Биография Пьера Ферма

Пьер  де Ферма́ (фр. Pierre de Fermat, 17 августа 1601 — 12 января 1665) — французский математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, с 1631 года — советник парламента в Тулузе. Блестящий полиглот. Наиболее известен формулировкой Великой теоремы Ферма.

Биография

Пьер Ферма  родился 17 августа 1601 года в гасконском городке Бомон-де-Ломань (Beaumont-de-Lomagne, Франция). Его отец, Доминик Ферма, был зажиточным торговцем, вторым городским консулом; мать, Клер де Лонг — преподавательница математики. В семье, кроме Пьера, были ещё один сын и две дочери. Ферма получил юридическое образование — сначала в Тулузе, а затем в Бордо и Орлеане.В 1631 году, успешно закончив обучение, Ферма выкупил должность королевского советника парламента (другими словами, члена высшего суда) в Тулузе. В этом же году он женился на дальней родственнице матери, Луизе де Лонг. У них было пятеро детей.

 Быстрый служебный рост позволил Ферма стать  членом Палаты эдиктов в городе Кастр (1648). Именно этой должности он обязан добавлением к своему имени признака знатности — частицы de; с этого времени он становится Пьером де Ферма.Около 1652 года Ферма пришлось опровергать сообщение о своей кончине во время эпидемии чумы; он действительно заразился, но выжил. В 1660 году планировалась его встреча с Паскалем, но из-за плохого здоровья обоих учёных встреча не состоялась.

Научная деятельность

Работа советника  в парламенте города Тулузы не мешала Ферма заниматься математикой. Постепенно он приобрёл славу одного из первых математиков Франции, хотя и не писал  книг (научных журналов ещё не было), ограничиваясь лишь письмами к коллегам. Среди его корреспондентов были Р. Декарт, Ж. Дезарг, Ж. Роберваль и другие. Открытия Ферма дошли до нас благодаря сборнику его обширной переписки (в основном через Мерсенна), изданной посмертно сыном Ферма.

В отличие  от Галилея, Декарта и Ньютона, Ферма  был чистым математиком — первым великим математиком новой Европы. Независимо от Декарта он создал аналитическую  геометрию. Раньше Ньютона умел использовать дифференциальные методы для проведения касательных, нахождения максимумов и  вычисления площадей. Правда, Ферма, в  отличие от Ньютона, не свёл эти методы в систему, однако Ньютон позже признавался, что именно работы Ферма подтолкнули его к созданию анализа .Но главная его заслуга — создание теории чисел.

Теория  чисел

Ферма постоянно  интересовался арифметическими  задачами, обменивался сложными задачами с современниками. Например, в своём  письме, получившем название «Второго вызова математикам» (февраль 1657), он предложил  найти общее правило решения  уравнения Пелля в целых числах. В письме он предлагал найти решения при a=149, 109, 433. Полное решение задачи Ферма было найдено лишь в 1759 году Эйлером.

Начал Ферма  с задач про магические квадраты и кубы, но постепенно переключился на закономерности натуральных чисел  — арифметические теоремы. Несомненно , влияние Диофанта на Ферма, и символично, что он записывает свои удивительные открытия на полях «Арифметики».

Ферма обнаружил, что если a не делится на простое число p, то число всегда делится на p (см. Малая теорема Ферма). Позднее Эйлер дал доказательство и обобщение этого важного результата: см. Теорема Эйлера.

Обнаружив, что число  простое при k ≤ 4, Ферма решил, что эти числа простые при всех k, но Эйлер впоследствии показал, что при k=5 имеется делитель 641. До сих пор неизвестно, конечно или бесконечно множество простых чисел Ферма.

Эйлер доказал (1749) ещё одну гипотезу Ферма (сам  Ферма редко приводил доказательства своих утверждений): простые числа  вида 4k+1 представляются в виде суммы  квадратов (5=4+1; 13=9+4), причём единственным способом, а для чисел, содержащих в своём разложении на простые  множители простые числа вида 4k+3 в нечётной степени, такое представление  невозможно. Эйлеру это доказательство стоило 7 лет трудов; сам Ферма доказывал эту теорему косвенно, изобретённым им индуктивным «методом бесконечного спуска». Этот метод был опубликован только в 1879 году; впрочем, Эйлер восстановил суть метода по нескольким замечаниям в письмах Ферма и неоднократно успешно его применял. Позже усовершенствованную версию метода применяли Пуанкаре и Андре Вейль.

Ферма разработал способ систематического нахождения всех делителей числа, сформулировал  теорему о возможности представления  произвольного числа суммой не более  четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов). Самое  знаменитое его утверждение —  «Великая теорема Ферма».

Математический  анализ и геометрия

Ферма практически  по современным правилам находил  касательные к алгебраическим кривым. Именно эти работы подтолкнули Ньютона к созданию анализа. В учебниках по математическому анализу можно найти важную лемму Ферма, или необходимый признак экстремума: в точках экстремума производная функции равна нулю.

Ферма сформулировал  общий закон дифференцирования  дробных степеней и распространил  формулу интегрирования степени  на случаи дробных и отрицательных  показателей.

Наряду с  Декартом, Ферма считается основателем  аналитической геометрии. В работе «Введение к теории плоских и  пространственных мест», ставшей известной  в 1636 году, он первый провёл классификацию  кривых в зависимости от порядка  их уравнения, установил, что уравнение  первого порядка определяет прямую, а уравнение второго порядка  — коническое сечение. Развивая эти  идеи, Ферма пошёл дальше Декарта  и применил аналитическую геометрию  к пространству.

Другие  достижения

Независимо  от Паскаля Ферма разработал основы теории вероятностей. Именно с переписки  Ферма и Паскаля (1654), в которой  они, в частности, пришли к понятию  математического ожидания и теоремам сложения и умножения вероятностей, отсчитывает свою историю эта  замечательная наука. Результаты Ферма  и Паскаля были приведены в  книге Гюйгенса «О расчётах в азартной игре» (1657), первом руководстве по теории вероятностей.

Имя Ферма  носит основной принцип геометрической оптики, в силу которого свет в неоднородной среде выбирает путь, занимающий наименьшее время (впрочем, Ферма считал, что  скорость света бесконечна, и формулировал принцип более туманно). С этого  тезиса начинается история главного закона физики — принципа наименьшего  действия.

Ферма перенёс  на трёхмерный случай (внутреннего  касания сфер) алгоритм Виета для  задачи Аполлония (касания окружностей)

Малая теорема Ферма

Ма́лая теоре́ма Ферма́ — классическая теорема теории чисел, которая утверждает, что

Если p — простое число, и   не делится на , то  Другими словами, при делении нацело на  даёт в остатке 1.

Равносильная  формулировка:

Для любого простого и целого :

 делится на

Свойства  и некоторые следствия

Если   — простое число, а   и — такие положительные целые числа, что , тогда . Это утверждение используется в системе шифрования с открытым ключом RSA.

Если  — простое число, отличное от 2 и 5, то число , запись которого состоит из одних девяток, делится на . Отсюда легко следует, что для любого целого числа , которое не делится на 2 и на 5, можно подобрать число, состоящее только из девяток, которое делится на  . Этот факт используется в теории признаков делимости и периодических дробей.

Псевдопростые числа

Обращение малой теоремы Ферма неверно, то есть приведенные в определении  формулы могут выполняться не только для простых чисел: если   и — взаимно простые числа такие, что   делится на p, то число может не быть простым. В случае, когда является составным, это число называется псевдопростым по основанию a. 

Пример: Ф. Саррус в 1820 году нашёл, что число   делится на 341 (потому что N делится на ). Но 341 — составное число:   — это первое псевдопростое число по основанию 2. 

Число p, являющееся псевдопростым по основанию a для всех a, взаимно простых с p, называется числом Кармайкла (например, 561 — наименьшее из чисел Кармайкла). 

Хотя выполнение теоремы Ферма не гарантирует, что  p — простое число, теорема может быть полезна для тестирования числа: если  не делится на , то p — составное число.

Доказательство  малой теоремы Ферма, основанное на том, что целые числа  сравнимы в некотором порядке с числами , было опубликовано в 1806 году Джеймсом Айвори.

Великая теорема Ферма

Для любого натурального числа    уравнение

не имеет  натуральных решений  ,     и .

Ферма широко известен благодаря так называемой великой (или последней) теореме  Ферма. Теорема была сформулирована им в 1637 году, на полях книги «Арифметика» Диофанта с припиской, что найденное  им остроумное доказательство этой теоремы  слишком длинно, чтобы привести его  на полях.

Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат  на два биквадрата и вообще никакую  степень, большую квадрата, на две  степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком  узки для него.(с)

Вероятнее всего, его доказательство не было верным, так как позднее он опубликовал  доказательство только для случая . Доказательство, найденное в 1994 году Эндрю Уайлсом, содержит 129 страниц и опубликовано в журнале «Annals of Mathematics» в 1995 году.

Простота  формулировки этой теоремы привлекла  много математиков-любителей, так  называемых ферматистов. Даже и после решения Уайлса во все академии наук идут письма с «доказательствами» великой теоремы Ферма.

Последний, но самый важный, шаг в доказательстве теоремы был сделан Уайлсом в сентябре 1994 года. Его 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале «Annals of Mathematics»[3]. Доказательство основано на предположении немецкого математика Герхарда Фрая о том, что Великая теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы — Симуры (это предположение было доказано Кеном Рибетом при участии Ж.‑П.Серра).

Первый вариант  своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году (после 7 лет напряжённой работы), но в нём вскоре обнаружился серьёзный пробел, который с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора удалось достаточно быстро устранить[5]. В 1995 году был опубликован завершающий вариант.

Числа Ферма

Числа Ферма  — числа вида , где n — неотрицательное целое число. Последовательность чисел Ферма начинается так:

3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617, … (последовательность A000215 в OEIS)

Свойства

• Правильный n-угольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда , где — различные простые числа Ферма (теорема Гаусса — Ванцеля).
• Среди чисел вида простыми могут быть только числа Ферма (т.е. n обязано быть степенью 2-ки). Действительно, если у n есть нечётный собственный делитель , то по теореме Безу: и поэтому не является простым.
• Простоту чисел Ферма можно эффективно установить с помощью теста Пепина.
• На январь 2012 года известно лишь 5 простых чисел Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537 (последовательность A019434 в OEIS). Существование других простых чисел Ферма является открытой проблемой.
• Известно, что являются составными при .
• Десятичная запись чисел Ферма, больших 5, оканчивается на 7.
• Каждый делитель числа   при имеет вид (Эйлер, Люка, 1878).

 
 
 

Разложение  на простые

   Заключение

 Пьер  де Ферма умер 12 января 1665 года в  городе Кастр, во время выездной сессии суда. Первоначально его похоронили там же, в Кастре, но вскоре (1675) прах перенесли в семейную усыпальницу Ферма, в церкви августинцев (Тулуза). Старший сын, Клеман-Самуэль, издал посмертное собрание его трудов, из которого современники и узнали о замечательных открытиях Пьера Ферма. Современники характеризуют Ферма как честного, аккуратного, уравновешенного и приветливого человека, блестяще эрудированного как в математике, так и в гуманитарных науках, знатока многих древних и живых языков, на которых он писал неплохие стихи.