Функция одной переменной

 
 
 
 

Функция одной переменной.

 
 
 
 

Множество {x} всех значений, которые может принимать  данная переменная величина, называется областью изменения этой переменной величины. Переменная величина считается  заданной, если задана область ее изменения. В дальнейшем мы,как правило, будем  обозначать переменные величины строчными  латинскими буквами x, у, u, а области  изменения этих переменных символами {x}, {y}, {u}. 
 

 
 
 
 

Пусть задана переменная величина x, имеющая областью изменения некоторое множество {x}.  

 
 
 
 

Определение функции одной переменной. 

Если  каждому значению переменной х из

множества {х} ставится в соответствие по

известному  закону некоторое число у, то гово-

рят, что  на множестве {х} задана функция

 у = у(х) или у = f(x).  

 
 
 
 

При этом переменная x называется аргу-

ментом, а множество {x} — областью

задания функции у = f(x).  

 
 
 
 

Число у, которое соответствует данному  зна-

чению аргумента x, называется частным 

значением функции в точке x. Совокуп-

ность всех частных значений функции образует

вполне  определенное множество {у}, называемое

множеством  всех значений

функции.  

 
 
 
 

В обозначении  у = f(x) буква f называется характеристикой  функции. Для обозначения 

аргумента, функции и ее характеристики могут 

употребляться различные буквы.  

 
 
 
 

Способы задания функции одной переменной. 

Аналитический способ.  

Функция f  задается в виде формулы y=f(x). 

Например, y=3cos(x)+2x². Этот способ является преобладающим в математических исследованиях и подробно рассматривается в классическом курсе математики. В географических исследованиях соответствие между переменными величинами x и y не всегда удается записать в виде формулы. Во многих случаях формула бывает неизвестна. Тогда для выражения функциональной зависимости используются другие способы.

 

 
 
 
 

Табличный способ.  

Этот  способ является наиболее простым. В  одной строке таблицы записываются все значения аргумента (числа), а  в другой – значения f(x), соответствующие каждому х. Например, зависимость температуры воздуха (Т) от времени суток (t) в определенный день можно представить таблицей.

 
 
 
 

Графический способ.  

На метеорологических  станциях можно наблюдать работу приборов-самописцев, регистрирующих величины атмосферного давления, температуры  воздуха, его влажности в любой  момент времени суток. По полученному  графику можно определить значения указанных величин в любой  момент времени. Графиком функции y=f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (x, f(x)). График содержит всю информацию о функции. Имея перед собой график, мы как бы "видим функцию".

 
 
 
 

Основные  свойства функции. 

1)  Область определения  функции и область  значений функции. 

Область определения функции - это множество  всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых  функция y = f(x) определена.

Область значений функции - это множество  всех действительных значений y, которые  принимает функция. 

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел. 
 

 
 
 
 

2)  Нули функции. 

Нуль  функции – такое значение аргумента, при котором значение функции  равно нулю.

 
 
 
 

3)  Промежутки знакопостоянства  функции. 

Промежутки  знакопостоянства функции – такие  множества значений аргумента, на которых  значения функции только положительны или только отрицательны.

 
 
 
 

4)  Монотонность функции. 

Возрастающая  функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует  большее значение функции. 

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует  меньшее значение функции.

 
 
 
 

5)  Четность (нечетность)  функции. 

Четная  функция - функция, у которой область  определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется  равенство f(-x) = f(x). График четной функции  симметричен относительно оси ординат. 

Нечетная  функция - функция, у которой область  определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо  равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции  симметричен относительно начала координат. 
 

 
 
 
 

6)  Ограниченная и  неограниченная функции. 

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная. 
 

 
 
 
 

7)  Периодическость  функции. 

Функция f(x) - периодическая, если существует такое  отличное от нуля число T, что для  любого x из области определения  функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое  наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции  являются периодическими.

 
 
 
 

Общая схема  исследования функции и построения ее графика. 

Найти область  определения функции. Выделить особые точки (точки разрыва).

Проверить наличие  вертикальных асимптот в точках разрыва  и на границах области определения.

Найти точки  пересечения с осями координат.

Установить, является ли функция чётной или нечётной.

Определить, является ли функция периодической или  нет (только для тригонометрических функций, остальные непериодические, пункт пропускается).

Найти точки  экстремума и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.

Найти точки  перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.

Найти наклонные  асимптоты функции.

Построить график функции.