Статистическая проверка гипотез

Содержание 

 

Введение

1. Общие понятия проверки  статистических гипотез

2. Выбор критериев для проверки статистических гипотез

2.1 Проверка гипотезы о  законе распределения генеральной  совокупности с использованием  критерия Пирсона

2.2 Проверка гипотезы с  неизвестной дисперсией генеральной  совокупности согласно критерию  Стьюдента

2.3 Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности с использованием критерия Фишера-Снедекора

Практическая часть

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Заключение 

Список литературы

 

 

 

 

 

 

 

Введение

1 Общие понятия проверки статистических гипотез.

Статистической  гипотезой называется предположение о виде

неизвестного  распределения случайной величины или о параметрах известного распределения. Наряду с проверяемой гипотезой (нулевой, или основной) формулируется и противоречащая ей гипотеза (конкурирующая, или альтернативная), которая принимается, если отвергнута нулевая гипотеза.

Гипотезы  разделяются на простые (содержащие только одно предположение) и сложные (содержащие более одного предположения).

При проверке гипотезы могут быть допущены ошибки двух видов: ошибка первого рода, если отклонена верная нулевая гипотеза, и ошибка второго рода, если принята неверная нулевая гипотеза.

Для проверки статистической гипотезы используется специально подобранная случайная  величина с известным законом распределения, называемая статистическим критерием. Множество ее возможных значений разбивается на два непересекающихся подмножества: одно из них (критическая область) содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отклоняется, второе (область принятия гипотезы) – значения, при которых она принимается. Значения, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы, называются критическими точками. Критическая область может быть правосторонней (если она задается неравенством ), левосторонней () или двусторонней (, ).

 Для  ее нахождения нужно задать  вероятность ошибки первого рода  α, называемую уровнем значимости; тогда, например, правосторонняя критическая область задается условием .

Критическую область строят исходя из требования, чтобы вероятность  попадания в нее критерия была равна  при условии, что нулевая гипотеза справедлива, но нужно ввести в рассмотрение вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что нулевая гипотеза неверна и, следовательно, справедлива конкурирующая.

Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область, при условии, что справедлива конкурирующая  гипотеза, т. е. мощность критерия есть вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если верна конкурирующая гипотеза.

 

 2. Выбор критериев для проверки статистических гипотез.

 

В статистике в настоящее  время имеется большое число  критериев для проверки практически  любых гипотез. Притом основные принципы их построения и применения являются общими. Для построения статистического  критерия, позволяющего проверить некоторую  гипотезу, необходимо следующее:

1) сформулировать проверяемую  гипотезу Н₀. Наряду с проверяемой гипотезой формулируется также конкурирующая (альтернативная) гипотеза;

2) выбрать уровень значимости, контролирующий допустимую вероятность  ошибки первого рода;

3) определить область  допустимых значений и так  называемую критическую область;

4) принять то или иное  решение на основе сравнения  фактического и критического  значений критерия.

Проверка каждого типа статистических гипотез осуществляется с помощью соответствующего критерия, являющегося наиболее мощным для в каждом конкретном случае. Например, проверка гипотезы о виде закона распределения случайной величины может быть осуществлена с помощью критерия согласия Пирсона ₂; проверка гипотезы о равенстве неизвестных значений дисперсий двух генеральных совокупностей - с помощью критерия Фишера F; ряд гипотез о неизвестных значениях параметров генеральных совокупностей проверяется с помощью критерия Z - нормальной распределенной случайной величины и критерия t-Стьюдента и т. д.

 

2.1 Проверка гипотезы  о законе распределения генеральной  совокупности с использованием  критерия Пирсона

Использование этого критерия основано на применении такой меры (статистики) расхождения между теоретическим F(x) и эмпирическим распределением Fn(x), которая приближенно подчиняется закону распределения. Гипотеза Н₀ о согласованности распределений проверяется путем анализа распределения этой статистики. Применение критерия требует построения статистического ряда.

Пусть проведены N экспериментов в одинаковых условиях. Проверяется гипотеза H₀ : результаты эксперимента распределены по закону А. Разобьем интервал полученных результатов эксперимента [Y_min , Y_max] на m равных интервалов.

[Y_{i -1} , Y_i ]; i=1,...,m.

Обозначим через Y_i^* середину i-го интервала, n_i - число результатов, попавших в i-й интервал. Получим ряд распределения:

Yi*	Y1*	Y2*	...	Ym*
ni	n1	n2	...	nm

 

Пусть в  предположении, что результаты эксперимента имеют распределение А, вычислены теоретические частоты n_i^’.

В качестве статистического критерия выбирается случайная величина:

Чем меньше значение, принимаемое c², тем ближе между собой теоретическое и эмпирическое распределения. Случайная величина c² имеет известное распределение Пирсона или c²_.- распределение.

Критическое значение критерия определяется по таблице  распределения критических точек по заданному уровню значимости q и числу степеней свободы k:

k = m-r-1;

где r-число параметров распределения, определяемых по результатам эксперимента. Для нормального распределения r=2, для распределения Пуассона и показательного распределения r=1.

Наблюдаемое значение критерия c²_набл рассчитывается по результатам экспериментов

.

Если c²_набл<c²_кр, то гипотеза H₀ принимается, т. е. результаты эксперимента распределены закону А . Если c²_набл>c²_кр, то H₀ -отвергается (критическая область правосторонняя).

2.2 Проверка гипотезы  с неизвестной дисперсией генеральной  совокупности согласно критерию  Стьюдента 

 

Цель использования критерия Стьюдента - выявление достоверности  различия между данными двух выборок  одной и той же генеральной  совокупности

Метод Стьюдента применяется  для сравнения двух выборок, взятых из одной и той же генеральной  совокупности, или двух различных  состояний одной и той же выборочной совокупности.

При этом могут представиться  следующие случаи:

1. По объему:

а) обе группы большие (n>30);

б) обе группы малые  ;

в) одна - большая, вторая - малая.

2. По составу: 

а) группы с попарно-зависимыми вариантами, когда i- варианта первой группы сравнивается с i- вариантой второй группы ;

б) группы с попарно-независимыми вариантами (можно менять варианты местами внутри группы).