Предмет и задачи информатики

Существует много различных  систем и единиц измерения данных. В информатике для измерения  данных используют тот факт, что разные типы данных имеют универсальное двоичное представление, и потому вводят свои единицы данных основанные на нём.

Наименьшей единицей измерения является байт. Более крупная  единица измерения – кило байт (Кбайт). Условно можно считать, что 1 Кбайт = 1000 байт = 2¹⁰ (1024 Кбайт). Более крупные единицы измерения данных образуются добавлением префиксов: - мега, - гига, - тера.

1 Мбайт = 1024 Кбайт = 10²⁰ байт

1Гбайт = 1024 Мбайт = 10³⁰ байт

1 Тбайт = 1024 Гбайт = 10⁴⁰ байт

Перевод чисел  из одной системы счисления в другую.

Информация в ЭВМ  кодируется, как правило, в двоичной или в двоично-десятичной системе  счисления.

Система счисления – это способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определённые количественные значения.

В зависимости от способа изображения чисел системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

В позиционной системе счисления количественные значения каждой цифры зависят от её места (позиции) в числе.

В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе.

Количество (Р) различных  цифр, используемых для изображения  числа в позиционной системе  счисления, называется основанием системы  счисления. Значения цифр лежат в  пределах от 0 до Р-1.

В общем случае запись любого смешанного числа в системе  счисления с основанием Р будут  представлять собой ряд вида:

A_m-1P^m-1 + a_m-2P^m-2 + … + a₁P¹ + a₀P⁰ + a_-1P^-1 + a_-2P^-2 + … + a_-sP^-s, (1)

где нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):

• Положительные значения индексов – для целой части числа (m разрядов)
• Отрицательные значения – для дробной (s разрядов)

Пример: позиционная система  счисления – арабская десятичная система , в которой: основание P=10, для изображения чисел используется 10 цифр (0 до 9).

Непозиционная система счисления – римская, в которой для каждого числа используется специфическое сочетание символов (XIV, CXXVII и т. п.)

Максимальное целое  число, которое может быть представлено в m разрядах:

N_max = P^m-1

Минимальное значащее (не равно 0) число, которое можно записать в s разрядах дробной части:

N_min = P^-s

Имея в целой части  числа m, а в дробной s разрядов, можно записать всего P^m+s разных чисел.

Двоичная система счисления имеет основание P = 2 и использует для представления информации всего две цифры: 0 и 1.

Существуют правила  перевода чисел из одной системы  счисления в другие, основанные, в том числе и на соотношение (1).

Пример: 1011101₍₂₎ = 1∙2⁵ + 0∙2³ + 1∙2² + 0∙2⁰ + 1∙2^-1 + 0∙2^-2 + 1∙2^-3 = 46, 625₍₁₀₎

В вычислительных машинах применяются две формы представления двоичных чисел:

• Естественная форма или форма с фиксированной запятой (точки)
• Нормальная форма или форма с прав. Запятой (точкой)

С фиксированной запятой все числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел с положением запятой, отделяющей целую часть от дробной.

Пример: диапазон значащих чисел (N) в системе счисления с использованием P при наличии m разрядов в целой части и s разрядов в дробной части числа (без учёта знака числа) будет:

P^-s ≤N ≤ P^m – P^-s

при P = 2, m = 10 и s = 6: 0,015 ≤ N ≤ 1024.

С плавающей запятой: каждое число изображается в виде двух групп цифр. Первая группа цифр называется мантиссой, вторая порядком,  причём абсолютная величина мантиссы, дожжен быть менее 1, а порядок – целым числом.

В общем виде число  в форме с плавающей запятой  может быть представлено так:

N = ± M P^±r

где M – мантисса числа (/M/ <1); r – порядок числа (целое число)

P – основание системы счисления.

Нормальная форма представления  имеет огромный диапазон отображения чисел и является основной в современных ЭВМ.

При этом код 0 означает – знак «+», код 1 – знак «-».

Примечание: для алгебраического представления чисел (т. е. представления положительных и отрицательных чисел) в машинах используются специальные коды: прямой, обратный и дополнительный. Причём два последних позволяют заменить неудобную для ЭВМ операцию вычитания на операцию сложения с отрицательным числом;

дополнительный код обеспечивает более быстрое выполнение операций, поэтому в ЭВМ применяется чаще именно он.

Двоично-десятичная система счисления получила большое распространение в современных ЭВМ в виду лёгкости перевода в десятичную систему и обратно. В этой системе счисления все десятичные цифры отдельно кодируются четырьмя двоичными цифрами и в таком виде записываются последовательно друг за другом.

 

Циф.	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
код	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

 

 Пример: 9703 = 1001011100000011

                 Десят.           Двоич.

При программировании  иногда используется шестнадцатеричная  система счисления, перевод чисел  из которой в двоичную систему  счисления весьма просто – выполняется  по разрядно (полностью аналогично переводу из двоично-десятичной системы).

Для изображения цифр, больших 9, в шестнадцатеричный системе  счисления применяются буквы:

A = 10, B = 12, D = 13, E = 14, F = 15.

Пример: Шестнадцатеричное  число F17B = 1111000101111011/

Вся информация кодов для удобства работы введены следующие термины, обозначающие совокупности двоичных разрядов: эти термины обычно используются в качестве единиц измерения объёмов информации, хранимой или обрабатываемой в ЭВМ.

 

Кол-во двоич. разрядов в  группе	1	8	16	8*1024	8*10242	8*10243	8*10244
Наимен. един. измер.	Бит	Байт	Параграф	Килобайт (Кбайт)	Мегабайт (Мбайт)	Гигабайт (Гбайт)	Терабайт (Тбайт)

 

 Последовательность  нескольких битов или байтов  часто называют полем данных. Биты в числе (в слове, поле и т. п.) нумеруются справа налево, начиная с нулевого разряда.

В ПК может обрабатываться поля постоянной или переменной длины.

Поля постоянной длины:

Слово – 2 байта

Полуслово – 1 байт

Слово длиной 10 байт – 10 байт

Двойное слово – 4 байта

Расширенное слово – 8 байт

Поля переменной длины могут иметь любой размер от 0 до 256 байт, но обязательно равный целому числу байтов.

Двоично-кодированные десятичные числа  в так называемых упакованных  и распакованном форматах. Для  каждой десятичной цифры отводится  по 4 двоичных разряда (полбайта), при этом знак числа кодируется в крайнем правом полубайте числа (1100 – знак «+» и 1101 – знак «-»). Используется при выполнении сложения  вычитания двоично-десятичных чисел – это упакованный формат.

В распакованном формате – для каждой десятичной цифры отводятся по целому байту, при этом старшие полубайты (зона) каждого байта в ПК заполняются кодом 0011, а в младших (левых полубайтах) обычным образом кодируются десятичные цифры. Распакованный формат используется в ПК при вводе-выводе информации в ПК, а также при выполнении операций умножения и деления двоично-десятичных чисел. Коды ASCII-interchange – Американский стандартный код для обмена информации.

 

Система счисления — совокупность правил наименования и изображения чисел с помощью набора символов, называемых цифрами. Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Пример непозиционной системы счисления — римская: несколько чисел приняты за основные (например, I, V, X), а остальные получаются из основных путем сложения (как VI, VII) или вычитания (как IV, IX). К позиционным системам счисления относятся двоичная, десятичная, восьмеричная, шестнадцатеричная. Здесь любое число записывается последовательностью цифр соответствующего алфавита, причем значение каждой цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в этой последовательности. Например, в записи 555, сделанной в десятичной системе счисления, использована одна цифра 5, но в зависимости от занимаемого ею места она имеет разное количественное значение — 5 единиц, 5 десятков или 5 сотен. Поэтому справедливы равенства (подстрочные индексы применим для указания, в какой системе счисления записано число):

555,5₁₀ =5-10² +5-10¹ +5-10⁰ +5-10^-1;

11,01₂ =1*2¹+1*2⁰+1*2^-1+1*2^-2

Сложение  в двоичной системе счисления. После этих предварительных рассуждений запишем правило выполнения в двоичной системе счисления арифметического сложения одноразрядных чисел:

0+0=0;  1+0=1; 0+1=1;  1+1=10.

Следовательно, используя  известное запоминание в уме  при переносе переполнения в старший разряд, получаем: 11101010011,111 +1111100101,011+101100111001,010

Вычитание в двоичной системе счисления. Исходя из того, что вычитание есть действие, обратное сложению, запишем правило арифметического вычитания одноразрядных чисел в двоичной системе счисления:

0-0=0; 1-0=1; 1-1=0; 10-1=1.

Используя это правило, можно проверить правильность произведенного выше сложения вычитанием из полученной суммы одного из слагаемых. При этом, чтобы вычесть в каком-либо разряде единицу из нуля, необходимо «занимать» недостающее количество в соседних старших разрядах (так же, как в десятичной системе счисления поступают при вычитании большего числа из меньшего).

Умножение в  двоичной системе счисления. Правила умножения одноразрядных двоичных чисел наиболее очевидны:

0.0=0; 1-0=0; 0-1=0; 1-1=1.

В таком случае, записывая  столбиком процесс умножения двух много разрядных двоичных чисел, получим следующий результат:

                                            1011,01

                                            ^х 101,11

                                              101101

                                            101101

                                          101101

                                      101101

                                    1000000,1011

Заметим, что при решении  этого примера понадобилось в  каждом разряде найти сумму четырех одноразрядных двоичных чисел. При этом мы учли, что в двоичной системе счисления

1 +1 +1 =10+1 = 11;

1+141+1=11+1 =100.

Деление в двоичной системе счисления  осуществляется так же, как и в  десятичной, с использованием умножения  и вычитания:

Перевод числа из десятичной системы счисления  в двоичную

Пусть требуется найти представление  числа 12₁₀ в двоичной системе счисления Поступаем следующим образом: делим, начиная с 12, каждое получающееся частное на основание системы, в которую переводим число, то есть на 2. Получаем

Затем, начиная с последнего частного (в нашем случае оно всегда будет равно 1), записываемого в старший разряд формируемого двоичного представления, фиксируем все остатки. В итоге получаем ответ: 12₁₀ == 11002.

Перевод числа из двоичной системы счисления в десятичную. Это перевод — как бы обратный к изложенному выше. Его наиболее просто осуществить, основываясь на позиционности двоичной системы счисления. Уже отмечалась правомерность записи двоичного числа в виде суммы степеней основания системы счисления, то есть степеней двойки. Сделав такую запись, надо подсчитать десятичное значение полученной суммы:

1000001001,1012 = (1 • 2⁹ + 0 • 2⁸ + 0 • 2⁷ + 0 • 2⁶ + 0 • 2⁵ + +0•2⁴+1•2³+0•2²+0•2¹+1•2⁰+1•2-¹4-0•2-²+1.2-^з)₁₀ = (512 + 8 + 1 + 1.2+ 1/8)₁₀= (521 + 5/8)₁₀= (521,625)₁₀.

(Заметим, что, несмотря  на длину исходной двоичной  записи, степени числа 2 легко  подсчитываются без калькулятора, которого может не оказаться  под рукой. Действительно, известно, что 2⁵ = == 32; 2⁸ = 256; 2¹⁰ = 1024. Часто достаточно просто разделить или умножить на двойку уже известное.

 

Основная литература: [1] – 1-638 c, [2] 1- 432 c.

Дополнительная  литература: [18] – c, [19] - c

Контрольные вопросы:

1. Как определяется процесс кодирования информации и почему в нем существует необходимость?
2. Расскажите о способах измерения информации.
3. Какие единицы измерения количества информации вы знаете?
4. Почему 1 Кбайт = 1024 байта, а не 1000?
5. Почему двоичное представление информации входит в число основных принципов работы современных ЭВМ?
6. Докажите, что двоичное представление информации принципиально для работы компьютера.
7. Как вы понимаете термин «дискретная информация»?
8. Что такое система счисления?
9. Какие существуют системы счисления
10. Сложить два любых двоичных числа.
11. Объяснить правило вычитания двоичных чисел
12. Объяснить правило умножения двоичных чисел
13. Объяснить правило деления двоичных чисел