Сызықты программалау есебін шешудің М-әдісі (Жасанды базис әдісі)

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ

Жоғары экономикалық білімі бар мамандарға қойылатын талаптың бірі математикалық үлгілеу (молельдеу) әдістерін қолдана білу. Онсыз экономикалық жүйелер мен үрдістерді (процестерді) талдау мен болжауды қарастырып, зерттеулер жүргізу мүмкін емес. Математикалық үлгілер ақпараттарды компьютерлік үлгілеу мен өңдеудің де негізі болып табылады.

Экономикада қарастырылатын үлгілер ішінен –сызықты үлгілер ерекше орын алады. Сызықты үлгілерді зерттеулермен математиканың сызықты программалау деп аталатын тармағы айналысады.

Сызықты программалау-көп айнымалалардың функцияларының шартты экстремумдерін табу әдістерін зерттейді. Шартты экстремум (max немесе min) табу жолдары «Экономикадағы математика» пәнін өткен кезде қарастырылғанмен, қазіргі уақытта ол есептерге басқаша талаптар қойылады.

Атап айтқанда адам өмірінде кездесетін әр түрлі есептердің тиімді шешімдерін табуға жете көңіл бөліне бастады. Мысалы, шешімді қандай бір болмасын жолдармен нақты түрде таңдап алынған параметрлер жиыны деп қарастырсақ, онда тиімді шешім деп, белгілі- бір байымдаулар бойынша басымдылық берілген шешімді ұғамыз.

Назарларыңызға ұсынылып отырған оқу құралында сызықты программалауға келтіретін есептердің сызықты үлгілерін құру жолдары көрсетіліп, оның тиімді шешімдерін табу үшін қолданылатын әдістер қарастырылған. Жиі пайдаланылатын графикалық әдіс, симплекс-әдістердің нақты мысалдары қарастырылып, көптеген есептердің шығарылу жолдары көрсетілген. Студенттерге есеп шығару жолдарын жеңіл түрде түсіндіру мақсатында, қарапайым үлгілер қарастырылып, олардың экономикалық мағыналары көрсетіліп отырылады. Оқулықта жетклікті түрде жаттығулар мен есептер ұсынылады. Өз бетінше қайталау сұрақтары берілген. Көптеген есептердің шығару жолы, бақылау жұмыстарының орындалу ерекшеліктері көрсетілген.Өз бетінше жұмыстарды жандандыру мақсатында 10 вариантқа бөлінген тапсырмалар, Рефераттар тақырыптары, емтихан сұрақтары,тестілік тапсырмалар да берілген.

Қазақ тіліндегі оқу және оқу-әдістемелік құралдарын пайдаланудағы кемшілік көптеген терминдер мен түсініктердің бір ізге түспеген әр түрлілігі. Соған қарамастан келтірілген оқу құралдары студенттерді несиелік жүйемен оқыту барысында қолданысқа ене бастады. Жоғарыда келтірілген оқу және оқу-әдістемелік құралдарымен бірге, ұсынылып отырған оқу құралы да студенттерді несиелік жүйемен оқытып сапалы білім беру барысында өз орнын табады деген сенімдеміз. Өйткені, орыс тіліндегі оқулықтардың көптігіне қарамастан университет студенттері мен магистранттары өз ана тіліндегі оқулықтарға мұқтаж және де келтірілген оқу құралдарының көбісі несиелік жүйемен оқыту әдістеріне бағытталмаған.

Оқу құралының басында экономикалық- математикалық әдістердің «Экономика» мамандықтары студенттерінің кәсіби біліктілігін қалыптастырудағы алатын орны туралы мақала келтірілген. Онда пәннің негізі болып саналатын Сызықты программалау есебінің шығу тарихы, пән бойынша оқылатын тақырыптар мен олардың қолданылу аясы туралы қысқаша мағлұматтар берілген.

Оқу құралын пайдаланушыларға пәнді оқыту мақсаты мен атқаруға тиіс жұмыстары туралы мәліметтер алуына мүмкіндік береді.Соңғы жағында келтірілген Практикум, Рефераттар тақырыптары, тестілік тапсырмалар студенттердің өз бетінше жұмыстары мен зертханалық жұмыстарды ұйымдастыруға пайдалы деп есептейміз.

I БӨЛІМ. ӨНДІРІСТІК ЖӘНЕ ЭКОНОМИКАЛЫҚ ПРОЦЕССТЕРДІҢ НҰСҚАСЫН КЕЛТІРУ ПӘНІНІҢ ЖАЛПЫ МІНЕЗДЕМЕСІ

1.1 Экономика-математикалық моделдеуге кіріспе. Сызықтық программалаудың жалпы және негізгі есебі

Қазырғы кезеңдегi ғылымдардың даму ерекшелiктерiнiнiң бiрi-олардың әр түрлi салаларын зерттеуде математикалық әдiстер кең қолданылуда. Осы курстың негізгі түсінігі болып математикалық модель саналады. Қазіргі уақытта бір-бірінен анықтамасы бойынша айырмашылығы көп "модель" түсінігі көптеп кезігеді. Жалпы жағдайда модель сөзі – бұл нақты объектінің бейнесі. Мұндай бейне ретінде сызбаны, фотографины және т.б. алуға болады.

Сонымен, модель-зерттеуге тиімді болу үшін алынған объектінің шартты образы. Математикалық модельдеу дегеніміз-зерттегелі отырған  эономикалық процесстерді  немесе құбылысты  белгілі бір математикалық өрнектер түрінде бейнелеу немесе сипаттау. Бұл модель экономикалық процесс заңдылықтарын математикалық қатынастардың көмегімен абстрактілі түрде өрнектеу. Экономикалық-математикалық модельдеу процесі-экономикалық математикалық моделдеу (ЭММ) деп аталады.

Әрине, экономикалық объектіні моделдеу және математикалық моделін құру өндірістік процесстердің экономикалық талдауын математикалық анализге әкеліп, және тиімді шешім қабылдауға мүмкіндік береді.

Модельдер екiге бөлiнедi:

•              Ақыл-ой моделi: үй схемасы, масштабы т.б.

•              Физикалық модель: самолет макеті, үй макеті және т.б.

Экономикалық модельді құру.

1.              Зерттеудің мақсаты мен заты талданады.

2.              Қарастырылып отырған экономикалық жүйеде берілген мақсатқа сәйкес келетін құрылымдық немесе функционалдық элементтер бөлініп, осы элементтердің өте қажет сапалы мінездемелері айқындалады.

3.              Модель элементтерінің арасындағы өзара байланыс сөзбен, сапалы түрде сипатталады.

4.              Экономикалық объекттердiң алынған мінездемелеріне символдық белгілеулер енгізіп,   олардың арасында өзара байланыстың қаншалықты болуын пішіндеу. Осылайша математикалық модель құру.

5.              Математикалық модель бойынша есептеулер мен алынған шешімнің талдауы жүргізіледі.

Өндірісті талдау мен жоспарлауда қолданылатын барлық экономика-математикалық модельдерді екi топқа бөлуге болады. Бiрiншi топты мазмұны жеке шаруашылықтағы экономикалық талдау мен жоспарлаудан тұратын микроэкономикалық модельдер құрайды, ал екінші топты экономикалық талдаудың мәселелерін шешіп, қарастырудан тұратын макроэкономикалық модельдер құрайды.

Экономико-математикалық моделдерді сонымен қатар уақыт факторының есебіне байланысты  былай бөледі: статистикалық (барлық тәуелділіктер бір уақыт мезетіне жатқызылады) және динамикалықе (дамудағы экономикалық жүйені сипаттайды); нақты және жуық; математикалық аппарат түріне байланысты: матрицалық, сызықтық, сызықтық емес, корреляция-регрессиялық және т.б.

Сызықтық программалалаудың жалпы және негізгі есебі.

Шектеулі ресурстарды тиімді бөлу есептері. Осы топқа жататын экономикалық есептерді математикалық өрнектер түрінде бейнелеу үшін дара өнімді шығаруға қажет әр ресурстың шығыны мен ресурстардың жалпы  шектеулі көлемі, дайын өнімдердің жеке өлшемінің бағасы берілуі тиіс.

Мысал. Екі түрлі Р1 және Р2 өнімдерін  шығару үшін S1, S2, S3, S4 төрт түрлі ресурс пайдаланатын  бір кәсіпорынды алайық. Ресурс ретінде шикізат, ақша, құрал-жабдық, жұмыс күші және т.б. алынады. Өнімнің дара түріне жұмсалатын  ресурс мөлшері, ресурс көлемі, өнім бірлігінен алынатын пайда төмендегі кестеде берілген.

Өнімді сатқанда пайда максималды болатындай сол өнімді шығару жоспарын құрыңыз.

Шешуі. Есептің Экономикалық-математикалық моделін құрамыз.Ол үшін шартты белгілеу енгіземіз. х1, х2-шығарылатын Р1 және Р2 өнімдерінің саны. ¬Өнімдерді дайындауға    ресурсының   бірлігі,  -ң   бірлігі,  -ң   бірлігі,    бірлігі кетеді. Өнімді шығару барысында жұмсалатын ресурстар қоры есепте берілген қордан аспау керек, яғни қор 18, 16, 5, 21.  Соңында мынадай теңсіздіктер жүйесін алуға болады:

             (1.1)

және есеп мағынасы бойынша

.                      (1.2)

Сомалық пайда F  Р1 өнімін сатқанда 2х1 және Р2 өнімін сатқанда 3х2 сом, яғни

                      (1.3) -мақсатты функция

Сонымен есептің Экономикалық-математикалық моделі (3) мақсатты функцияға максималды мән әперетін және (1) теңсіздік пен (2) шартты қанағаттандыратын   өнімді шығару жоспарын табу керек.

Есептің жалпы түрі.  айнымалысы бар  сызықты теңдеулер жүйесі

                                            (1)

және сызықты функция

.                                                 (2)

,                                                                      (3)

берілген. (2) сызықты функциясына оптималды мән әперетін (яғни максималды немесе минималды) (1) теңсіздік пен (3) шартты қанағаттандыратын оптималды жоспарын табу керек.

(1) жүйе шектеулер жүйесі, ал функция   - сызықты функция, мақсатты функция деп аталады.

Сызықты программалау есебінің оптимальды шешімі  (немесе оптимальды жоспары) деп (2) сызықты функциясына оптималды мән әперетін (яғни максималды немесе минималды) (1) теңсіздік пен (3) шартты қанағаттандыратын шешімі аталады.

"Шешім" және  "жоспар" – синонимдер, бірақ бірінші жиі қолданылады.

( ) теріс емес шарты орындалып, (1) шектеулер жүйесі тек теңсiздiктерден тұрса, онда ондай есеп стандартты деп аталып, ал тек теңдіктер жүйесінен тұратын шектеулер жүйесі канондық, яғни негізгі есеп

деп аталады. Жоғарыда келтірілген есеп стандартты есеп.

Сызықты программалаудың кез-келген есебін жалпы, стандартты, канондық түрге келтіруге болады. Келесі мынадай теореманы қарастырайық.

Теорема 1.1.                                                (4)

теңсіздігінің кез келген   әрбір шешіміне

                                                            (5)

мұндағы  , (6) теңдеуінің анықталған әрбір шешімі сәйкес келеді және керісінше (5) теңдеудің және (6) теңсіздіктің   шешіміне  (4) теңсіздіктің әрбір шешімі сәйкес келеді.

Осы теореманы пайдаланып, стандартты есепті  канондық түрге келтірейік. Ол үшін теңсіздіктер жүйесін теңдіктер жүйесіне ауыстырамыз. Яғни қосымша айнымалыларын енгіземіз. Онда теңсіздік белгісі  болса, айнымалы қосылады,  болса, алынады. Сонда жүйе:

              (1.4)

Осылайша, (1.1) стандартты есеп канондық түрде: (1.4) жүйесін және (1.2) шартын қанағаттандыратын, (1.3) функциясын максималды мән әперетін . шешімді табу керек.

1.2 Сызықты программалау есебін шешудің Симплекс әдісі

Сызықты программалау есебін шешудің Симплекс әдісі бір тірек жоспарын екіншісіне ауыстыруға негізделген, осы кезде мақсат функцияның мәні өседі. Егер қандай да бір тірек жоспар белгілі болса, көрсетілген көшіру мүмкін болады.

шарттарын қанағаттандыратын

функциясының максималды мәнін табу керек болсын.

Мұндағы және - берілген тұрақты сандар (және ).

Берілген есептің векторлық формасы келесідей түрде болады:

                                                                                    (1)

              ,                                                                                                                (2)

шартын қанағаттандыратын

                                                                                              (3)

функциясының максимумын табу керек.

Мұндағы

;              ; ...;  ;

; ... ;  ;   .

Өйткені болғандықтан, онда тірек жоспардың анықтамасы бойынша берілген есептің тірек жоспары болып табылады. Бұл жоспар m-өлшемді кеңістіктің базисін құрайтын бірлік векторлар жүйесін анықтайды.

Теорема 1.1. (тірек жоспарының оптималдылық белгісі). Егер кез келген j үшін болса, (1)-(3) есептердің тірек жоспары оптималды болып табылады.

Теорема 1.2. Егер қандай да бір j=k  үшін және сандар ішінде оң сан жоқ болса, онда (1)-(3) есептердің (1) мақсат функциясы оның жоспарларының жиынымен шектелмеген.

Теорема 1.3. Егер (1)-(3) есептердің Х тірек жоспары көрсетілмесе және болса, бірақ сандарының ішінде оң сандар бар болса, онда сияқты Х1 тірек жоспары бар болады.

Жоғарыдағы теоремалар табылған тірек жоспары оптималды болатынын тексеруге мүмкіндік береді және жаңа тірек жоспарға ауысу мақсатын көрсетеді.