Содержание

      Введение

     Реальные  конфликтные ситуации приводят к  различным видам игр. Игры различаются  по целому ряду признаков: по количеству участвующих в них игроков, по количеству возможных игроков, по количеству возможных стратегий, по характеру взаимоотношений между игроками, по характеру выигрышей, по виду функций выигрышей, по количеству ходов, по характеру информационной обеспеченности игроков.

     Для матричных игр доказано, что любая  из них имеет решение, и оно может быть легко найдено путем сведения игры к задаче линейного программирования), биматричные игры (это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока А, столбец - стратегии игрока В, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока А, во второй матрице - выигрыш игрока В.

     Для биматричных игр также разработана  теория оптимального поведения игроков, однако решать такие игры сложнее, чем обычные матричные непрерывные игры (Непрерывной считается игра, в которой функция выигрышей каждого игрока является непрерывной в зависимости от стратегий. Доказано, что игры этого класса имеют решения, однако не разработано практически приемлемых методов их нахождения), и т.д.

     Возможны  также и другие подходы к разбиению  игр. Теперь вернёмся непосредственно  к теме исследования, а именно к  Теории игр. Для начала дадим определение  этому понятию.

     Теория  игр - раздел математики, изучающий  формальные модели принятия оптимальных  решений в условиях конфликта. При  этом под конфликтом понимается явление, в котором участвуют различные  стороны, наделённые различными интересами и возможностями выбирать доступные для них действия в соответствии с этими интересами. В условиях конфликта стремление противника скрыть свои предстоящие действия порождает неопределённость. Наоборот, неопределённость при принятии решений (например, на основе недостаточных данных) можно интерпретировать как конфликт принимающего решения субъекта с природой. Поэтому теория игр рассматривается также, как теория принятия оптимальных решений в условиях неопределённости. Она позволяет систематизировать некоторые важные аспекты принятия решений в технике, сельском хозяйстве, медицине и социологии и других науках. Участвующие в конфликте стороны называются коалициями действия; доступные для них действия - их стратегиями; возможные исходы конфликта - ситуациями.

     Задача  теории состоит в том, что является:

     1) оптимальным поведением в игре.

     2) исследование свойств оптимального  поведения

     3) определение условий, при которых  его использование осмысленно (вопросы  существования, единственности, а  для динамических игр и вопросы  именной состоятельности).

     4) построение численных методов  нахождения оптимального поведения. 

     Теория  игр, созданная для математического  решения задач экономического и  социального происхождения, не может  в целом сводиться к классическим математическим теориям, созданным для решения физических и технических задач. Однако в различных конкретных вопросах теория игр широко используются весьма разнообразные классические математические методы.

      Глава 1. Игровые модели

     1.1. Теория игр

    Экономист математик должен уметь принимать решение в условиях неопределенности, уметь использовать математический инструментарий, отражающийся на ключевые понятия вероятности, матрицы, основы линейного программирования.

    В природе, в обществе часто встречаются явления, в которых те или иные участники имеют несовпадающие интересы и располагают различными путями для конфликта, и они являются предметом изучения теории игр. Под конфликтом будем понимать всякое явление, применительно к которому можно говорить, кто и как в этом явлении участвует, каковы могут быть у этого явления исходы, кто в этих исходах заинтересован и в чем эта заинтересованность состоит.

    Ход событий в конфликте зависит  от решений, принимаемых каждой из сторон, и поэтому поведение любого участника  конфликта, если оно в том или  ином смысле разумно, должно определяться с учетом возможного поведения всех его участников.

    Для конфликта характерно то, что ни один из его участников заранее не знает решений, принимаемых остальными участниками, т.е. вынужден действовать в условиях неопределенности. Неопределенность исхода может проявляться не только в результате сознательных действий других участников, но и как результат действия тех или иных «стихийных сил» (неопознанной природы). Важно лишь то, что в наличии двух или более сторон с различными целями (в том числе сознательных индивидуумов или природы) исключает априорную оценку каких-либо вероятностных распределений того или иного исхода, которая, тем самым предопределяется конфликтностью явления. Конфликт может возникнуть также из различия целей, которые отражают не только несовпадающие интересы различных сторон, но и многосторонние интересы одного и того же лица. Например, конструктор обычно преследует многосторонние - интересы, согласуя противоречивые технико-экономические требования, предъявляемые и конструируемому изделию (минимизации габаритов и стоимости, максимизация надежности и т.п.).

    Наконец, прямо противоположные интересы различных сторон явно проявляются  в непосредственной борьбе (военной, дипломатической, экономической, спортивной и т.д.).

    Формализация  содержательного описания конфликта  представляет собой его математическую модель, которую называют игрой. Участников конфликта называют игроками. При  этом в качестве единого игрока может  выступать целый коллектив, имеющий  некоторые общие интересы (фирма, предприятие, спортивная команда, воюющая сторона и т. д.). Теория игр изучает оптимальное поведение игроков в играх в том или ином смысле.

    По  традиции изложение теории антагонистических  игр, моделирующих антагонистические  конфликты, т. е. конфликты двух лиц, интересы которых прямо противоположны. Поэтому антагонистическом конфликте у сторон нет почвы для согласования действий. Исход антагонистической игры оценивается вещественным числом, которая одна из сторон старается максимизировать, а другая – минимизировать. Отсюда выигрыш (в самом широком смысле) одной из сторон в антагонистическом конфликте составляет проигрыш (потери) противной стороны и является одним из разделов программ - теория конечных антагонистических игр¹. В этих играх игроки, для достижения своих целей, располагают лишь конечным числом возможных действий (стратегий), которые они выбирают независимо друг от друга.

    Рассматривая бесконечные, которые отличаются от матричных лишь тем, что один или оба игрока имеют бесконечное число стратегий. Концептуально эти игры ничем не отличаются от матричных. Педагогически их разделение связанно преимущественно с тем, что вводится основные и первоначальные, возможно, трудноуспеваемые понятия и концепции теории антагонистических игр. В этом случае хотелось использовать минимум необходимого математического аппарата.

    Значительная  часть теории игр посвящена многошаговым играм. Поэтому, например, общие динамические игры, требующих более тонких математических конструкций, нами не рассматриваются. Все игры характеризуются тем, что игроки совершают свои выборы не раз и навсегда, а последовательно по времени. Поэтому они располагают той или иной информацией о развитии игры в прошлом. Существует также теория многошаговых игр n лиц.

    Бескоалиционные игры описывают конфликты, в которых интересы игроков не являются диаметрально противоположными (в частности, эти интересы могут совпадать). В этих играх игроки стремятся к ситуациям равновесия, т. е. к таким ситуациям, отклонение от которых отдельного игрока, если остальные игроки не изменяют своих стратегий, может привести разве лишь к его проигрышу.

    Конфликты, в которых принимают участие  очень большое число участников, моделируются играми с бесконечным  числом игроков. Мы затрагиваем только некоторые вопросы этой теории – игры, в которых выигрыш игрока определяется лишь его собственным выбором и «мерой» множества остальных игроков, сделавших такой же выбор².

    Антагонистические и бескоалиционные игры, составляют основное содержание теории стратегических игр. При этом участникам антагонистической игры нет никакой выгоды, как отклоняться от своих оптимальных стратегий, так и договариваться до игры  о выборе совместного плана действий. В бескоалиционных играх игрок, отклоняющийся от ситуации равновесия, может лишь проиграть при условии, что остальные игроки будут стараться ее сохранить. Однако если от ситуации равновесия отклониться несколько игроков, то они могут и выиграть. Поэтому в бескоалиционных играх правила игры не предусматривают вступление игроков в коалиции. В реальных конфликтах такие ограничения возникают иногда из-за «физической» невозможности объединения или в силу законодательных актов.

    Вместе  с тем природой ряда конфликтов между  участниками допускается сотрудничество (кооперирование, согласование способов действий, обмен информацией и т. п.). В результате сторон могут использовать совместную стратегию. В этом случае исход игры определяется множеством их возможных выигрышей или выигрышей отдельных групп (коалиций) игроков. Поэтому модели этих игр, не имея стратегического аспекта, называются нестратегическими. Кооперативная теория, как раз и рассматривает вопросы, связанные с нестратегическими играми.

    Основная  проблема теории кооперативных игр  состоит в том, чтобы «разумно»  разделить выигрыш, который может получить коалиция из всех игроков, между этими игроками или указать множество возможных дележей выигрышей. В последнем случае выбор конкретного дележа может быть произведен по соображениям, не отраженным в теоретико-игровой модели. Естественно, что распределение выигрыша должно производиться «разумно». Различные понятия «разумности» приведет к различным решениям.

    Практика  создания и функционирования различных  организационных (в том числе  и эколого-экономических) систем показывает, что процедуры управления в них должны быть построены по иерархическому принципу. Задачи анализа и синтеза иерархических систем не укладываются в рамки обычной теории оптимального управления, так как в условиях взаимодействия подсистем становится неоднозначным само понятие оптимальности. Современная теория иерархических систем, получившая название информационной теории иерархических систем, возникла и сформировалась за последние 10 лет на стыке общей теории управления и теории игр. Параллельно развивалась близкая к ней по идеологии теория активных систем.

    Именно  наличие неопределенности приводит к образованию иерархических  структур и разделению полномочий по принятию решений. Если плановый орган  неточно знает параметры контролируемых им подразделений (подсистем), то ему  может быть выгодно, предоставить им определенную самостоятельность. При этом важно так обеспечить информационный обмен, чтобы эффективность управления не снижалась от децентрализации.

    Исследуется такая ситуация, когда создание высшего (коллективного) органа необходимо для обеспечения информацией нижнего уровня. Эта ситуация принятия решений в условиях ассиметрий информации в системе управления.

     1.2. Классификация игровых моделей

     Игровую модель можно определить, как совокупность (x,y) правил поведения при конфликтной ситуации и функции платежа Н(x,y) для каждого игрока на любом этапе игры.

     Ввиду того, что теория игр квалифицируется  как некоторый раздел математики, описание ее предмета также должно формулироваться достаточно четким, математическим образом. Если не говорить о понятиях модели вообще и модели математической, то теория игр содержит три нуждающихся в точном понимании термина:

• принятие решения,
• конфликт,
• оптимальность решения

     Дадим однозначное толкование каждому  из этих терминов на языке теории множеств.

     Принятие  решений (или стратегия игрока - совокупность рекомендаций по ведению игры от начала и до конца): Принятие субъектом К некоторого своего решения можно понимать просто как выбор некоторого элемента(решения) x_k  из множества всех допустимых решений g_k.

     Конфликты: Содержательно конфликт рассматривается как явление, в котором решаются вопросы о том, кто и как в этом явлении участвует, какие у этого явления могут быть исходы, а также кто и как в этих исходах заинтересован. Во-первых, необходимо фиксировать, что в конфликте участвуют те или иные стороны, являющиеся принимающими решения субъектами. Эти стороны естественно называть коалициями действия. Здесь термин коалиция употреблен для подчеркивания возможной сложности, структурности принимающего решения субъекта³. В его роли может выступать целый коллектив, причем коллективы, составляющие различные коалиции действия, могут, вообще говоря, пересекаться. Заметим, что в конфликте может участвовать и лишь одна коалиция действия, причем этот случай с теоретико-правовой точки зрения оказывается, отнюдь не тривиальным. Множество всех коалиций действия будет обозначаться через W_¶. Во -вторых, необходимо отразить возможности участников конфликта, т.е указать, какие именно решения может принимать каждая из коалиций действия КÎW_¶. Эти решения называются (коалиционными) стратегиями коалиции К. Множество всех стратегий коалиции действия К будем обозначать через g_к. Исход конфликта определяется исходя из осуществимости результатов выбора всеми коалициями действия своих стратегий с учетом всех обусловленных между ними связей (если таковые предусмотрены) и называются ситуацией. Т.о., множество всех ситуаций можно понимать  как некоторое заданное подмножество g декартова произведения  (пары стратегий). В-третьих, необходимо указать стороны, отстаивающие некоторые интересы. Их естественно называть коалициями интересов. Множество таких коалиций интересов конструируемого конфликта будем обозначать через W_u   .