Оценка адекватности и точности трендовых моделей

     Оценка  адекватности и точности трендовых моделей 

     Независимо  от вида и способа построения экономико-математической модели вопрос о возможности ее применения в целях анализа и прогнозирования экономического явления может быть решен только после установления адекватности, т.е. соответствия модели исследуемому процессу или объекту. Так как полного соответствия модели реальному процессу или объекту быть не может, адекватность -  в какой-то мере условное понятие. При моделировании имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам модели, которые считаются существенными для исследования.

     Трендовая модель конкретного временного ряда считается адекватной, если правильно отражает систематические компоненты временного ряда. Это требование эквивалентно требованию, чтобы остаточная компонента , удовлетворяла свойствам  случайной   компоненты временного ряда (условиям Гаусса – Маркова):

• случайность колебаний уровней остаточной последовательности;
• равенство математического ожидания случайной компоненты нулю;
• независимость значений уровней случайной компоненты;
• соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения.

      При выполнении этих условий оценки параметров оказываются несмещенными, эффективными и состоятельными. Несмещенность оценки означает, что ее математическое ожидание равно оцениваемой величине. Подобное возможно при нулевом среднем остатков. Если оценки обладают свойством несмещенности, то их можно сравнивать по разным выборкам

      Оценка  считается эффективной, если она характеризуется наименьшей дисперсией. В практических исследованиях это означает возможность перехода от точечного оценивания к интервальному.

      Состоятельность оценки свидетельствует об увеличении ее точности с ростом объема выборки.

      МНК строит оценки модели на основе минимизации  суммы квадратов остатков. Выполнение условий Гаусса – Маркова желательно для получения достоверных результатов  регрессии, при которых полученная модель соответствует (адекватна) ОУ. Поскольку нам неизвестно в точности описание ОУ, то следует говорить о соответствии модели результатам эксперимента. Адекватной признают модель, которая порождает остаточный ряд со случайными, центрированными, некоррелированными, нормально распределенными элементами.

     Тогда проверка адекватности сводится к выявлению  перечисленных свойств остаточного  ряда. Это осуществляется следующим  образом.

     Проверка  случайности колебаний  уровней остаточной последовательности означает проверку гипотезы о правильности выбора вида тренда. Для исследования случайности отклонений от тренда мы располагаем набором разностей

По результатам  сравнения двух соседних элементов  остаточного ряда составляется последовательность нулей и единиц. Если первая разность , то в последовательности ставится нуль, иначе - единица.  Далее подсчитывается число серий S(N), представляющих собой фрагменты последовательности, состоящие только из нулей или единиц, и продолжительность Kmax самой длинной серии. Остаточный ряд с вероятностью 0,95 считается случайным, если 

где        trunc – символ целой части. 
 

Проверка  центрированности остаточного  ряда проводится с использованием t – критерия Стьюдента. С этой целью формируется статистика:

       ,            (1)

где    - среднее значение и среднеквадратическое отклонение остаточного ряда.

     Далее задаются уровнем значимости или доверительной вероятностью  , и находят по таблицам 100 /2 процентную точку t распределения с N-1 степенями свободы.  Если окажется  больше  100 /2 процентной точки, то гипотеза о центрированности остаточного ряда отвергается как несоответствующая экспериментальным данным с вероятностью ошибки . В противном случае ряд признается центрированным с вероятностью 1 - правильности этого решения.  
 

      Проверка  независимости (некоррелированности) элементов остаточного  ряда. Третье условие требует отсутствия корреляции остатков , т.е. отсутствие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений. Эта проверка остаточного ряда преследует цель подтвердить отсутствие систематической составляющей в составе ряда.

      На  практике проверка независимости остатков  проводится с применением критерия Дарбина -Уотсона. В соответствии с этим критерием  вычисляется величина:

       .         (2)

      Алгоритм  выявления корреляции остатков следующий. По специальным таблицам определяются критические значения критерия Дарбина -Уотсона и для заданного числа наблюдений , числа независимых переменных модели и уровня значимости .

      Величина  используется для проверки компонент вектора на независимость. Это делается следующим образом: если величина , то   заменяют    и далее проводят анализ на основании d* .

      Если  окажется, что  принадлежит , то компоненты остаточного ряда считаются коррелированными и модель признается неадекватной;

      Если  окажется, что  принадлежит , то элементы остаточного ряда классифицируются как независимые, а модель признается адекватной;

      Если  принадлежит , то проводят дополнительный анализ по более сложным алгоритмам. На практике предполагают существование автокорреляции остатков и модель признается неадекватной.

      Отсутствие  автокорреляции остатков обеспечивает состоятельность и эффективность  оценок коэффициентов регрессии

       Проверка остатков на нормальное распределение. Ее сущность в следующем. По экспериментальным данным (остаточному ряду) строятся эмпирические коэффициенты асимметрии (характеризует асимметрию плотности вероятности относительно мат. ожидания) и эксцесса (характеризует сглаженность кривой распределения около мат. ожидания):

       .  (3) 

           Если эти коэффициенты близки к нулю, то появляется основание считать остаточный ряд гауссовским. 

      Ошибка  аппроксимации. Фактические значения экономического показателя отличаются от модельных значений . Чем меньше это отличие, тем модель в большей степени соответствует экспериментальным данным, тем лучше качество модели. Величина отклонений по каждому наблюдению представляет, по сути, ошибку аппроксимации, которая определяет точность модели.

      Достаточно  распространенной и простой мерой  оценки точности является относительная  ошибка.

       .    (4)  

      Величину (4) называют также функцией потерь. Возможно и иное определение относительной ошибки аппроксимации

       .   (5) 

      Если  окажется , то точность признается достаточной, что свидетельствует о хорошем подборе модели к экспериментальным данным.