁) = 1-Р_ош

     x₁ не искажен y₁ 

       
 
 
 
 

     искажен p(y₁/x₂) =P_ош

     искажен p(y₂/x₁) =P_ош 
 

     x₂ не искажен y₂

     p(y₂ / x₂)= 1-Р_ош 

     Рис. 2. Диаграмма переходных вероятностей симметричного канала 

     Условная  энтропия для симметричного канала равна 

       

     Пропускная  способность для двоичного, симметричного  канала 

       (12) 

     Это уравнение Шеннона для симметричного двоичного канала.

     Наличие ошибки приводит к уменьшению пропускной способности.

     Так при p_ош = 0,01 пропускная способность равна C = 0,9/t = 0,9C_max.

     Основная  теорема Шеннона о кодировании  для дискретного канала с помехами: Для дискретного канала с помехами существует такой способ кодирования, который позволяет осуществлять безошибочную передачу информации, если производительность источника ниже пропускной способности 

Пропускная  способность непрерывного канала связи 

     Непрерывный канал передачи информации содержит совокупность средств для передачи непрерывных сигналов, при этом вместо кодирующих и декодирующих устройств используются различного рода преобразователи (модуляция и т.д.). Входные и выходные сигналы в непрерывном канале связи представляют ансамбли непрерывных функций с соответствующими плотностями распределений вероятности.

     Если  на вход непрерывного канала связи  поступает непрерывный сигнал X(t) длительностью T, то вследствие воздействия помех f(t) выходной сигнал Y(t) будет отличаться от входного. При этом количество информации в сигнале Y(t) о сигнале X(t) равно: 

      . (13) 

     Непрерывный сигнал, можно рассматривать как  дискретный при . Он может быть представлен в виде решетчатой функции, при этом на приемной стороне по отдельным взятым отсчетам через интервал Dt может быть восстановлен исходный непрерывный сигнал.

     Шаг квантования Dt = T/n, где n – число точек отсчета. В соответствии с теоремой Котельникова Dt = 1/2f_c, где f_c - частота среза а n = 2Tf_c – база сигнала.

     При этом в выражении (13) для взаимной информации вместо разности энтропии можно записать разности соответствующих  дифференциальных энтропий отдельных  отсчетов 

      . 

     Пропускная  способность непрерывного канала связи 

      (14) 

     Для дискретного канала связи максимальное значение скорости передачи соответствует равновероятным символам алфавита. Для непрерывного канала связи, когда заданной является средняя мощность сигнала, максимальная скорость обеспечивается при использовании нормальных центрированных случайных сигнала.