Численное решение систем нелинейных уравнений

Численное решение систем нелинейных уравнений

 

Постановка задачи:

Дана система нелинейных уравнений:

                                                                                                                               (1)

 

 

 

Необходимо найти                     .

 

 

 

                                                                                                                        

Матричная запись системы нелинейных уравнений

 

 

 

Введем вектор-функцию                                                ,

 

 

 

вектор-решение              и нулевой вектор  .

 

                                                                                                                       

                                                                                                                                         (2)

 

 

T

Методы решения систем нелинейных уравнений

 

• Метод простых итераций;
• Метод покоординатных итераций;
• Метод Ньютона и модификации метода Ньютона.

     

 

 

 

 

 

 

Метод простых итераций

 

 

                                                                                                                                (3)

 

 

 

                            Обозначим:

 

 

 

 

                                                                                                                                 

                                                                                                                                (4)

 

Метод простых итераций

 

Алгоритм:

 

1. Задаем некоторый вектор

 

 

2. Считаем по формуле                                                                                (5)

 

3. Итерационный процесс (5) повторяется  до тех пор, пока не

   выполнится                        .                                                                       (6)

 

Сходимость метода простых итераций

 

Тип сходимости:

Этот метод имеет линейный тип сходимости.

Теорема (о сходимости итерационного процесса (5)).

Пусть функция Ф(х) и множество М такие, что                            и

1)                                   где x – вектор; 

2)

то                итерационный процесс (5) сходится к некоторой точке 

и при этом выполняются следующие оценки: 

                                                                                                                           (7)

 

                                                                                                                           (8)

 

 

Метод покоординатных итераций

 

Этот метод можно рассматривать как аналог метода Зейделя для решения

систем линейных алгебраических уравнений.

Алгоритм:

1. Задаем .

2. Вычисляем 

 

                                                                                                                          (9)

 

 

Тип сходимости:

Этот метод имеет сверхлинейный тип сходимости.

Метод Ньютона

 

F(x)=0                                                                                                              (10)

Пусть существует невырожденная последовательность

                                                                                                                         (11)

На основе (11) строится следующий итерационный процесс:

                                        

и счет идет до тех пор, пока не выполнится 

Классический метод Ньютона полагает                                                     (12)

 

                                                                                                                         (14)

 

 

                                                                                                                         (15)

                                                                                                                            

 

 

 

Первая модификация метода Ньютона

 

Матрица       считается один раз, а именно на нулевой итерации,

т.е. считается     . Тогда 

                                                                                                                   

                                                                                                         (16)

 

Эта модификация имеет линейную скорость сходимости.

Двухшаговый (2-х ступенчатый) метод Ньютона

 

Состоит из двух этапов:

1) этап – “предиктор”;

2) этап – “корректор”.

Первый этап:

 

Второй этап:

 

Здесь не пересчитывается обратная матрица.

       

 

(17)

Метод Ньютона с последовательной аппроксимацией обратных матриц

 

Алгоритм:

1. Задается        .

2. Вычисляется 

 

                                                                                                                          

 

 

 

Модификация (18) обладает квадратичной скоростью сходимости.

 

(18)

Разностный (дискретный) метод Ньютона

 

        считается по приближенным формулам,

т.е. частные производные заменяются разностными аналогами.

 

 

 

 

где h – шаг. 

Эти формулы имеют первый порядок точности относительно h.