Доказательство теорем

 заснований на раніше доведених  пропозиціях, Евкліду потрібна  була саме вибрана ним дорога.

    Ще  давно була винайдена головоломка,  звана сьогодні “Піфагор”. Неважко  переконатися в тому, що в основі  семи частин головоломки лежать  рівнобедрений прямокутний трикутник і квадрати, побудовані на його катетах, або, інакше, фігури, складені з 16 однакових рівнобедрених прямокутних трикутників і тому що укладаються в квадрат. Така лише мала дещиця багатств, прихованих в перлині античної математики — теоремі Піфагора

. Далі я розгляну  декілька доведень алгебри теореми

    ДОВЕДЕННЯ  ТЕОРЕМИ ПІФАГОРА. Хай Т— прямокутний трикутник з катетами а, b і гіпотенузою з (мал. 6, а). Доведемо, що с2=а2+Ь2. Побудуємо квадрат Q із стороною а+Ь (мал. 6, би). На сторонах квадрата Q візьмемо крапки А, В, З, D так, щоб відрізки АВ, ВС, CD, DA відсікали від квадрата Q прямоуголь¬ниє трикутники Т1, Т2, Т3, Т4 з катетами а і b. Четирех¬угольник ABCD позначимо буквою Р. Покажемо, що Р — квадрат із стороною с.

Всі трикутники Т1, Т2, Т3, Т4  дорівнюють трикутнику Т (по двох катетах). Тому їх гипо-тенузи дорівнюють гіпотенузі трикутника Т, тобто відрізку с. Доведемо, що всі кути цього чотирьох-косинця прямі. Хай ? і ?— величини гострих кутів трикутника Т. Тоді, як вам відомо ?+?= 90°. Кут в при вершині А чотирикутника Р  разом з кутами, рівними ? і ?, складає розгорнутий кут. Тому ?+?=180°. І так як ?+?= 90°, то ?=90°. Так само доводиться, що і останні кути чотирикутника Р прямі. Следователь¬но, чотирикутник Р — квадрат із стороною с.

     Квадрат  Q із стороною а+Ь складається  з квадрата Р із стороною  з і чотири треугольні-ков, рівних треуголь¬нику Т. Поетому для їх площ виконується рівність S(Q)=S(P)+4S(T) .

Оскільки S(Q)=(a+b) 2 ; S(P)=c2 і S(T)=1/2(ab), то, підставляючи ці вирази в S(Q)=S(P)+4S(T), отримуємо рівність

(a+b) 2=c2+4*(1/2) ab . Оскільки (a+b) 2=a2+b2+2ab, ту рівність (a+b) 2=c2+4*(1/2) ab мож¬но записати так: a2+b2+2ab=c2+2ab.

З рівності a2+b2+2ab=c2+2ab виходить, що с2=а2+Ь2. 

ЩЕ  ОДИН ДОКАЗ АЛГЕБРИ. Хай АВС — даний прямоуголь¬ний трикутник з прямим кутом С. Проведем висоту CD з вершини прямого кута З (мал. 7).

         За визначенням  косинуса кута (Косинусом гострого  кута прямокутного трикутника  на-зи¬ваєтся відношення прилеглого  катета до гіпотенузи) соsА=ad/ac=ac/ab. Звідси Ab*ad=ac2. Аналогічно соsВ=bd/bc=bc/ab. Звідси Ab*bd=ВС2. Складаючи отриману рівність почленно і помічаючи, що Ad+db=ab, отримаємо: АС2+ВС2=АВ(AD + DB)=АВ2. Теорема доведена.

           Висновок. Значення цієї теореми полягає перш за все в тому, що з неї або з її допомогою можна вивести більшість теорем геометрії. На жаль, неможливо тут привести все або навіть найкрасивіші доведення теореми, проте хочеться сподівається, що наведені приклади переконливо свідчать про величезний інтерес сьогодні, та і вчора, що проявляється по відношенню до неї. 
 
 
 
 

                                   Доказу методом розкладання

  Існує цілий  ряд доказів теореми Піфагора, в яких квадрати, побудовані на  катетах і на гіпотенузі, розрізають  так, що кожній частині квадрата,построєнного  на гіпотенузі, відповідає частина  одного з квадратів, побудованих на катетах. У всіх цих випадках для розуміння доказу досить одного погляду на креслення; міркування тут може бути обмежене єдиним словом: "Дивися!", як це робилося у вигадуваннях древніх індуських математиків. Слідує, проте, відмітити, що насправді доказ не можна вважати повним, поки ми не довели рівності всіх відповідних один одному частин. Це майже завжди досить не важко зробити, проте може (особливо при великій кількості частин) зажадати досить тривалої роботи.

                          Доказ Епштейна 

Почнемо з доказу Епштейна(мал. 1); його перевагою є те, що тут як складові частини розкладання фігурують  виключно трикутники. Щоб розібратися  в кресленні, відмітимо, що пряма CD проведена  перпендикулярно прямою EF.  Розкладання на трикутники можна зробити і наочнішим, ніж на малюнку. 

                        Доказ Нільсена.

  На малюнку  допоміжні лінії змінені за  пропозицією Нільсена.

Доказ Бетхера

.  На малюнку  дано вельми наочне розкладання  Бетхера..

                          Доказ Перігаля. 

У підручниках  незрідка зустрічається розкладання  вказане на малюнку (так зване "колесо з лопатями"; цей доказ  знайшов Перігаль). Через центр O квадрата, побудованого на більшому катеті, проводимо прямі, паралельну і перпендикулярну гіпотенузі. Відповідність частин фігури добре видно з креслення

.

           Доказательство Гутхейля. 

 Змальоване на малюнку розкладання належить Гутхейлю; для нього характерне наочне розташування окремих частин, що дозволяє відразу побачити, які спрощення спричинить випадок рівнобедреного прямокутного трикутника..

                     Доказ 9  століть  н.е.                                                                                         доказ 9 століть н.е.  століть н.е.  Раніше були представлені лише такі докази, в яких квадрат, побудований на гіпотенузі, з одного боку, і квадрати, побудовані на катетах, з іншою, складалися з рівних частин. Такі докази називаються доказами за допомогою складання ("аддитивними доказами") або, частіше, доказами методом розкладання. До цих пір ми виходили із звичайного розташування квадратів, побудованих на відповідних сторонах трикутника, тобто зовні поза трикутником. Проте у багатьох випадках вигідніше інше розташування квадратів.

На малюнку  квадрати, побудовані на катетах, розміщені рівнями один поряд з іншим. Цю фігуру, яка зустрічається в доказах, що датуються не пізніше, ніж 9 століттям н. е., індуси називали "стільцем нареченої". Спосіб побудови квадрата із стороною, рівній гіпотенузі, ясний з креслення. Загальна частина двох квадратів, побудованих на катетах,, і квадрата, побудованого на гіпотенузі, - неправильний заштрихований п'ятикутник 5. Приєднавши до нього трикутники 1 і 2, отримаємо обидва квадрати, побудовані на катетах; якщо ж замінити трикутники 1 і 2 рівними ним трикутниками 3 і 4, то отримаємо квадрат, побудований на гіпотенузі. На малюнках нижче змальовано два різні розташування близьких до того, яке дається на першому малюнку.