Методы кластеризации. Алгоритм Forel

     В результате применения кластерного  анализа были получены следующие  пять групп стран:

1. афро-азиатская группа;
2. латино-азиатская группа;
3. латино-среднеземнаморская группа;
4. группа развитых капиталистических стран (без США)
5. США

     Введение  новых индикаторов сверх используемого  здесь 31 показателя или замена их другими, естественно, приводят к изменению  результатов классификации стран.

     2. Деление стран по критерию  близости культуры.

     Как известно маркетинг должен учитывать  культуру стран (обычаи, традиции, и  т.д.).

     Посредством кластеризации были получены следующие  группы стран:

1. арабские;
2. ближневосточные;
3. скандинавские;
4. германоязычные;
5. англоязычные;
6. романские европейские;
7. латиноамериканские;
8. дальневосточные.

     3. Разработка прогноза конъюнктуры  рынка цинка. 

     Кластерный  анализ играет важную роль на этапе редукции экономико-математической модели товарной конъюнктуры, способствуя облегчению и упрощению вычислительных процедур, обеспечению большей компактности получаемых результатов при одновременном сохранении необходимой точности. Применение кластерного анализа дает возможность разбить всю исходную совокупность показателей конъюнктуры на группы (кластеры) по соответствующим критериям, облегчая тем самым выбор наиболее репрезентативных показателей.

     Кластерный  анализ широко используется для моделирования  рыночной конъюнктуры. Практически  основное большинство задач прогнозирования  опирается на использование кластерного анализа.

     Например, задача разработки прогноза конъюнктуры  рынка цинка.

     Первоначально было отобрано 30 основных показателей  мирового рынка цинка:

• Х1 - время
• Показатели производства:
• Х2 - в мире
• Х3 - США
• Х4 - Европе
• Х5 - Канаде
• Х6 - Японии
• Х7 - Австралии
• Показатели потребления:
• Х8 - в мире
• Х9 - США
• Х10 - Европе
• Х11 - Канаде
• Х12 - Японии
• Х13 - Австралии
• Запасы цинка у производителей:
• Х14 - в мире
• Х15 - США
• Х16 - Европе
• Х17 - других странах
• Запасы цинка у потребителей:
• Х18 - в США
• Х19 - в Англии
• Х10 - в Японии

     Импорт  цинковых руд и концентратов (тыс. тонн)

• Х21 - в США
• Х22 - в Японии
• Х23 - в ФРГ

     Экспорт цинковых руд и концентратов (тыс. тонн)

• Х24 - из Канады
• Х25 - из Австралии

     Импорт  цинка (тыс. тонн)

• Х26 - в США
• Х27 - в Англию
• Х28 - в ФРГ

     Экспорт цинка (тыс. Тонн)

• Х29 - из Канады
• Х30 - из Австралии

     Для определения конкретных зависимостей был использован аппарат корреляционно-регрессионного анализа. Анализ связей производился на основе матрицы парных коэффициентов корреляции. Здесь принималась гипотеза о нормальном распределении анализируемых показателей конъюнктуры. Ясно, что rij являются не единственно возможным показателем связи используемых показателей. Необходимость использования кластерного анализа связано в этой задаче с тем, что число показателей влияющих на цену цинка очень велико. Возникает необходимость их сократить по целому ряду следующих причин:

     а) отсутствие полных статистических данных по всем переменным;

     б) резкое усложнение вычислительных процедур при введении в модель большого числа  переменных;

     в) оптимальное использование методов  регрессионного анализа требует  превышения числа наблюдаемых значений над числом переменных не менее, чем  в 6-8 раз;

     г) стремление к использованию в  модели статистически независимых  переменных и пр.

     Проводить такой анализ непосредственно на сравнительно громоздкой матрице коэффициентов  корреляции весьма затруднительно. С  помощью кластерного анализа  всю совокупность конъюнктурных  переменных можно разбить на группы таким образом, чтобы элементы каждого  кластера сильно коррелировали между  собой, а представители разных групп  характеризовались слабой коррелированностью.

     Для решения этой задачи был применен один из агломеративных иерархических  алгоритмов кластерного анализа. На каждом шаге число кластеров уменьшается  на один за счет оптимального, в определенном смысле, объединения двух групп. Критерием  объединения является изменение  соответствующей функции. В качестве функции такой были использованы значения сумм квадратов отклонений вычисляемые по следующим формулам:

     

     (j = 1, 2, …, m),

     где j - номер кластера, n - число элементов в кластере.

     rij - коэффициент парной корреляции.

     Таким образом, процессу группировки должно соответствовать последовательное минимальное возрастание значения критерия E.

     На  первом этапе первоначальный массив данных представляется в виде множества, состоящего из кластеров, включающих в  себя по одному элементу. Процесс группировки  начинается с объединения такой  пары кластеров, которое приводит к  минимальному возрастанию суммы  квадратов отклонений. Это требует  оценки значений суммы квадратов  отклонений для каждого из возможных объединений кластеров. На следующем этапе рассматриваются значения сумм квадратов отклонений уже для кластеров и т.д. Этот процесс будет остановлен на некотором шаге. Для этого нужно следить за величиной суммы квадратов отклонений. Рассматривая последовательность возрастающих величин, можно уловить скачок (один или несколько) в ее динамике, который можно интерпретировать как характеристику числа групп «объективно» существующих в исследуемой совокупности. В приведенном примере скачки имели место при числе кластеров равном 7 и 5. Далее снижать число групп не следует, т.к. это приводит к снижению качества модели. После получения кластеров происходит выбор переменных наиболее важных в экономическом смысле и наиболее тесно связанных с выбранным критерием конъюнктуры - в данном случае с котировками Лондонской биржи металлов на цинк. Этот подход позволяет сохранить значительную часть информации, содержащейся в первоначальном наборе исходных показателей конъюнктуры.

 

     3 МЕТОДЫ КЛАСТЕРНОГО АНАЛИЗА

     Сегодня существует достаточно много методов  кластерного анализа. Остановимся  на некоторых из них (ниже приводимые методы принято называть методами минимальной  дисперсии).

     Пусть Х - матрица наблюдений: Х = (Х1, Х2,..., Хu) и квадрат евклидова расстояния между Хi и Хj определяется по формуле:

     

     Метод полных связей.

     Суть  данного метода в том, что два  объекта, принадлежащих одной и  той же группе (кластеру), имеют коэффициент  сходства, который меньше некоторого порогового значения S. В терминах евклидова  расстояния d это означает, что расстояние между двумя точками (объектами) кластера не должно превышать некоторого порогового значения h. Таким образом, h определяет максимально допустимый диаметр подмножества, образующего кластер.

     Метод максимального локального расстояния.

     Каждый  объект рассматривается как одноточечный кластер. Объекты группируются по следующему правилу: два кластера объединяются, если максимальное расстояние между  точками одного кластера и точками  другого минимально. Процедура состоит  из n - 1 шагов и результатом являются разбиения, которые совпадают со всевозможными разбиениями в  предыдущем методе для любых пороговых  значений. 

Метод Ворда.

     В этом методе в качестве целевой функции  применяют внутригрупповую сумму  квадратов отклонений, которая есть ни что иное, как сумма квадратов  расстояний между каждой точкой (объектом) и средней по кластеру, содержащему  этот объект. На каждом шаге объединяются такие два кластера, которые приводят к минимальному увеличению целевой  функции, т.е. внутригрупповой суммы  квадратов. Этот метод направлен  на объединение близко расположенных  кластеров.

       Центроидный метод.

     Расстояние  между двумя кластерами определяется как евклидово расстояние между  центрами (средними) этих кластеров:

     d2_ij = (`X –`Y)Т(`X –`Y)

     Кластеризация идет поэтапно на каждом из n–1 шагов  объединяют два кластера G и p, имеющие минимальное значение d2_ij.Если n1 много больше n2, то центры объединения двух кластеров близки друг к другу и характеристики второго кластера при объединении кластеров практически игнорируются. Иногда этот метод иногда называют еще методом взвешенных групп. 

 

     

     4 АЛГОРИТМ FOREL

     Цель, реализуемая при кластеризации  по данному алгоритму - разбить выборку на такое (заранее неизвестное число) таксонов, чтобы сумма расстояний от объектов кластеров до центров кластеров была минимальной по всем кластерам. То есть, основная задача — выделить группы максимально близких друг к другу объектов, которые в силу гипотезы схожести и будут образовывать наши кластеры.

     Минимизируемый алгоритмом функционал качества

     

     где первое суммирование ведется по всем кластерам выборки, второе суммирование — по всем объектам x, принадлежащим текущему кластеру K_j, а W_j — центр текущего кластера, ρ(x,y) — расстояние между объектами.

     Необходимые условия работы алгоритма:

• Выполнение  гипотезы компактности, предполагающей, что близкие друг к другу объекты  с большой вероятностью принадлежат к одному кластеру (таксону);
• Наличие линейного или метрического пространства кластеризуемых объектов.

     Входные данные:

• Кластеризуемая  выборка;

     Может быть задана признаковыми описаниями объектов — линейное пространство либо матрицей попарных расстояний между объектами. 
Замечание: в реальных задачах зачастую хранение всех данных невозможно или бессмысленно, поэтому необходимые данные собираются в процессе кластеризации

• Параметр R — радиус поиска локальных сгущений;

     Его можно задавать как из априорных  соображений (знание о диаметре кластеров), так и настраивать скользящим контролем.

• В модификациях возможно введение параметра k — количества кластеров.

     Выходные данные

     Кластеризация на заранее неизвестное число  таксонов

     4.1 Принцип работы алгоритма FOREL

     На  каждом шаге мы случайным образом  выбираем объект из выборки, раздуваем  вокруг него сферу радиуса R, внутри этой сферы выбираем центр тяжести  и делаем его центром новой  сферы. Т.о. мы на каждом шаге двигаем  сферу в сторону локального сгущения объектов выборки, то есть стараемся  захватить как можно больше объектов выборки сферой фиксированного радиуса. После того как центр сферы  стабилизируется, все объекты внутри сферы с этим центром мы помечаем как кластеризованные и выкидываем их из выборки. Этот процесс мы повторяем  до тех пор, пока вся выборка не будет кластеризована.

     Алгоритм  FOREL является примером эвристического дивизимного алгоритма классификации. В основе работы алгоритма FOREL лежит использование гипотезы компактности: близким в содержательном смысле объектам в геометрическом пространстве признаков соответствуют обособленные множества точек, так называемые «сгустки». Если расстояние между центром -го таксона и точкой этого таксона обозначить , то сумма расстояний между центром и всеми точками этого таксона будет равна: