Гаусс әдісі

       3.2 Гаусс әдісі

       Дәл әдістер тобының қарапайым әдістерінің  бірі – ол Гаусс әдісі. Гаусс әдісінің негізгі идеясы - ол алгебралық түрлендірулердің көмегімен жүйеден біртіндеп  белгісіздерді шығару арқылы берілген жүйені  үшбұрышты теңдеулер жүйесіне келтіру. Үшбұрышты жүйеге келтіру үрдісін қарастырайық.

       Анықтық үшін төрт белгісізі бар төрт теңдеуден  тұратын жүйе берілсін.

                                                     (3.2.1)

        , болсын. жетекші элемент деп аталады.  (3.2.1) – жүйесінен х₁ белгісізін шығару үшін жүйенің бірінші теңдеуін ге мүшелеп бөлеміз:

       

          белгілеуін енгізсек, төмендегідей теңдеу аламыз:

                                                           (3.2.2)

       (1.2.2) – теңдеуін қолданып, (1.2.1) – жүйесінің белгісізін алып тастауға болады. Ол үшін (1.2.2) – теңдеуін алдымен - ге, одан соң - ге көбейтіп, (1.2.1) жүйесінің 2 – ші, 3 – ші, 4 – ші теңдеулерінен шегеру керек. Пайда болған теңдеулер жүйесінен 1-ші жатық жол мен 1-ші тік жолды алып тастасақ, нәтижесінде үш теңдеуден тұратын жүйе аламыз:

       

          белгілеуі арқылы 

                                                        (3.2.1^/)

теңдеулер жүйесін аламыз. Мұндағы  ,   - жетекші элемент.

         жүйесінен х₂ белгісізін шығару үшін жоғарыдағы үрдісті қайталаймыз, яғни бірінші теңдеуін мүшелеп жетекші элементке бөлсек:

        .                                                                                   

           белгілеуін енгізсек, төмендегідей теңдеуді аламыз:

         ,                                                               (3.2.2^/)

       Енді (3.2.1^/) жүйесінен белгісізін жоғарыдағыдай жолмен алып тастаймыз, нәтижесінде екі белгісізі бар екі теңдеулер жүйесін аламыз:

       

       

                                                               (3.2.1^//)

       Мұнда - жетекші элемент.

       (3.2.1^//) жүйесінің бірінші теңдеуін жетекші элементке мүшелеп бөлсек:

        ,                                                               ( )

       Енді (3.2.1^//) жүйесінен белгісізін алып тастаймыз:

       

        ,  

        .                                                                               

       Бұдан             

       Енді  , және теңдеулерін жинақтап жазсақ, онда белгісіздерді анықтауға мүмкіндік беретін төмендегідей үшбұрышты жүйені аламыз:

                                                        (3.2.3)

       Гаусс әдісін қолданып теңдеулер жүйесін  шешу үшін қажетті және жеткілікті шарты – ол жетекші элеметтердің барлығының нөлге тең болмауы  болып табылады.

       Үшбұрышты матрицаның (3.2.3) коэффициенттерін анықтау үрдісі тура жүріс, ал (3.2.1) жүйесінің белгісіздерін анықтау кері жүріс деп аталады.

       Практикада  Гаусс әдісімен теңдеулер жүйесін  шешуді жеңілдету үшін арнайы есептеу  кестелері (кесте 1) қолданылады.

       Тура  жүріс кестенің А бөліміне жүйенің  коэффициенттерін және бос мүшелерді жазудан басталады. А бөлімінің ең соңғы жолы бірінші жолды мүшелеп - ге бөлудің нәтижелерінен тұрады. А₁ бөлімінің кез келген элементі А бөлімінің сәйкесінше элементтерінен бірінші тік жол мен соңғы жатық жолдың сәйкес элементерінің көбейтіндісін шегерумен анықталады.

       Ал  А₁ бөлімінің соңғы жатық жолы бірінші жолды - жетекші элементке бөлгеннен пайда болады. Осындай жолмен қалған А₂, А₃, А₄ бөлімдері құрылады.

       Кері  жүрісте А_i бөлімдерінің (белгіленген жатық жолдары) 1 цифры бар жатық жолдары қолданылады. В бөлімінде алдымен , одан соң белгісіздері анықталады. Олардың мәндері В бөлімге жазылады.

       Есептеулерді  бақылау үшін «жолдық қосындылары» ∑ қолданылады.

                                                                       (3.2.4)

       Бұл қосындылар сәйкес жатық жолдағы  коэффициенттер мен бос мүшелердің қосындысын анықтайды.

       Егер (3.2.1) жүйесінде бос мүшелер ретінде коэффициентін алсақ, онда түрлендірілген сызықтық жүйедегі:

                                                             (3.2.5)

         белгісіздері алғашқы жүйенің белгісіздері мен төмендегідей қатынаста болды:

                                                      (3.2.6)

       Шындығында  да (3.2.6) формуласын (3.2.5) теңдеуіне қойып, (3.2.1) және (3.2.4) формуласын қолдансақ, тепе – теңдік аламыз:

         

       Практикада  әрбір жолдағы есептеуді бақылау  үшін, кестеде тағы бір тік жол S қолданылады. Ол жол «бақылау қосындысы» деп аталады. Ол тік жолдың элементтері  әр бөлімнің элементтері қалай анықталса, сондай әдіспен анықталады. Әрбір жатық жолда жасалынған амалдар қатесіз дұрыс орындалса, онда «бақылау қосынды» S пен «жолдық қосынды» ∑ бағандарының элементтері бір – біріне тең болуы керек.  
 

       Кесте 7 -Гаусс сызбасы

       Мысал 1.2.1: Төмендегі жүйені шешу керек:

                                           (3.2.7)

 

        Есептеулерді Гаусс сызбасын қолданып жүргіземіз (Кесте 8).

       Кесте 8 -Гаусс сызбасымен есептеу үлгісі

 

       Сонымен,