Числовые характеристики случайных величин

ТЕМА: Числовые характеристики случайных величин. 

Числа, которые  характеризуют случайную величину суммарно, называются ее числовыми  характеристиками. К ним относятся:

1. Математическое ожидание
2. Дисперсия
3. Среднее квадратическое отклонение

ПАРАГРАФ: Математическое ожидание ДСВ (дискретно случайных  величин) и его  свойства. 

Математическим  ожиданием ДСВ Х называется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие вероятности, с которыми эти возможные значения принимаются.

М(Х)=^defp₁x₁+p₂x₂+…+p_nx_n=∑p_kx_k.

Задача: найти  математическое ожидание ДСВ Х – числа выпавших очков при бросании игральной кости.

М(Х) = 1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6=3.5 

Выясним вероятностный  смысл математического ожидания. Пусть вероятность появления  события А постоянна и равна р. Рассмотрим все возможные значения ДСВ Х – числа появлений события А в одном испытании.

М(Х) = 0*q+1*p=p 

Таким образом, математическое ожидание числа появлений  события А в одном испытании равно вероятности этого события.

Пусть ДСВ  Х возможное значение х₁ принимает m₁ раз, возможное значение х₂ – m₂ раз, … , возможное значение х_k – m_k раз. Найдем возможную сумму всех значений, которые ДСВ Х принимает в серии из n испытаний: n=m₁+m₂+…+m_k.

Далее введем величину сигма, представляющую собой  G, представляющую собой сумму произведений возможных значений Х на количество раз, которое каждое из этих значений принимало. G=x₁m₁+x₂m₂+…+x_km_k.

Тогда среднее  арифметическое всех возможных значений находится по следующей формуле: = G/n = x₁*m₁/n+x₂*m₂/n+…+x_k*m_k/n.

Очевидно, что  величина m_i/n представляет собой статистическую вероятность того, что: W(X=x_i)=m_i/n=w_i. Т.е. среднее значение ДСВ Х представимо в виде: X=x₁w₁+x₂w₂+…+x_kw_k. Как известно, для любого значения индекса i имеет место следующее значение: w_i p_. Т.е. X=x₁p₁+x₂p₂+…+x_kp_k=M(X)=>X=M(X). Таким образом, математическое ожидание ДСВ Х приблизительно равно среднему значению ее возможных значений. 

Свойства  математического ожидания:

1. Математическое ожидание константы равно самой константе. M(C)=C, C = const. Произведением константы на ДСВ Х называется ДСВ, обозначаемое C*X, возможные значения которой равны произведению возможных значений Х на константу С, а вероятность такая же, как и у ДСВ Х.
2. Математическое ожидание ДСВ, представляющий собой произведение константы С на ДСВ Х, равно произведению этой константы на математическое ожидание ДСВ Х. Две ДСВ называются независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от возможных значений другой ДСВ. Несколько ДСВ называются взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения принимают остальные ДСВ. Произведением двух ДСВ Х и Y называется ДСВ, обозначаемое XY, возможные значения которого равны произведениям каждого из возможных значений Х на каждое из возможных значений Y, а вероятности возможных значений новой ДСВ равны произведениям вероятностей соответствующих множителей.

3. Если Х и Y – независимые ДСВ, то математическое ожидание их произведения равно произведению математических ожиданий этих ДСВ. M(XY)=M(X)*M(Y). Следствие: Если X₁, X₂, … , X_n взаимно независимы, то математическое ожидание произведения этих ДСВ равно произведению их математических ожиданий. M ( = . Суммой двух ДСВ Х и Y называется ДСВ, обозначаемое X+Y, возможные значения которой равны сумме каждого из возможных значений Х с каждым из возможных значений Y, а вероятности возможных значений новой ДСВ равны произведениям вероятностей суммируемых значений – для независимых ДСВ; а для зависимых ДСВ – произведением вероятности одного из слагаемых на условную вероятность другого.
4. Математическое ожидание суммы двух ДСВ равно сумме их математических ожиданий. M(X+Y)=M(X)+M(Y), для V (любых) X, Y.
5. Если произведено n независимых повторных испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна p, то математическое ожидание ДСВ Х – числа появления события А равно произведению количества испытаний на вероятность события А. М(Х) = np

Задача.

Вероятность попадания в цель при стрельбе из оружия равна 0.6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если произведено 10 выстрелов.

М(Х) = 10*0.6 = 6