Идеи Лапласа в современной математике

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. А.Н.ТУПОЛЕВА»

ДОКЛАД

на тему

Идеи Лапласа в современной математике

Выполнила

студентка группы 3111

Шарафиева А.Р.

Руководитель

доцент кафедры

специальной математики

Дорофеева С.И.

Казань 2010

«Натаниел Воудич, известный математик, из Бостона, который перевел четыре тома труда Лапласа на английский язык, как-то сказал: «Всегда, когда я встречал у Лапласа заявление «Итак, легко видеть...», я был уверен, что мне потребуются часы напряженной работы, пока я заполню пробел, догадаюсь и покажу, как это легко видеть». Математическая карьера Гамильтона началась с того, что он нашел ошибку в «Небесной механике» Лапласа. Грин пришел к мысли о математической теории электричества при чтении Лапласа».

Стойк Д.Я.

В каждой сфере человеческой жизнедеятельности можно выделить таких людей, которые своими творениями, изобретениями или открытиями не только просветили свой век, но и до сих пор, спустя много лет после своей смерти, своими трудами, помогают развитию человечества. Одним из таких людей стал Пьер-Симо́н Лапла́с - известный французский математик, астроном, физик и механик.

Пьер-Симо́н Лапла́с родился 23 марта 1749г. в местечке Бомон-ан-Ож (Нормандия) в семье небогатого крестьянина. Впоследствии граф и маркиз Лаплас стыдился своего незнатного происхождения, поэтому о его детских и юношеских годах известно очень немного. Пьер Симон рано проявил свои выдающиеся способности, с блеском окончил школу бенедиктинцев, из которой выше, между прочим, убежденным атеистом, и был оставлен там же в Бомоне, преподавателем математике в военной школе. В 17 лет написал свою первую научную работу. Жизнь в захолустье тяготила Лапласа и в 1766г. он отправился в Париж. Там с помощью Д'Аламбера он получил место преподавателя в Военной школе Парижа. В 1773г. Лаплас становится адъюнктом, а в 1785г. действительным членом Парижской академии. В дальнейшем он был избран членом королевских обществ в Турине и Копенгагене (1801г.), академии наук в Геттингене (1802г.), Берлине (1808г.), и Голландии (1809г.). 13 октября 1802г. Лаплас стал почетным членом Петербургской академии наук. Лаплас был широко образованным человеком. Он знал языки, историю, философию, химию, биологию, не говоря уже об астрономии, математике и физике. Любил поэзию, музыку, живопись. Такая глубокая эрудиция и широкая образованность для выходца из крестьянской среды говорит о природной одаренности, врожденных талантах, которые он сумел развить. Также он обладал прекрасной памятью и до глубокой старости наизусть читал целые страницы из Расина. После переворота пришедший к власти Наполеон назначил Лапласа министром внутренних дел. На том посту ученый пробыл пол года и был заменен братом Наполеона Люсьеном Бонапартом. В 1803г. Наполеон сделал Лапласа вице-президентом сената, а через месяц- канцлером. После реставрации монархии Лаплас пользовался благосклонность Людовика XVIII. Король сделал его пэром Франции и пожаловал титул маркиза. В 1817г. Лаплас стал членом Французской академии, т.е. одним из сорока бессмертных.

В астрономии Лаплас доказал устойчивость солнечной системы, состоящую в том, что благодаря движению всех планет в одну сторону, малым эксцентриситетам и малым взаимным наклонам их орбит, должна существовать неизменяемость средних расстояний планет от Солнца, а колебания прочих элементов орбит должны быть заключены в весьма тесные пределы.

Лаплас предложил первую математически обоснованную космогоническую гипотезу образования всех тел Солнечной системы, называемую его именем: гипотеза Лапласа. Он также первый высказал предположение, что некоторые наблюдаемые на небе туманности на самом деле — удалённые галактики, подобные нашему Млечному пути.

В физике Лапласу принадлежит барометрическая формула, связывающая плотность воздуха, высоту, влажность и ускорение свободного падения. Занимался также геодезией и теорией рефракции, изобрёл ледяной калориметр.

Совместно с А. Лавуазье в 1779—1784 гг. Лаплас занимался вопросами теории теплоты, изобрели ледяной калориметр, боролся с теорией флогистона. Лаплас опубликовал ряд работ по теории капиллярности и установил закон Лапласа для капиллярного давления.

В 1809 году Лаплас занимался проблемами акустики; он вывел формулу для скорости распространения звука в воздухе.

Важные исследования Лапласа относятся к гидродинамике.

По философским взглядам Лаплас был атеистом и материалистом; известен его диалог с Наполеоном:

- Вы написали такую огромную книгу о системе построения мира и ни разу не упомянули о его Творце!

- Сир, я не нуждался в этой гипотезе.

Лаплас был также приверженцем абсолютного детерминизма. Он постулировал, что если бы какое-нибудь разумное существо смогло узнать положения и скорости всех частиц в мире в некий момент, оно могло бы совершенно точно предсказать все мировые события. Такое гипотетическое существо впоследствии было названо демоном Лапласа.

Рассмотрев почти все науки в которые Лаплас внес свой вклад, я бы хотела перейти к моей любимой математике и рассказать, что он сделал для неё.

В начале я хочу отметить, что почти в каждом разделе математике, которые  изучают в ВУЗе,  встречается его имя.

При решении прикладных задач Лаплас разработал методы математической физики, широко используемые и в наше время. Особенно важные результаты относятся к теории потенциала и специальным функциям. Его именем названо преобразование Лапласа и уравнение Лапласа.

Уравнение Лапласа — уравнение в частных производных. В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так:

и является частным случаем уравнения Гельмгольца.

Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном пространстве. В двумерном пространстве уравнение Лапласа записывается:

Также и в n-мерном пространстве. В этом случае нулю приравнивается сумма n вторых производных.

С помощью дифференциального оператора

— (оператора Лапласа) — это уравнение записывается (для любой размерности) одинаково как .

Опера́тор Лапла́са (лапласиа́н) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом . Функции он ставит в соответствие функцию .

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции: , таким образом значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля  в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом , то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя.

Он далеко продвинул линейную алгебру; в частности, Лаплас дал разложение определителя по минорам(1 курс, 1 семестр).

Лаплас расширил и систематизировал математический фундамент теории вероятностей, ввёл производящие функции. Первая книга о теории вероятности написанная Лапласом посвящена математическим основам; собственно теория вероятностей начинается во второй книге, в применении к дискретным случайным величинам. Там же — доказательство предельных теорем Муавра—Лапласа и приложения к математической обработке наблюдений, статистике народонаселения и «нравственным наукам».

Лаплас развил также теорию ошибок и приближений методом наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов — один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки.

Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений.

Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например, длина отрезка или угол, то, для увеличения точности, измерение производится много раз, и за окончательный результат берут арифметическое среднее из всех отдельных измерений. Это правило арифметической середины основывается на соображениях теории вероятностей; легко показать, что сумма квадратов уклонений отдельных измерений от арифметической середины будет меньше, чем сумма квадратов уклонений отдельных измерений от какой бы то ни было другой величины. Само правило арифметической середины представляет, следовательно, простейший случай метода наименьших квадратов.

Преобразование Лапласа стали основой для операционного исчисления О. Хевисайда, которое очень часто применяется в электротехнике, радиоэлектротехнике, теории автоматики и т.д.

Преобразование

,

где k(t,p) – ядро преобразования, называется интегральным; его вид и характер задач, к которым оно применимо, зависит от выбора ядра и пределов интегрирования. Если и , то получим преобразование Лапласа

,

Которое преобразует определенный класс функций – оригиналов f(t) действительного переменного t в функции - изображения F(p) комплексного переменного  p.

Преобразование

Впервые(1737 г.) ввел Эйлер. Лапласом были доказаны свойства этого преобразования, а так же введены бесконечные пределы интегрирования, что позволило применить преобразования Эйлера - Лапласа в приложениях.

Многие идеи Лапласа открытые в 19-ом веке не только используются по сей день, но и в наше время стали куда более значимыми, чем тогда когда он их открыл, и поэтому можно смело утверждать, что наука не стареет, и развиваясь всегда опирается на уже полученный опыт.

8