Метод правых прямоугольников

СОДЕРЖАНИЕ 

     ВВЕДЕНИЕ 2

1. Постановка задачи 4
2. Теоретическая часть 5
1. Метод правых прямоугольников 5
2. Примеры решения задач 8
3. Индивидуальные задания 10
3. Алгоритм решения (блок-схема) 16
4. Инструкция пользователя 18
5. Руководство программиста 23

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 25

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 26

ПРИЛОЖЕНИЕ  А 28

ПРИЛОЖЕНИЕ  В 35

 

ВВЕДЕНИЕ 

     Задача  вычисления интегралов возникает во многих областях прикладной математики. В большинстве случаев встречаются  определённые интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Кроме того, в приложениях приходится иметь дело с определёнными интегралами, сами подынтегральные функции не являются элементарными, то есть функция задается графиком или таблицей экспериментально полученных значений. В таких ситуациях используют различные методы численного интегрирования, которые основаны на том, что интеграл представляется в виде предела интегральной суммы (суммы площадей), и позволяют определить эту сумму с приемлемой точностью. Программная реализация алгоритмов методов численного интегрирования позволяет наиболее оптимально представить процесс вычисления значения определенного интеграла. Вследствие вышеизложенного разработка программного приложения «Приближенное вычисление определенных интегралов по формуле правых прямоугольников».

     Проблема  исследования заключается в том, что в прикладной математике и в других областях, где применяются программы позволяющие вычислить приближенное решение определенного интеграла по формулам правых прямоугольников, нуждаются в разработке программы для конкретного определенного интеграла, то есть интеграла вида .

     Объектом  исследования область математического моделирования - приближенное решение определенного интеграла по формулам правых прямоугольников.

     Предметом исследования является процесс разработки программного приложения, позволяющего найти приближенное решение определенного интеграла вида по формулам правых прямоугольников.

     Целью исследования является разработка программного приложения «Приближенное вычисление определенных интегралов по формуле правых прямоугольников», позволяющая находить значение определенного интеграла вида .

     В качестве гипотезы решения проблемы нами было выдвинуто предположение о том, что разработанное программное приложение позволит пошагово продемонстрировать процесс вычисления приближенного значения определенного интеграла вида по формулам правых прямоугольников.

     Задачи  исследования:

• подбор и анализ литературы;
• разработка программы и проверка правильности её работы;
• предоставление исходных и итоговых материалов.

     Для реализации целей и задач исследования  применялись следующие методы:

• теоретические – анализ литературы, анализ и отбор компьютерных программных продуктов;
• эмпирические – беседа с преподавателем, проверка правильности работы ПО, отладка ПО.

     Этапы работы:

• изучение рынка аналогичных программных продуктов;
• постановка задачи;
• выбор средств для реализации проекта;
• создание структуры данных;
• создание функциональной части программного продукта;
• подготовка описания программного продукта;
• разработка презентационного материала к программному продукту.

     Программный продукт может применяться на занятиях по дисциплинам «Численные методы» и «Математическое моделирование» в качестве демонстрационного примера реализации метода правых прямоугольников средствами среды программирования Borland Delphi.  
 
 
 

1. Постановка  задачи

 

     Разработать программное приложение «Приближенное вычисление определенных интегралов по формуле правых прямоугольников», позволяющее приближенно вычислять определенные интегралы вида по формулам правых прямоугольников, где подынтегральная функция имеет вид f(x) = .

     Данная  программа должна реализовывать  следующие функции:

• ввод коэффициентов отрезков интегрирования a, b, m, k, l, n;
• ввод коэффициентов общей формулы;
• приближённое вычисление определённого интеграла по формуле правых прямоугольников;
• вычисление погрешности;
• построение графика подынтегральной функции y=f(x);
• обработка исключительных ситуаций;
• визуальное представление решения определенного интеграла   для пользователей.

     Разрабатываемое приложение должно функционировать  на персональном компьютере (ПК) со следующими характеристиками:

• операционная система семейства Windows;
• 1 Гб свободного дискового пространства;
• оперативная память не менее 128Мб;
• монитор с разрешением 1024х768 пикселей;
• мышь, клавиатура, CD-ROM; 
  

2. Теоретическая  часть 
   

2.1 Метод правых прямоугольников

     При решении инженерных задач часто  необходимо вычислять определённый интеграл.  Когда не удаётся выразить интеграл в замкнутой форме, или  полученная формула сложна, или подынтегральная  функция задана таблично, используют численное интегрирование.

В основе численного интегрирования лежит приближенное вычисление площади под кривой, описываемой  подынтегральной функцией. В общем  виде задача формулируется как нахождение значения .

Наиболее  просты для реализации методы, для  которых значения x заданы с постоянным шагом:

• методы прямоугольников (левых, правых и средних прямоугольников);
• метод трапеций (Ньютона - Котеса)
• метод парабол (Симпсона)

     Метод прямоугольников – это наиболее простой и вместе с тем наиболее грубый метод приближенного интегрирования. Рассмотрим подробно алгоритм решение определенных интегралов по формулам правых прямоугольников:

     Пусть требуется вычислить интеграл

1. разбить участки интегрирования (a, b) на n равных частей и поместим точки, значение функции, в которые входят в интегральную сумму, в левых концах полученных участков;
2. Если n достаточно велика, т.е. длина участков разбиения достаточна мала, то интегральная сума будет уже мало отличаться величины интеграла;
3. Таким образом, получим формулу правых прямоугольников для вычисления определенного интеграла:

 

     2.2 Примеры вычисления  определенного интеграла  методом правых  прямоугольников

     Пример 1. Вычислить интеграл по формуле правых прямоугольников при n=10.

Решение:

1. Разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка равна   
2. Строим ступенчатую фигуру: построение прямоугольников идет справа на лево (Рисунок 1)

 
 
 
 

Рисунок 1 График функции sinx

     Таблица 1 – Значение

 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Подставим в формулу:

Вычислить интеграл по формуле  правых прямоугольников  при n=5

Решение:

1. Разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка равна   
2. Строим ступенчатую фигуру: построение прямоугольников идет справа на лево (Рисунок 2)

 
Рисунок 2 График функции

Таблица 2-

 

3. Подставим в формулу:

 

2. Индивидуальные  задания

Вычислить приближенно интегралы по формуле правых прямоугольников и оценить погрешность вычислений по правилу Рунге.

 

3.  Алгоритм решения (блок-схема)

 

И.д.: n - число делимых отрезков;

          a- нижний предел интеграла;

         b -верхний предел интеграла;

         m, l, k- коэффициенты функции;

         h- длина элементарного отрезка;

        f - значение функции.

Рез.: s – значение определенного интеграла.

П.п.: i – параметр цикла;

          bx- значение изменения границ определенного интеграла.