ФГОУ  ВПО «ЧГУ им. И.Н. Ульянова»

Кафедра АЭТУС 
 
 

Лабораторная  работа по вычислительным методам №3 

Вычисление  определённого интеграла методами прямоугольников, трапеций и методом  Симпсона. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                                             Выполнил студент группы ЭТ-51-08

                                                        Никитин И.Н.

                                                                              Проверил: Михадаров Д.Г. 
 
 
 
 
 
 

Чебоксары 2009.

Теоретические сведения.

 

Интегрирование  методом Прямоугольников  и трапеций. 

       Известно, что определенный интеграл функции  типа численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми x=0, y=a, y=b и y= (Рис. 1). Есть два метода вычисления этой площади или определенного интеграла — метод трапеций (Рис. 2) и метод средних прямоугольников (Рис. 3).

Рис. 1. Криволинейная  трапеция.

Рис. 2. Метод  трапеций.

Рис. 3. Метод средних прямоугольников. 

       По  методам трапеций и средних прямоугольников  соответственно интеграл равен сумме  площадей прямоугольных трапеций, где  основание трапеции какая-либо малая  величина (точность), и сумма площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, которое график функции должен пересекать в середине. Соответственно получаем формулы площадей —

для метода трапеций:

,

для метода средних прямоугольников:

. 

Интегрирование  методом Симпсона.

 
    Собственное значение определенного  интеграла 

      

находится методом  Симпсона (парабол). Отрезок [a,b] разбивается на n=2m частей x₀=a,x₁=a+h, . . . ,x_n=b с шагом h=(b-a)/n.     Вычисляются значения y_i=F(x_i) функции в точках x_i и находится значение интеграла по формуле Симпсона:

      S=S_n+R_n,

где

            

Затем количество точек разбиения удваивается  и производится оценка точности вычислений:

      R_n=|S_2n-S_n|/15     

Если R_n > e, то колличество точек разбиения удваивается. Значение суммы 2(y₁+y₂+. . . +y_2m-1) сохраняются, поэтому для вычисления интеграла при удвоенния количества точекразбиения требуется вычислять значения y_i лишь в новых точках разбиения.  

Если заданы значения функции F(x) на интервале [a,b] y₀,y₁, . . ., y_n в равностоящих точках и n четно, то приближенное значение интеграла вычисляется по формуле:

       =  
 
 

Выполнение  работы:

Вычислить интеграл

Программа решения задачи методом  прямоугольников.

Program Pryamougolniki;

var

n,i : integer;

a,b,shag,sum,itog : real;

function F(x:real):real;

begin

F:=cos(x*x)

end;

BEGIN

write('Начало интегрирования a = '); readln(a);

write('Конец интегрирования b = '); readln(b);

write('Количество  разбиений интервала n = '); readln(n);

shag:=(b-a)/n;

sum:=0;

for i:=1 to n-1 do

sum := sum + F(shag*i+a);

sum := sum + (F(a)+F(b))/2;

itog:=(b-a)/n * sum;

writeLn('Интеграл = ', itog:0:5)

end.

Результат работы программы:

Начало интегрирования a = 0

Конец интегрирования b = 1

Количество разбиений  интервала n = 1000

Интеграл = 0.90452 
 

Вычислив данный интеграл с помощью MathCad, получим

Программа решения задачи методом трапеций. 

program Trapecii;

uses

  Crt;

var

  s,Si,x0,dx:real;

  i,x1,x2,n:integer;

begin

  writeln('Программа  вычисления определенного интеграла');

  writeln('Метод  трапеций.');

  writeln('Введите  исходные значения:');

  write('Начальное значение x (x1)='); Readln(x1);

  write('Конечное  значение x (x2)='); Readln(x2);

  write('Количество  разбиений ='); Readln(n);

  s:=0;

  x0:=0;

  dx:=(x2-x1)/n;

  for i:=1 to n do begin

  si:=0.5*dx*(cos(x0*x0)+cos((x0+dx)*(x0+dx)));

  s:=s+si;

  x0:=x0+dx;

  end;

  writeln('Интеграл равен:',s:0:5);

end. 

Результат работы программы:

Программа вычисления определенного интеграла

Метод трапеций.

Введите исходные значения:

Начальное значение х (х1)=0

Конечное значение х (х2)=1

Количество разбиений =1000

Интеграл равен: 0.90452

Программа решения задачи методом Симпсона. 

program Simpson;

function F(x:Real):Real;

begin

F:=cos(x*x);

end; 

var a,b,h,x :real;

n,i :integer;

integ :real; 

begin

write('Введите  начало интегрирования a='); readln(a);

write('Введите конец интегрирования b='); readln(b);

write('Введите  количество разбиений интервала  (четное число) n='); readln(n);

if (n mod 2)>0 then

begin

n:=n+1;

end; 

h:=(b-a)/n;

integ:=F(a)+F(b)+4*F(a+h);

for i:=1 to (n div 2)-1 do

begin

x:=a+2*h*i;

integ:=integ+2*F(x)+4*F(x+h);

end;

integ:=h*integ/3; 

writeln('Интеграл = ',integ:0:5);

end. 
 

Результат работы программы:

Введите начало интегрирования a=0

Введите конец  интегрирования b=1

Введите количество разбиений интервала (четное число) n=1000

Интеграл = 0.90452 
 
 
 

Расчет проверялся для функции  , а определенный интеграл брался от 0 до 1.

Вывод:

       Таким образом очевидно, что при вычислении определенных интегралов методами трапеций и средних прямоугольников не дает нам точного значения, а только приближенное.

       Чем ниже задается численное значение точности вычислений (основание трапеции или  прямоугольника, в зависимости от метода), тем точнее результат получаемый машиной. При этом, число итераций составляет обратно пропорциональное от численного значения точности. Следовательно для большей точности необходимо большее число итераций, что обуславливает возрастание затрат времени вычисления интеграла на компьютере обратно пропорционально точности вычисления.

       Использование для вычисления одновременно двух методов (трапеций и средних прямоугольников) позволило исследовать зависимость точности вычислений при применении обоих методов.

       Следовательно при понижении численного значения точности вычислений результаты расчетов по обеим методам стремятся друг к другу и оба к точному результату.