Дифференциальные уравнения

     Дифференциальные  уравнения.

1. Найти общие решения дифференциальных уравнений.

             

     Решение:

     Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Cоставим и решим соответствующее однородное уравнение:

     

.

     Его характеристическое уравнение имеет вид:

     

     и решение:

     

.

     Общее решение однородного уравнения  в этом случае принимает вид:

     

.

     Теперь  надо найти какое-либо частное решение  неоднородного уравнения ( и сложить его с общим решением однородного ( ). Таким образом, будет получено общее решение исходного неоднородного уравнения ( . Частное решение имеет вид:

     

 

     (в  соответствии с общим видом  частного решения для уравнений  с правой частью специального  вида 1го типа). Определим коэффициенты:

1. Находим производную:

     

2. Подставляем его в наше исходное уравнение:

     

,

     

     

.

     Коэффициенты  при соответствующих степенях x в обоих частях уравнения приравниваем:

     

     

     

 

     Таким образом,

     А общее решение неоднородного  уравнения принимает вид:

     

 
 
 

     

2. Решить  дифференциальные уравнения 2-го порядка  понижением порядка

               

     Решение:

     Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Составим и решим  соответствующее однородное уравнение:

     

     

     Используя замену , приходим к дифференциальному уравнению 1-го порядка:

     

     

     

     

     

     Для линейного неоднородного уравнения  общее решение будет иметь  вид: . Найдем и подставим его в уравнение :

     

     

     

     

     

     

           Сделав обратную замену, получим:

     

     

     

     

     

     

. 
 
 
 
 

     

 

     

     Решение:

     Составим  характеристическое уравнение, соответствующее  данному дифференциальному уравнению:

     

     

. 

           Имеем два комплексных  корня: . Тогда решение принимает вид: . Правая часть, равная , представляет собой многочлен нулевой степени , умноженный на , где . Таким образом, будем искать в виде многочлена нулевой степени, только с неопределенным коэффициентом, то есть A, умноженного на и на , где r=1, т.е. – 1 является корнем характеристического уравнения кратности 1:

     

.

     Так как  - решение данного уравнения, то после подстановки его в исходное уравнение вместо y получим тождество. Найдем предварительно:

     

     

     

.

     Подставим в исходное уравнение:

     

     

, таким  образом,  .

     Тогда .

     Найдем  частное решение уравнения, определив неизвестные коэффициенты , используя условия . Для этого найдем . Имеем систему:

      .

     Тогда частное решение для данных начальных  условий имеет вид:

     

.

4. Решить методом вариации

     

 

     Решение:

     Общее решение соответствующего линейного  дифференциального уравнения определяется по формуле: . Общее решение исходного дифференциального уравнения будем искать в виде: .   (*)

     Для определения  воспользуемся системой:

     

     Умножаем  первое уравнение на , а второе на  - . Затем полученные равенства складываем. Получаем:    (1).

     Умножаем первое уравнение на , а второе на  -  .  Затем полученные равенства складываем. Получаем:     (2).

     Интегрируя  дифференциальные уравнения (1) и (2), имеем:

     

      .

     Подставляем найденные коэффициенты в (*), получая  общее решение линейного неоднородного  дифференциального уравнения:

      .