Шпаргалка по "Моделированию систем"

Вопрос  №1

Модель — способ замещения  реального объекта, используемый для  его изучения.

Моделирование — исследование объектов познания на их моделях; построение и изучение моделей реально существующих предметов, процессов или явлений с целью получения объяснений этих явлений, а также для предсказания явлений, интересующих исследователя.

Материальные или Идеальные

Материальные  модели:

Пространственные, Физические, Аналоговые

Идеальные модели

Формальные, Неформальные

Формальные  модели

Вербальные, Пиктографические, Математические

Неформальные  модели – это свой или чужой жизненный опыт

Вопрос  №2

1) Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект — явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. Это самая трудная стадия моделирования.

2) Решение математической задачи, к которой приводит модель. На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

Вопрос  №3

1. Постановка задачи и ее качественный анализ.
2. Собственно построение модели
1. Структурный синтез – это формирование математических зависимостей.
1. Аналитический подход связь определяется из анализа фундаментальных законов. Плюс имеется высокая научная ценность. Минус низкая практическая ценность.

Идентификация моделей – определение параметров модели

3. Математический анализ, чисто математический этап. Который сводится к анализу модели.
4. Подготовка исходной информации. Исходных параметров и граничных условий.
5. Численное решение модели.
6. Получение результатов, оценка адекватности и применение модели.

• Не верно численное решение.

• Не верна модель.

Вопрос  №4

С точки получения модели можно разделить на два типа:

• Аналитическая модель строится с использованием тех фундаментальных законов, по которым функционирует объект моделирования.
• Экспериментальная модель строится, если с помощью эксперимента.

Вопрос  №5

Оценка точности модели это  тоже самое что оценка адекватности модели. Различают качественную и количественную оценку адекватности модели.

• Качественная оценка – это оценка того как модель соответствует фундаментальным законам по которым функционирует объект моделирования.

Количественная  оценка – оценивается по количественной мере близости: – зависит от: количества точек N, от модели и от . . Адекватной называется модель которая нас устраивает.

Вопрос  №6

Классификация математических моделей основывается на классификации  используемых математических средств.

• Линейные или нелинейные модели;
• Сосредоточенные или распределённые системы;
• Детерминированные или стохастические;
• Статические или динамические;
• Дискретные или непрерывные.

Вопрос  №7

Фактор – переменная величина, по предположению влияющая на результат эксперимента.

Уровень фактора – фиксированное  значение фактора относительно начала отчета.

Различают:

Контролируемые и управляемые  факторы.

Контролируемые, но неуправляемые  факторы.

Неконтролируемые факторы.

Отклик – наблюдаемая случайная переменная, по предположению зависящая от факторов.

Пассивный эксперимент – эксперимент, при котором уровни факторов регистрируются исследователем,  но не задаются.

Активный  эксперимент – эксперимент, при котором уровни факторов задаются исследователем.

План  эксперимента – совокупность данных, определяющие число, условие и порядок эксперимента.

Планирование  эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего поставленным требованиям.

Качественный  эксперимент – устанавливает только факт существования, какого либо явления, но не дает каких либо количественных характеристик.

Количественный  эксперимент – устанавливает факт существования, какого либо явления и дает его количественные характеристики.

Функция отклика – зависимость математического ожидания от факторов.

Вопрос  №8

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ. ОСОБЕННОСТИ  ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Y=f(x,a) a- параметр объекта.

В природе нет детерминированных  моделей, т.е. принимаем допущение что случайные составляющие малы и не оказывают влияния на процесс исследования.

Особенности проведения эксперимента:

1) При проведении каждого  эксперимента, нужно обязательно  дожидаться завершения переходного  процесса. Для этого нужны предварительные  оценки инерционности объекта  и запаздывания, чтобы знать когда получить результат.

2) Важно уметь выделить  интегрирующую составляющую. Если  она есть в объекте, то вообще  статического режима нет. При  наличии интегрирующих составляющих  можно в качестве выходной  величины использовать скорость  изменения, она будет установившейся.

3)      Необходимо  контролировать все возмущения. Это относится как к тем  переменным, которые не входят  в модель ( о части из них мы даже можем не знать), так и к тем, которые участвуют в модели, но в процессе эксперимента могут изменяться. Но во всех случаях надо искать возможности обеспечения постоянства этих переменных.

Вопрос  №9

Есть две задачи построения моделей:

• Подбор структуры модели для обеспечения погрешностей меньше заданных.

• При заданной структуре модели обеспечить наименьшую погрешность путем подбора оптимальных параметров

.Вопрос №10

Этот метод аппроксимации  применяется для определения  коэффициентов модели, исходя из обеспечения  минимума квадратичной меры близости. Возможно повышение точности в каких-либо точках, т.е. используются весовые множители.

Существует два класса задач:

1) Подобрать структуру  модели и ее параметры, чтобы  погрешность не превышала заданное  значение.

2) Для заданной структуры  подобрать параметры так, чтобы  погрешность была минимально  возможной.

Первая задача решается путем  сведения к последовательности задач  второго типа.

Часто структуру модели из графических эксперим. данных не определить, поэтому ограничиваются полиномом 2-3 степени, т.е. модель можно записать так:

где:

Вопрос  №11

Метод предназначен для построения модели вида:

y=f(x₁)f(x₂)…

Проводим эксперимент, в  котором все переменные меняются. Построение модели реализуется путем  последовательности этапов:

1) Полагаем что у зависит только  от первой переменной y=f(x) . Методом наименьших квадратов по данным столбца x₁ и y строят подходящую модель. Вид этой модели можно подобрать из графического представления:

       . Если все значения очень близки к единице, то это означает, что и остальные переменные не оказывают взаимного влияния. Если отклонение от единицы есть, то это объясняется влиянием остальных переменных.

2)  Предполагаем, что . Снова подбирая (визуально) вид частной модели, методом наименьших квадратов определяют в ней коэффициенты . Если коэффициенты будут не равны 1, то

добавляют еще одну переменную и т.д.

Понятие близости – это  понятие субъективное. Если перебрав все переменные мы не получим значение близкое к 1, необходимо вернуться  на предыдущий этап и сменить модель.

Так или иначе здесь можно сформировать подходящую структуру. Задача определения параметров модели должна быть корректной. Она называется корректной по Адамару:

1) Задача определения параметров  модели имеет решение

2) Задача отыскания параметров  модели должна иметь единственное  решение.

3) Малому изменению условий  задачи должно соответствовать малое изменение решения. Условие задачи – это экспериментальные данные, а решение – это найденные коэффициенты.

Если третье условие не выполняется, то трудно интерпретировать коэф. в модели. Первые 3 условия выполняются всегда, если мера близости квадратичная, а искомые параметры линейно входят в модель, являются коэффициентами.

Вопрос  №12

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ  СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ  СТАТИКИ. СВОЙСТВА КОФФИЦИЕНТОВ МОДЕЛИ.

При построении стохастических моделей её условно представляют виде суммы детерминированной и  центрованной составляющих,

Под получением модели обычно понимают расчет коэффициентов и  параметров по данным эксперимента. Первым этапом построения модели, в широком  смысле слова, является получение экспериментальных  данных.

Параметры полученной модели имеют случайный характер и нельзя пренебрегать случайными составляющими, поэтому и техника эксперимента сложнее:

1) дублирование экспериментов  с целью получения более надежных  данных;

2) оценка выполнения первой  и второй предпосылки регрессионного  анализа;

3) создание условий для  повышения вероятности выполнения  третьей предпосылки (рандомизация)

Построение модели базируется на регрессивном анализе – изучение взаимосвязи между неслучайными х со случайными у.

Построение стохастической модели складывается из:

2) Проведение эксперимента  с использованием рандомизации

3) Оценка воспроизводимости  процесса

4)Расчёт коэффициентов  модели

5) Увеличение доверительных  интервалов коэффициентов, расчёт  статистической значимости.

6) Оценка адекватности модели

7) Анализ диаграмм остатков.

Необходимо помнить, что  стохастическая (вероятностная) модель даёт расчетные значения с некоторым  разбросом, который можно оценить  с использованием дисперсии предсказания выходной величины:

при расчёте значения даём в виде 

т.е. результаты зависят от плана эксперимента.

Вопрос  №13

ОСНОВЫ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА  КАК ИНСТРУМЕНТА ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ  СТАТИКИ

Регрессионный анализ используется для выявления связей между неслучайными Х и случайными У.  Для применения метода регрессионного анализа необходимо выполнение 3 предпосылок. Их несоблюдение приводит к некорректности многих вычислительных формул и к некорректности интерпретации результатов.

1) Выходная величина У подчинена нормальному закону распределения используем предельную теорему статики:  Если причиной изменчивости какой-либо величины является множество источников с любым законом распределения, но все с примерно одинаково воздействуют на У, то распределение У будет близко к нормальному.

Если оно отклоняется  от нормального при проверке, то необходимо найти небольшое число сильнодействующих возмущений и устранить их. Это не касается процессов, у которых с теоретической точки зрения законы распределения ненормальные. Регрессионный анализ применять нельзя.

В последнем случае модно  поступить следующим образом:

1.Найти и устранить  причину ненормальности

2.Подобрать какое-то преобразование у, которое приведет распределение к нормальному.   Нередко таким преобразованием является логарифмирование.

2) Дисперсия У одинакова во всех точках допустимой области и не зависит от Х.

Осуществляем проверку однородности оценок дисперсий выходных величин.

Для этого проводим эксперимент  несколько раз, получаем У и находим дисперсию разброса по формуле:

m – количество дублей.

Дисперсия – строго постоянное число, а оценка  -всегда случайная величина. Поэтому, если дисперсия во всех точках одна и также, то из этого не следует, что оценки должны быть одни и те же. Но они должны находиться в определенном соотношении между собой (проверяется с помощью критерия Кохрена)

если расчетное значение критерия Кохрена меньше табличного, тогда процесс считается воспроизводимым.

3) Х устанавливаются с  пренебрежимо малой погрешностью. Поэтому Х неслучайны.

Для выполнения этого условия  проводим рандомизацию. Основная цель её – обеспечение случайного порядка  чередования экспериментов в  каждой строке плана.

Вопрос 14ОСОБЕННОСТИ  ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА. РАНДОМИЗАЦИЯ.

Рандомизация – это  обеспечение случайного порядка  чередования экспериментов в  каждой строке плана. Типовой способ обеспечения этой случайности заключается  в следующем:

Во все клетки с будущими значениями экспериментальных данных вписываются табличные случайные  числа с равномерным законом  распределения. Эксперименты реализуются  в порядке возрастания случайного числа. Это приводит к тому, что  значения эксперимента в одной строчке  плана будут получены при различных  значениях Х-ов,

каждый раз устанавливаемых с малой погрешностью. Поэтому при усреднении у в строке мы, тем самым, усредняем и х в этой строке, т.е. у_ср получается при более точном, как бы постоянном значении х. Т.е. вынуждаем быть справедливой 3 гипотезу регрессионного анализа.

15 ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТА  ПРИ ПОСТРОЕНИИ СТОХАСТИЧЕСКИХ  МОДЕЛЕЙ И ПРОЧЕЕ

После проведения эксперимента приступают к обработке его результатов, используя метод наименьших квадратов. Поскольку экспериментальные данные являются случайными значениями, то и  рассчитываемы значения коэффициентов  тоже будут являться случайными величинами.

Для того, чтобы найти доверительный  интервал коэф-ов( а сами коэф. находятся методом наименьших квадратов по средним значениям экспериментальных данных в каждой строке) модно воспользоваться информационной матрицей Фишера:

S² – дисперсия воспроизводимости, является мерой естественного разброса у. Она зависит от условий эксперимента и человека, проводящего эксперимент.

воспроизводимых процессов.

Матрица Фишера состоит из: дисперсий коэффициентов В (S_b²) на главной диагонали и ковариаций коэффициентов во всех остальных.

Ковариация характеризует  взаимосвязь коэффициентов. Если 0 то коэф несвязанны друг с другом.

Оценка статистической значимости коэффициентов

Коэф незначим, если его влияние меньше естественного разброса случайной величины. Для этого сравниваем модуль коэффициента с доверительным интервалом.

 _{t – коэф. Стьюдента (табл.)}

Коэф. статически незначим если его модуль меньше его доверительного интервала.

Коэффициенты могут быть статистически незначимы из-за:

1) соотв. фактор не оказывает  влияния на вых У.

2) мал диапазон изменения  фактора

3) влияние одного из  факторов экстремально

Если один из коэффициентов обнулить, то необходимо пересчитать все остальные.

Если ковариации близки к 0, то можно подобрать начальные  условия так, что ковариации будут  равны нулю, т.е. матрица распадётся на систему нормальных уравнений, которые  можно безболезненно выкинуть.

коэффициентов, то отбрасываем  один и пересчитываем всё заново и так повторяем.

Оценка  адекватности

Производится с помощью  критерия Фишера.

найденных значимых коэффициентов без  b₀.

Для каждой вероятности получаем свою матрицу

Если модель неадекватна, тогда:

* усложняем структуру  модели

*сужаем диапазон экспериментирования

*снижаем требования к  точности модели (повышаем вероятность,  с которой нужно сделать вывод  об адекватности)

Анализ  остатков

Остаток – разница между  экспериментальным и расчётным  значением.

Анализ проводят путем  построения графика зависимости  остатка от порядкового номера эксперимента.

*дискретный дрейф – модель неприемлима (половина экспериментов при одних условиях, а половина при других).

*единичные выбросы – эксперимент ликвидируется и обработка повторяется заново.

*ненормальные диаграммы – дрейф в объекте.

16.ОСНОВЫ ПЛАНИРОВАНИЯ  ЭКСПЕРИМЕНТА. КРИТЕРИ ОПТИМАЛЬНОСТИ  ПЛАНОВ

Существует 2 основные группы свойств моделей:

1) Критерии, характеризующие  коэффициенты модели

2) Критерии по предсказывающим  свойствам

Критерии оптимальности  планов по предсказательным свойствам  модели

Дополнительные критерии:

1) Композиционность – возможность достраивания плана, использ уже имеющ значения до другого, который позволяет получить боле сложную модель.

2) Насыщенность – характеризует  соотношение количества экспериментов  и число коэффициентов модели

Слабонасыщенный – если число экспериментов >>определяемых коэффициентов

Насыщенный – число экспериментов немного больше числа определяемых коэффициентов.

Сверхнасыщенный – число экспериментов < числа определяемых коэффицинтов.

Рекомендации по предпочтению того или иного плана: 1) Если план используется для построения модели, с помощью которой с помощью  которой будет определяться оптимальное  условие проведение процесса, то используем рототабельные и униформные планы

2) Если план будет использован  для решения задач интерполяции, то выбираем D-оптимальный план.

3) Если план используется  для составления модели использующейся  для сопоставления влияние различных  факторов, то используются ортогональные  планы.

17.ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Предназначен для построения линейных много мерных моделей и неполных квадратичных (не содержит квадраты).

Планы удовлетворяют условиям D, G, A, E – оптимальности

Для выполнения условия ортогональности  переходим к диапазону [-1;1]:

ПФЭ представляет из себя такой план, в котором все переменные изменяются только на 2 уровнях

и в план включены все возможные  сочетания уровней переменных.

Общее число экспериментов: N=2ⁿ, где n – число переменных.

Обработка результатов эксперимента:

- рандомизация

- анализ воспроизводимости (Кохрен)

- расчет коэффициентов

- оценка доверительных  интервалов

- оценка значимости

- проверка адекватности

Если любая пара столбиков  в плане ортогональна, то вся матрица  ортогональна. Т.е. система нормальных уравнений распадается на совокупность уравнений и ковариации равны 0.

Для любого I дисперсия одинакова.

Поскольку ПФЭ – это  частный случай плана регрессионного анализа, то нужно оценивать воспроизводимость по критерию Кохрена, проводить рандомизацию и усреднить у по нескольким дублям.

Оценка статической значимости коэф., оценка адекватности модели осуществляются как обычно.

уравнении в модели с нормированными переменными. Поэто для расчета к при конкретных значениях х, х надо подставлять в нормированном виде. В общем случае модно вместо х-ов подставлять их выражения через

реальные переменные и тогда получится  уравнение относительно используемых величин.

Ценность модели в нормированных  переменных заключается еще и  в том, что коэф-ты отражают силу влияния фактора в диапазоне его варьирования. Таким свойством коэф-ты не обладают в уравнениях с исходными переменными в модели.

20.ПЛАНИРОВАНИЕ  ВОРГО ПОРЯДКА. РОТОТАБЕЛЬНЫЕ  ПЛАНЫ.

С помощью ПФЭ и ДФЭ  нельзя построить полную квадратичную модель, т.к. через 2 точки провести кривую нельзя. Кривую второго порядка можно  провести через 2 точки, поэтому для  построения полных квадратичных моделей  нужно использовать трехуровневые  полные факторные эксперименты.

Число экспериментов: N=3ⁿ.

Чаще всего применяют композиционные планы, которые позволяют достроить  ПФЭ или ДФЭ так, чтобы можно  было получить квадратичную модель. Обычно это пятиуровневые планы, среди  которых наибольшее распространение  получили:

*ортогональные центральные  композиционные планы ОЦКП

*Рототабельные центральные композиционные планы.

При применении ПФЭ или  ДФЭ мы получаем модель вида: y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+…

В неё Х подставляют  в нормированном виде. При необходимости  можно вернуться обратно в  реальные переменные, используя формулу  нормирования.

РЦКП

Существует 3 видов: простой, ортогональный, униформный.

Рототабельные планы отличаются от ортогональных общим числом экспериментов вследствие изменения числа экспериментов в нулевой точке.

Второе отличие – величина звёздного плеча. Это особенно важно  в тех случаях, когда значения переменных в ядре плана близки к  физической реализуемости процесса, т.к. звездное плечо может вывести  процесс из рабочего диапазона переменных.

18.ДРОБНЫЙ ФАКТОРНЫЙ  ЭКСПЕРИМЕНТ

Основная задача ДФЭ –  снижение числа экспериментов, только недостатком является то, что не все коэффициенты модели могут быть найдены независимо один от другого.

Водится понятие реплики – полный план эксперимента.

Число экспериментов рассчитывается как: N=2^n-p. p – реплика.

1) Строится ПФЭ для числа переменных, соответствующих числу экспериментов.

Для формирования дополнительных столбиков вводятся генерирующие соотношения, которые представляют собой эффекты  взаимодействия возможно более высокого порядка, которые на практике как правило отсутствуют.

X₄=X₁X₂X₃; X₅=X₁X₃

Перед реализацией экспериментов  по плану надо провести анализ разрешающей  способности плана, т.е. найти взаимосвязь  искомых коэффициентов. Для этого вводится понятие определяющего контраста ОК и обобщающего определяющего контраста ООК, если нужно.

ОК получается из генерирующего  соотношения путём умножения  правой части на переменную, стоящую  в левой. ООК объединяет полученные равенства.

1= X₁X₂X₃X₄; 1= X₁X₃X₅

X₁X₃X₅= X₁X₂X₃X₄

На основании ООК записывается система взаимосвязи коэффициентов:

X₁=X₃X₅= X₂X₃X₄

b₁=b₁+b₃₅+b₂₃₄

Получим b₃:

X₃=X₁X₅= X₁X₂X₄

b₃=b₃+b₁₅+b₁₂₄

Получим b₅:

X₅=X₁X₃= X₁X₂X₃X₄X₅

b₅=b₅+b₁₃+b₁₂₃₄₅

Вывод: в зависимости от структуры плана оказываются  взаимосвязанными разные коэффициенты. Если взяли бы для X₅ другое генерирующее соотношение, то получили бы

другую систему оценок, т.е. выбором  генерирующего соотношения можно  связать между собой желаемые переменные. Т.е. можно связать важную переменную с той, о которой заранее  известно что она не оказывает существенного влияния.

Предварительные исследования объекта, которые желательно проводить  перед применением ДФЭ должны определить те эффекты, которые несущественны  в данной модели или в данном процессе, тогда можно получить модель с  коэффициентами которые нас интересуют. Если хотят получить только  линейную модель то дробность реплики может быть достаточно высокой и можно не проводить оценку взаимосвязи коэффициентов.

Дробность реплики и регулирующее соотношение следует выбирать так, чтобы получить интересующие нас  коэффициенты.

19.ПЛАНИРОВАНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА.  ОРТОГОНАЛЬНОЕ КОМПОЗИЦИОННОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ.

С помощью ПФЭ и ДФЭ  нельзя построить полную квадратичную модель, т.к. через 2 точки провести кривую нельзя. Кривую второго порядка можно  провести через 2 точки, поэтому для  построения полных квадратичных моделей  нужно использовать трехуровневые  полные факторные эксперименты.

Число экспериментов: N=3ⁿ.

Чаще всего применяют  композиционные планы, которые позволяют  достроить ПФЭ или ДФЭ так, чтобы можно было получить квадратичную модель. Обычно это пятиуровневые  планы, среди которых наибольшее распространение получили:

*ортогональные центральные  композиционные планы ОЦКП

*Рототабельные центральные композиционные планы.

При применении ПФЭ или  ДФЭ мы получаем модель вида: y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+…

В неё Х подставляют  в нормированном виде. При необходимости  можно вернуться обратно в  реальные переменные, используя формулу  нормирования.

ЦОКП

Строится на базе ПФЭ или  ДФЭ путем добавления центральной  и звёздных точек.

Общее число элементов: N=2^n-p+2n+1

зависит от размерности (числа  переменных):

План 5 уровневый, сохраняет  ортогональность во всех точках кроме  b₀.

Порядок расчета совпадает с предыдущими  планами

- рандомизация

- анализ воспроизводимости

- расчет коэффициентов

- оценка доверительных  интервалов

- оценка значимости

- проверка адекватности

Такой план реализуют в  тех случаях, когда линейная и  неполная квадратичная модели оказываются  неадекватными, а изменять диапазон варьирования переменных нежелательно.

21.ОТСЕИВАЮЩИЕ  ЭКСПЕРИМЕНТЫ

При построении модели любого процесса нужно учесть все существенные переменные и отбросить несущественные, усложняющие модель. Отсеивание переменных основано на содержательном анализе, исходя из содержательной сущности явлений. Считается,

что из большого числа факторов существенное влияние оказывает небольшое  их количество, а остальные можно  отнести к шумовому уровню.

Рассмотрим метод случайного баланса (МСБ).

План метода сверхнасыщенный, т.е. число анализируемых факторов больше числа экспериментов. Рассматриваем систему с 6 переменными, которые разбиваем на 2 блока формально или с учётом взаимодействия переменных.

Из целочисленной таблицы случайных  чисел выбираем подряд случайные  числа, которые присваиваются строкам  плана в блоках.

Эти номера строк в порядке  возрастания или убывания записываем и формируем общую таблицу  для экспериментов. Выделяем существенные факторы при помощи диаграмм вкладов (справа от линии откладываем У при положительном значении фактора, а слева – при отрицательном).

Медиана – порядковые числительные, которые можно применять только в тех случаях, когда исходные данные ненадёжны.

Выделение существенных факторов определяется по одному из 3 критериев:

*по вкладу

*по числу выделившихся точек

*по произведению вклада  на число выделившихся точек.

Выделившиеся точки –  точки, лежащие выше или ниже точек  с другой стороны линии фактора.

Х₁Х₂ – матрица планирования может быть неортогональна. Выделение факторов у которых число верхних и нижних уровней неодинаково менее надёжно.

После построения диаграммы  всех подозреваемых факторов находят оди самый существенный и его влияние на У компенсируют. Так заканчивается 1 этап.

Компенсация влияния переменных производится:

положительном значении фактора вычитают вклад этого фактора.

- полученные значения  используются для построения  диаграммы вкладов 2 этапа.

На 2 этапе выделяется 2 переменная и т.д.

На каждом этапе будет  происходить сужение диапазона  изменчивости У, т.к. устраняем влияние наиболее существенных переменных. Хотя анализируем много факторов, но лучше брать не больше существенных факторов, чем число экспериментов. Учитывая это выбираем число экспериментов в плане. Одновременно с выделение факторов можно строить модель.

оцениваем адекватность модели по критерию Фишера. Ели на каком-либо шаге модель адекватна, то выделение прекращается. Также можно построить график зависимости критерия Фишера от номера шага. Выделение прекращается тогда, когда получаем минимум критерия.

Метод эффективен до 100 анализируемых  факторов.

Для 5-8: X₃=-X₁X₂ оборудование принимаем за 4 переменную

ПФЭ

Сумма полученная в эксперименте у+Δy вызвана изменением оборудования. Мы не можем определить их отдельно.

Дрейф оборудования не оказывает  влияния на коэффициенты.

Дрейф непрерывный. Для планирования эксперимента с непрерывным дрейфом необходимо знать закон дрейфа. Обычно учитывают 2 закона линейный и экспоненциальный. Идея планирования

эксперимента сводится к  сведению дрейфа к многоуровневому дискретному. Для этого эксперименты проводят в фиксированные моменты времени, изменение У между которыми за счёт дрейфа равны между собой.

23.ОСНОВЫ МЕТОДА ГРУППОВОГО УЧЕТА  АРГУМЕНТОВ.

Данный план позволяет  получить не только коэф. модели, но и синтезировать в определенной мере структуру модели. Может применяться для сравнительно большого числа переменных. Суть реализации:

- проводится N-экспериментов, для этого может быть использована любая не двухуровневая матрица планирования. Все переменные разбиваются на всевозможные пары:

Для каждой пары строится двухфакторная  модель по данным рабочей области:

Таких моделей получается всего . Из всех полученных моделей выбирают m₁ лучших моделей по какому-то наперед заданному признаку, например по сумме квадратов отклонений.

Отобранные перенумеруем:

На этом этапе заканчивается  первый слой селекции. Оценка качества моделей рассчитывается по данным контрольной  области.

На втором слое селекции из выбранных моделей составляют все  возможные пары. Для каждой пары у строят двухфакторную относительно у модель. Эти модели строятся по данным контрольной области. По данным поверочной области оценивается качество модели и выбираются лучшие модели.

Этот процесс построения новых моделей и сужение их количества повторяется до тех пор, пока выделенное количество хороших  моделей не будет равно 1, когда  в модель будут включены все переменные или когда на каком-то слое селекции одна из полученных моделей нас устроит. Т.о. получается модель, структура которой  заранее не известна. Она фактически синтезировалась из более простых  двухфакторных моделей.

объекте стохастическая составляющая). Чем больше изменяется У, тем надежнее найдём значение коэффициента, тем хуже для реального процесса. Обычно выбирают такие диапазоны У, которые интересуют нас при построении моделей. Если случайная составляющая У мала, то вместо кривой разгона можно получить реакцию на импульс конечной длительности. Главное достоинство – уменьшение влияния на переходный процесс.

То есть получаем более  короткое воздействие на процесс  и с меньшей амплитудой.. Из этих двух случаев можно получить кривую разгона, т.е. если один прямоугольный  со сдвигом относительно первого. h(t)=X_вых(t)+h(t-τ).

25.МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО  ЛОГАРИФМИРОВАНИЯ ДЛЯ АПЕРИОДИЧЕСКИХ  ОБЪЕКТОВ.

С помощью метода можно  получить модель динамики для апериодических объектов.

Этим методом модель можно построить  при следующих допущениях: α упорядочены  и α_i+1/α_i>1.5  следовательно найдётся такой интервал времени, когда все составляющие кроме 1 равны 0.

Составим функцию 

Т.к. метод графоаналитический, то лучше пронормировать У, приведя его к диапазону 0..100. При этом Y<1 будут в пределах погрешности измерения системы и их можно не рассматривать и график будет в первом квадранте.

Аналогично можно рассмотреть  и другие интервалы времени, только с учётом того, что

метод графоаналитический больше 4 порядка  не паримся;) Или если меньше 4, то до тех пор, пока кривая У_i не выродится в прямую.

После получения переходной функции возможно получить передаточную функцию

Поскольку преобразование Лапласа  для получения передаточной функции  требует нулевых начальных условий, то кривую разгона необходимо иметь  в отклонениях.

Для переходной функции 2 порядка:

На практике встречаются  следующие проблемы:

*за счет приближенности  графических построений не удаётся  выполнить требование равенства  производной 0.

*проблемы возникают и  при аппроксимации кривой разгона  решением ДУ 2 порядка.

Тоесть  множитель р в числителе оказывается неравным 0 и функция приобретает вид:

Наличие р в числителе не означает появления дифференцирующих свойств у объекта, а является следствием погрешности получения передаточной функции. Она приемлема при условии

22.ПЛАНИРОВАНИЕ  ЭКСПЕРИМЕНТОВ В УСЛОВИЯХ ДРЕЙФА

Дрейф – частный случай нестационарности.

Основная особенность  построения модели заключается в  том, что необходимо организовать проведение экспериментальных работ таким  образом, чтобы исключить влияние  дрейфа на коэффициенты при переменных.

Дрейф дискретный связан с изменением оборудования, сменой сырья, сменой экспериментатора и др.

Пример построения плана когда дрейф вызван 2 единицами оборудования n=3 N=8 генерирующие соотношения: для 1-4: X₃=X₁X₂ ;

Для 5-8: X₃=-X₁X₂ оборудование принимаем за 4 переменную

ПФЭ

Сумма полученная в эксперименте у+Δy вызвана изменением оборудования. Мы не можем определить их отдельно.

Дрейф оборудования не оказывает  влияния на коэффициенты.

Дрейф непрерывный. Для планирования эксперимента с непрерывным дрейфом необходимо знать закон дрейфа. Обычно учитывают 2 закона линейный и экспоненциальный. Идея планирования эксперимента сводится к сведению дрейфа к многоуровневому дискретному. Для этого эксперименты проводят в фиксированные моменты времени, изменение У между которыми за счёт дрейфа равны между собой.

- проводится N-экспериментов, для этого может быть использована любая не двухуровневая матрица планирования. Все переменные разбиваются на всевозможные пары:

Для каждой пары строится двухфакторная  модель по данным рабочей области:

Таких моделей получается всего . Из всех полученных моделей выбирают m₁ лучших моделей по какому-то наперед заданному признаку, например по сумме квадратов отклонений.

23.ОСНОВЫ МЕТОДА  ГРУППОВОГО УЧЕТА АРГУМЕНТОВ.

Данный план позволяет  получить не только коэф. модели, но и синтезировать в определенной мере структуру модели. Может применяться для сравнительно большого числа переменных. Суть реализации:

Отобранные перенумеруем:

На этом этапе заканчивается  первый слой селекции. Оценка качества моделей рассчитывается по данным контрольной  области.

На втором слое селекции из выбранных моделей составляют все  возможные пары. Для каждой пары у строят двухфакторную относительно у модель. Эти модели строятся по данным контрольной области. По данным поверочной области оценивается качество модели и выбираются лучшие модели

Этот процесс построения новых моделей и сужение их количества повторяется до тех пор, пока выделенное количество хороших  моделей не будет равно 1, когда  в модель будут включены все 

переменные или когда на каком-то слое селекции одна из полученных моделей  нас устроит. Т.о. получается модель, структура которой заранее не известна. Она фактически синтезировалась  из более простых двухфакторных  моделей.

объекте стохастическая составляющая). Чем больше изменяется У, тем надежнее найдём значение коэффициента, тем хуже для реального процесса. Обычно выбирают такие диапазоны У, которые интересуют нас при построении моделей. Если случайная составляющая У мала, то вместо кривой разгона можно получить реакцию на импульс конечной длительности. Главное достоинство – уменьшение влияния на переходный процесс.

То есть получаем более короткое воздействие  на процесс и с меньшей амплитудой.. Из этих двух случаев можно получить кривую разгона, т.е. если один прямоугольный  со сдвигом относительно первого. h(t)=X_вых(t)+h(t-τ).

25.МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО  ЛОГАРИФМИРОВАНИЯ ДЛЯ АПЕРИОДИЧЕСКИХ  ОБЪЕКТОВ.

С помощью метода можно  получить модель динамики для апериодических объектов.

Этим методом модель можно  построить при следующих допущениях: α упорядочены и α_i+1/α_i>1.5  следовательно найдётся такой интервал времени, когда все составляющие

кроме 1 равны 0.

Составим функцию 

Т.к. метод графоаналитический, то лучше пронормировать У, приведя его к диапазону 0..100. При этом Y<1 будут в пределах погрешности измерения системы и их можно не рассматривать и график будет в первом квадранте.

интервалы времени, только с учётом того, что метод графоаналитический больше 4 порядка не паримся;) Или если меньше 4, то до тех пор, пока кривая У_i не выродится в прямую.

После получения переходной функции возможно получить передаточную функцию

Поскольку преобразование Лапласа  для получения передаточной функции  требует нулевых начальных условий, то кривую разгона необходимо иметь  в отклонениях.

Для переходной функции 2 порядка:

На практике встречаются  следующие проблемы:

*за счет приближенности  графических построений не удаётся  выполнить требование равенства  производной 0.

*проблемы возникают и при аппроксимации  кривой разгона решением ДУ 2 порядка.

Тоесть  множитель р в числителе оказывается неравным 0 и функция приобретает вид:

Наличие р в числителе не означает появления дифференцирующих свойств у объекта, а является следствием погрешности получения передаточной функции. Она приемлема при условии

26.ПОЛУЧНИЕ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ  КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ

Рассматриваем вариант когда в объекте присутствуют только колебательные составляющие.

При достаточно большом времени  все гармонические составляющие с большим α затухнут и останется только 1 с самым малым α.

Частоту определим из условия  ω=2π/Т

Период определим при  как можно больших временах пока ещё не затухли колебания как  среднее по нескольким периодам.

Рассмотрим моменты пересечения  горизонтальной оси. В моменты пересечения

переходной функции горизонтальную ось sin=0, т.е. sin(ω₁t+φ₁)=0 ω₁t+φ₁=πj

J берем равным 3, 4, 5 и находим φ₁

Максимумы на кривой соответствуют  случаям, когда sin(ω₁t+φ₁)=1  и кривая описывается изменением максимумов, т.е. .

По отдельным точкам модно  построить экспоненциальную сглаживающую и методом, аналогичным, ранее рассмотренному, модно получить эти уравнения.

Т.о. мы найдем все параметры  одного слагаемого, т.е. в любые моменты  времени модно сосчитать параметры  этой составляющей. На практике никогда  не выделяют больше чем 2 составляющие, а лучше одну, в силу неточности определения.

Если на каком-то этапе (на 2) пропала колебательная составляющая в у₂, то это значит, что решение описывается одной колебательной и одной апериодической составляющей.

Для получения ПФ нужно  преобразовать по Лапласу

27.ПОЛУЧЕНИЕ МОДЕЛЕЙ  ДИНАМИКИ ДЛЯ ОБЪЕКТОВ С ИНТЕГРИРУЮЩИМИ  СВОЙСТВАМИ, С КРАТНЫМИ КОРНЯМИ.

Если экспоненциальные составляющие не затухают до выхода на ограничения, то применить этот медот достаточно трудно.

Все рассмотренные методы применимы только тогда, когда имеет  место различие в действительных корнях, т.е. отсутствуют кратные  корни. Если есть отдельные кратные  корни, то достаточно ээфекутивных методов их определения нет. Если все корни одинаковые, то существует несколько методов определения параметров:

1)заключен в алгоритме самонастройки контроллеров Реликонт

2) вычисляется площадь  под кривой разгона

Задавая последовательно  n = 1,2,3,4,5 вычисляют Т. Для каждой пары считают Х_вых,а затем выбирают лучшую. Больше 5 выбирают крайне редко.

Задачу поиска модно несколько  упростить если в качестве меры близости использовать не близость между расчетными и экспериментальными значениями,  а близость между правой и левой частями уравнения.

Такой подход сравнительно легко  применяется при построении модели 2 порядка и рассматривают близость в отдельный момент времени.

Такой алгоритм применяется чаще, потому что определить экспер. значения производных по кривой разгона сравнительно не сложно. Наиболее хорошим методом для этого является сплайновая аппроксимация и интерполяция.

На практике часто ставят задачу найти  коэффициенты модели заранее заданной структуры. Обычно берут ДУ первого  порядка. В этом случае из кривой разгона  предварительно выделяют транспортное запаздываение.

К – коэф. усиления.

К находят по установившемуся значению. Для нахождения а₁ находят точку перегиба. В этой точке вторая производная равна нулю.

Для определения а₂ есть 2 подхода:

*Рассматриваем кривую  разгона при очень малых интервалах  времени, когда первая производная  равна 0 и ей можно пренебречь.

*Интегрируем уравнение  2 порядка до точки перегиба.

29.ОСНОВЫ ПАССИВНЫХ МЕТОДОВ ПОСТРОЕНИЯ  МОДЕЛЕЙ СТАТИКИ

Данные методы не предполагают активного воздействия на процесс  с целью определения влияния  входных величин, используется наблюдение за нормальным ходом процесса.

При естественном ходе есть колебания входных и выходных переменных. В результате обработки  длительных интервалов наблюдений можно  получить статическую или динамическую модель.

Статическую модель получают через коэффициент корреляции.

r- коэффициент линейной корреляции.

Основная проблема состоит  в трудности получения статических  режимов.

Для построения моделей динамики в основном использ-ся методы спектрального анализа. Для этого вычисл-ся характеристики входного и выходного случайного сигнала. При вычислении получ-ся в виде какого-то графика и их надо аппроксимировать подходящим выражением.

Если спектральные характ-ки показывают наличие спектральных составляющих, то это не мешает получение математич-й модели. В ряде случаев удобно использ-ть взаимные спектральные характ-ки, что лучше сделать взаимной корреляционной функцией. Построение динамич. Моделей пассивынми методами осложнено трудностями:

1. оказывает автокореляционная функция. Надо убедиться, что коэффиц-т автокорел-и близок к нулю.

2.Эти методы работают  для оргодических функций.

3. Существенное влияние  оказывает временная дискретизация  случайных процессов.

4. Плохо формализуем, поэтому  надёжность пассивных методов  невысокая, хотя когда случ. Процесс существенен, то такие эффективны.

5. Требуется достаточно  большое число экспериментальных  данных, как минимум несколько  сотен.

30.АНАЛИТИЧЕСКИЙ  МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ  МОДЕЛЕЙ. ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИ.

При построении модели химико-технологического процесса используются в качестве основополагающих балансовые соотношения: балансы расходов, балансы энергии, количества движения и другие.

Необходимо иметь ввиду, что в объекте возможно накопление вещества, зарядов, энергии, а также возможно существование внутренних источников энергии.

Основные допущения определяются условиями работы объекта и их справедливость должна обосновываться, иначе модель будет неадекватной.

Допущения можно объединить:

1) Допущения о постоянстве  или об известном законе изменения  физических свойств участвующих  в процессе объектов. Хотя свойства  и зависят от большого числа  факторов, но если диапазон их  изменения в области применения  модели невелик (5-10%), тогда их  принимаем постоянными. Если модель будет применяться в широком диапазоне изменения режимов, тогда принятие допущения необходимо обосновать.

2) Допущения о неизменном или  известном характере изменения  геометрических размеров аппарата. Необходимо помнить о форме  аппарата, если одни параметры  зависят от других (например зависимость площади сечения в коническом аппарате от высоты). В случае проектирования новых процессов или аппаратов требуется получить оптимальные зависимости от требуемых условий, но это уже задача оптимизации она вариационная и решается достаточно сложно.

3) Допущения о характере  потоков веществ и энергий. Поток вещества – распределение какого-либо параметра в пространстве.

Чаще всего имеет место  реальная распределенность параметров процесса в пространстве по сечению аппарата. Принятие допущений о постоянстве параметров существенно упрощает модель, т.е. можно

обычных производных или обычным ДУ. Только необходимо учесть влияние распределения параметров на конечный результат моделирования.

4) Допущения о значимости  отдельных явлений и о необходимости  их учёта в модели. Это самый  сложный и субъективный вид  допущений. Часто все элементарные  процессы не известны или не  изучены, тогда опираемся на  свой опыт или опыт других  исследователей.. Часто сознательно  пренебрегаем многими явлениями  или описываем дискретные процессы будто они имеют непрерывную структуру – потоки жидкостей, эмульсии и т.д.

5)Допущения о потерях  вещества и энергии. Потери, особенно  тепловые присутствуют всегда, т.е.  об их отсутствии говорить  нельзя, а только можно говорить  о малости их изменения при  смене режимов работы объекта.  Однозначных рекомендаций на этот счёт нет, т.к. задач много и исследователи разные:)

В общем случае модель химико-технологического процесса может включать в себя следующие  данные:

- модели потоков

- модели массообмена

- модели хим реакций

- модели тепловых эффектов

- связующие уравнения

Порядок построения модели

1) Анализируем объект и  определяем задачу моделирования,  выбираем входные и выходные  переменные и каналы, по которым  будем строить модель.

2) Принимаем основные допущения.  Во время построения модели  допущения могут дополняться.

3) Записываем балансовые  соотношения для статики (балансы  веществ, энергии, количества  движения и др)

4) Рассматриваем приращение  входных воздействий по выбранным  каналам

5)Записываем модель динамики в  приращениях с учётом накопления  вещества и энергии

6) Переходим к пределу  при Δt->0

6+) При достаточном опыте  можно сразу записать ДУ вместо 5 и 6 с учётом формулировки: «Скорость  изменения вещества или энергии  пропорциональна разности притока  и утока вещества или энергии».

7) Раскрываем соотношения  между переменными в объекте

8) Если необходимо, то линеаризуем

9) При необходимости производим  нормировку переменных, т.е. приводим  к безразмерному виду с учётом  технологических требований.

10) Если выполнены 8 и  9, то при возможности преобразуем  по Лапласу и получаем передаточную  функцию

28.ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ  МОДЕЛЕЙ ДИНАМИКИ

Записываем соотв. ДУ

Прямыми методами подбираются  коэф. Следует помнить, что при поборе а модет меняться структура решения, т.е. х_вых расчетная. В . х_вых расч. Коэф. а входят не долько как сомножители, но и в показатели степени. R(а) будет овражной, что существенно усложняет поиск минимумов.

Задачу поиска модно несколько  упростить если в качестве меры близости использовать не близость между расчетными и экспериментальными значениями,  а близость между правой и левой частями уравнения.

Такой подход сравнительно легко  применяется при построении модели 2 порядка и рассматривают близость в отдельный момент времени.

Такой алгоритм применяется чаще, потому что определить экспер. значения производных по кривой разгона сравнительно не сложно. Наиболее хорошим методом для этого является сплайновая аппроксимация и интерполяция.

На практике часто ставят задачу найти  коэффициенты модели заранее заданной структуры. Обычно берут ДУ первого  порядка. В этом случае из кривой разгона  предварительно выделяют транспортное запаздываение. 

К – коэф. усиления.

К – коэф. усиления.

К находят по установившемуся значению. Для нахождения а₁ находят точку перегиба. В этой точке вторая производная равна нулю.

Для определения а₂ есть 2 подхода:

*Рассматриваем кривую  разгона при очень малых интервалах  времени, когда первая производная  равна 0 и ей можно пренебречь.

*Интегрируем уравнение  2 порядка до точки перегиба.

31.ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ  НАПОРНОГО БАКА

Порядок построения модели

1) Анализируем объект и  определяем задачу моделирования,  выбираем входные и выходные  переменные и каналы, по которым  будем строить модель.

2) Принимаем основные допущения.  Во время построения модели  допущения могут дополняться.

3) Записываем балансовые  соотношения для статики (балансы  веществ, энергии, количества  движения и др)

4) Рассматриваем приращение  входных воздействий по выбранным  каналам

5)Записываем модель динамики в  приращениях с учётом накопления  вещества и энергии

6) Переходим к пределу  при Δt->0

7) Раскрываем соотношения  между переменными в объекте

8) Если необходимо, то линеаризуем

9) При необходимости производим  нормировку переменных, т.е. приводим  к безразмерному виду с учётом  технологических требований.

10) Если выполнены 8 и  9, то при возможности преобразуем  по Лапласу и получаем передаточную  функцию

1) Входная величина – расход  жидкости, выходная - уровень

2) Допущения: плотность,  температура и сечение бака  постоянны

 потерь вещества нет

Материальный баланс в  приращениях в динамике. Приток не равен стоку и разница пойдет на накопление.

; ;

Данное разложение в ряд  справедливо, когда не меняется фазовое  состояние потока.

В случае ограничения в  ряде только линейными членами:

В итоге получаем обычный  апериодический объект:

Если сток из резервуара осуществляется не под давлением столба жидкости, а под действием насоса постоянной производительности, то свойства объекта  радикально изменяются.

32.ПРОСТЕЙШАЯ МОДЕЛЬ  НАГРЕВА ТЕЛА

Рассматриваем нагрев твердого тела в  потоке, т.е. общий случай теплообмена  тела со средой.

Допущения:

1)Имеет место конвективный  теплообмен с граничными условиями  3 рода, т.е. когда количество тепла  пропорционально разности температур  и площади поверхности.

)Линейный закон теплообмена  с постоянным α

3)Подвод тепла осуществляем  с очень высокой скоростью,  т.е. большое α и температура самого потока меняется несущественно.

4)Теплофизические характеристики  объекта изменяются несущественно  с изменением температуры, поэтому  считаем их постоянными

Все тепло тратится на нагрев тела:

Делим Δq на Δt и берем предел при Δt->0

33.МОДЕЛЬ СМЕСИТЕЛЯ

Входными воздействиями могут  быть входные расходы и входные  температуры. Принимаем допущения  о небольшой разнице входных  и выходных температур и о несущественном изменении свойств. Эти допущения  можно обосновать сопутствующими технологическими процессами, посему считаем плотности  и теплоёмкости потоков постоянными.

При построении модели данного  объекта придётся учитывать материальные и тепловые балансы, т.к. возможно накопление вещества и энергии.

Материальный баланс в  статике:

Тепловой баланс в статике:

К-коэффиц-т теплопередачи

Отсюда находим Т₃⁰

Запишем теплвоой баланс в приращениях, для простоты расм. только два входа, напр, Т₁ и Q₂:

Будет считать, что в аппарате имеется эффективное перемешивание  и темпер-ра в аппарате равна во всех точках по обмену и след-но равна темпер-ре воды на выходе: Т_ап=Т₃

Раскрываем скобки. Приращения ∆q и ∆t явл-ся малыми, поэтому произвед-е 2-х малых явл-ся величиной 2-го порядка малости и можно пренебречь.

Коэф-т при первой производной по темпер-ре явл-ся переменной величиной, т.е. модель явл-ся нелинейной. В частноти это может привести к след. последствиям. При создании системы автоматич-го регулирования по темпер-ре, настроечные параметры регул-ра зависят от коэф-та при производной. Поэтому при регулировании темпер-ры в случае малого уровня настройки регул-ра должны быть одни, а при регулировании темпер-ры при большом уровне, настройки другие. Получ-ся должна быть аддитивная система регулирования подстраивающаяся под уровень.

Т.о. модель будет представлять систему  уравнений, причём входные потоки Q₁ и Q₂ влияют как на материальный так и тепловой баланс. (темпер-ры не влияют)

На практике в подобных системах применяется 2 контура регулирования  по температуре и по уровню разными  потоками. Если уровень в аппарате по технологии может изменяться в  широких пределах, то разделение систем невозможно.

34.МОДЕЛЬ ГАЗОВОГО  РЕСИВЕРА (АППАРАТА С ГАЗОМ ПОД  ДАВЛЕНИЕМ)

Газовые потоки при изменении давления меняют свою плотность, поэтому рассматриваем  не объёмные, а массовые расходы  потоков газа.

Материальный баланс:

Уравнение балансов в динамике имеют вид:

Если изменяется расход на притоке или на стоке, то в аппарате будет происходить накопление газа:

Накопление массы приведет к изменению  давления. Для связи используем уравнение  Менделеева- Клайперона:

Принимаем дополнительное допущение  о том что газ идеальный, объём  аппарата постоянен, расширение и сжатие газа происходит достаточно медленно, аппарат имеет высокий коэффициент  теплоотдачи с окружающей средой следовательно изменением температуры газа пренебрегаем.

Получили апериодическое звено 1 порядка.

35.МОДЕЛЬ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ  ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

Условно всё гидравлическое сопротивление линии сосредоточено  в регулирующем органе, хотя сама труба  вызывает гидравлические сопротивления, изгибы.

В данном случае балансовым соотношением явл-ся баланс количества движения, получим такую модель при допущении:

Q₁= Q₂

Рассм. вывод такого уравнения при допущении, что трубопровод заполнен:

изменение количества движения равняется разности сил

Движение происходит гориз-но, силы тяжести не оказывают влияния.

Сопротивление в регулирующем органе влияет на расход через изменение  скорости, сущ-т 3 течения режима:

1. очень маленькие скорости 

2. очень большие скорости

3. скорость обратно пропорциональна  сопротивлению

Линейный апериодический объект 1-го порядка. После линеаризации можно  привести к типовому апериодическому  звену, у которого будет маленькая  постоянная времени, т.е. этот объект по каналу ξ-Q малоинерционный. Это накладывает отпечаток на управление расходом, на системы стабилизации расхода. Системы должны быть высокого быстродействия.

Поэтому нередко лучшим регулир-м бывает П-регулятор, если не предъявляется особых требований к статической ошибке.

36.МОДЕЛИ ГИДРОДИНАМИКИ  ПОТОКОВ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА И ОСОБЕННОСТИ

Поток – движение любой субстанции, жидкости, газа, энергии, температуры, концентрации.

Большинство технологических  процессов осуществляется в потоке, поэтому характер потока определяет процесс и он должен быть учтён при построении модели.

Рассмотрим движение жидкости в потоке. Каждая частица имеет  конвективную (вдоль потока) и диффузионную (поперёк потока) составляющие, т.е. в общем случае она движется в  произвольном направлении.