Двоточкова крайова задача для рівняння теплопровідності

Міністерство  освіти і науки України

Чернівецький  національний університет

імені Юрія Федьковича

 

Факультет прикладної математики

 

Кафедра диференціальних  рівнянь

 

 

 

 

Курсова робота

на тему:

«Двоточкова крайова задача

для рівняння теплопровідності»

 

 

 

 

 

 

 

Науковий керівник:

ас. Лучко В.М.

Виконавець:

студентка 304 групи

заочної форми  навчання

Горин Р.Б.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чернівці 2007

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Анотація

 

У даній курсовій роботі розглядається двоточкова крайова задача для рівняння теплопровідності.

 

Зміст

 

 

Вступ

Велике коло задач математичної фізики зводяться до дослідження властивостей розв’язків диференціальних рівнянь із частинними похідними. У даній курсовій роботі розглядається двоточкова крайова задача для рівняння теплопровідності. У першому параграфі побудовано розв’язок даної задачі. У другому параграфі вивчені властивості функції Гріна та вияснено при яких обмеженнях на параметр реалізується збіжність даних інтегралів.. Для похідних розв’язку двоточкової задачі отримані оцінки.

 

§1. Постановка двоточкової крайової задачі та зображення розв’язку

 

Розглянемо двоточкову крайову задачу для рівняння теплопровідності

,                                                           (1)

,                                                  (2)

де  - відомі функції, які апріорі допускають перетворення Фур’є, - деякий параметр.

Розв’язок задачі (1)-(2) будемо шукати у вигляді

,                                               (3)

де  є розв’язком задачі

,                                                         (4)

,                                                     (5)

.

Рівняння (4) звичайне диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними, на правах параметра

,

,

.

Задовольняючи умову (5) отримаємо

,

 

,

 

.

Отже,

.                                      (6)

Підставляючи (6) в (3) отримаємо формально розв’язок задачі (1)-(2)

,                                           (7)

де введено такі позначення

.

 

§2. Аналітичний опис функції Гріна

 

У даному пункті знайдемо при яких умовах на параметр буде визначена функція Гріна . Для цього скористаємося відомим фактом при .

Розглянемо вираз

дана рівність виконується  у випадку, коли таким чином

при . Оскільки даний ряд є збіжним, це означає, що можна поміняти знак суми та інтегралу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У даних обчисленнях скористалися тим, що

.

 

§3. Дослідження властивостей розв’язку

 

Згідно попереднього пункту розв’язок задачі (1)-(2) можна подати у вигляді

Будемо припускати, що функція  - неперервно-обмежена, таким чином

 

 

 

 

Знайдемо від функції  другу похідну по :

.

Оцінимо похідні функції  , скористаємося тим, що функція є неперервною на

 

 

 

Тоді на основі оцінок похідних оцінимо похідну

 

 

Отже,

.                                (8)

 

Із останньої рівності випливає, що друга похідна розв’язку є неперервною, аж до площини , а при є розривною.

Теорема. Нехай неперервні, обмежені функції, , тоді розв’язок задачі (1)-(2) визначається формулою (7) і для похідних розв’язку виконується оцінка (8).

 

Висновок

 

У даній курсовій роботі розв’язана двоточкова крайова задача для рівняння теплопровідності. Знайдено явне зображення функції Гріна і отримані оцінки її похідних. Побудований розв’язок даної задачі, як обернене перетворення Фур’є функції Гріна, та отримані оцінки похідних розв’язку. Встановлено умови на параметр при яких існує розв’язок.

 

Література

 

1. Эйдельман С.Д. Параболические системы. – М.: Наука, 1964.- 444 с.

2. Матійчук М.І. Параболічні  сингулярні крайові задачі. –  К: Ін-т математики НАН України, 1999. – 176 с.

3. Лучко В.М. Про двоточкову крайову задачу для параболічних рівнянь вищого порядку // Науковий вісник Чернівецького університету.- 2004. –Випуск 228. Математика. С. 51-59.