Интегрирование замены переменной и по частям в неопределенном интеграле

Элементы высшей математики

 ЛР - № 12

Практическая работа № 12

Интегрирование замены переменной и по частям в неопределенном интеграле.

1. Цель работы. Получение навыков вычисления неопределенного интеграла различными методами.

 

2. Литература.

1. Сборник задач по математике для техникумов. И.Л. Соловейчик, В.Т.Лисичкин. Москва «ОНИКС 21 век», «Мир и Образование» 2003г.
2. Практикум по высшей математике. Б.В.Соболь, Н.Т.Мишняков, В.М.Поркшеян. Ростов - на – Дону «Феникс» 2004г.
3. Конспект лекций по высшей математике. Д.Т.Письменный М. «АЙРИС ПРЕС» 2005г., ч.1.
4. Конспект лекций по высшей математике. Д.Т.Письменный М. «АЙРИС ПРЕС» 2005г., ч.2.
5. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике. М., "Высшая школа", 2003г.
6. Алгебра и начала анализа. Под ред. Г. Н. Яковлева. М., ”Наука“, 1987, ч. 1.
7. 2. Алгебра и начала анализа. Под ред. Г. Н. Яковлева. М., ”Наука“, 1988, ч. 2.
8. 3. Валуцэ И. И., Дилигул Г. Д. Математика для техникумов. М., "Наука", 1990

 

3. Подготовка  к работе.  Повторить лекционный материал по теме "Неопределенный интеграл".

 

4. Задание. 

4.1. Научиться вычислять неопределенный интеграл непосредственно.

4.2. Научиться вычислять неопределенный  интеграл методом подстановки.

4.3. Научиться вычислять неопределенный  интеграл по частям.

 

5. Порядок  выполнения работы.

5.1. Вычислите непосредственно следующие неопределенные интегралы:

 

1.		Ответ:
2.		Ответ:
3.		Ответ:
4.		Ответ:
5.		Ответ:
6.		Ответ:
7.		Ответ:
8.		Ответ:
9.		Ответ:
10.	Указание:	Ответ:

 

5.2. Вычислите следующие интегралы  методом подстановки:

 

1.		Ответ:
2.		Ответ:
3.		Ответ:
4.		Ответ:
5.		Ответ:
6.		Ответ:
7.		Ответ:
8.		Ответ:
9.		Ответ:
10.		Ответ:

 

5.3. Вычислите следующие интегралы по частям:

 

 

1.		Ответ:
2.		Ответ:
3.		Ответ:
4.		Ответ:
5.		Ответ:

 

 

 

6. Содержание  отчета.

6.1. Вычисленные интегралы 1 –  10 задания 5.1 в рабочей тетради.

6.2. Вычисленные интегралы 1 – 10 задания 5.2 в рабочей тетради.

6.3. Вычисленные интегралы 1 –  5 задания 5.3 в рабочей тетради.

 

7. Контрольные  вопросы.

7.1. Первообразная функция. Теорема  о первообразной.

7.2. Неопределенный интеграл и  его свойства.

7.3. Формула интегрирования по частям.

7.4. Методы вычисления неопределенного  интеграла.

7.5. Алгоритм непосредственного  вычисления неопределенного интеграла.

7.6. Алгоритм вычисления неопределенного  интеграла подстановкой.

7.7. Алгоритм вычисления неопределенного интеграла по частям.

 

 

 

 

 

 

8. Приложение.

Первообразная функция

Определение. Функция  называется первообразной для функции, если выполняется равенство .

Теорема. Если – первообразная для функции , то любая первообразная для этой функции имеет вид .

Доказательство.

а) Пусть  – первообразная для функции . По определению это означает, что . Рассмотрим функцию . Вычислим от нее производную.

Таким образом, . Это означает, что также является первообразной функцией для .

б) Пусть  и – две разные первообразные для функции . Это означает, что и .

Вычислим производную разности этих двух функций

.

Так как производная равна нулю, значит, она вычислена от постоянной. То есть . Откуда .

Две части доказательства этой теоремы  показывают, что из одной первообразной  функции можно получит другую добавлением произвольного постоянного слагаемого. И другого способа получения новых первообразных функций нет.

Неопределенный интеграл и его  свойства

Определение. Неопределенным интегралом для дифференциала  называется множество всех первообразных функции

Рассмотрим свойства неопределенного  интеграла.

1. Вычислим производную неопределенного интеграла:

То есть, производная неопределенного  интеграла равна подынтегральной  функции.

2. Вычислим дифференциал неопределенного интеграла:

Дифференциал неопределенного  интеграла равен подынтегральному выражению.

3. Вычислим неопределенный интеграл от дифференциала:

Неопределенный интеграл от дифференциала  равен поддифференциальной функции,

сложенной с произвольной постоянной.

Свойства 2 и 3 показывают, что действия интегрирования и дифференцирования взаимно обратные.

4. Неопределенный интеграл суммы и разности функций равен сумме и разности неопределенных интегралов этих функций.

Справедливость этого и следующего утверждений легко проверяется  вычислением производной от обеих  частей равенства. Сделайте это самостоятельно.

5. Постоянный множитель выносится за знак неопределенного интеграла

Табличные интегралы

Так как интегрирование и дифференцирование  взаимно обратные действия, то формулы интегрирования можно записать как обратные формулам производных. Проверить их справедливость можно дифференцированием обеих частей.

 

1.		7.
2.		8.
3.		9.
4.		10.
5.		11.
6.

Непосредственное интегрирование

Вычисление неопределенного интеграла  с использованием его свойств  и табличных интегралов называют непосредственным интегрированием. Для  его выполнения можно воспользоваться  следующим алгоритмом:

1. Интеграл от суммы и разности заменить суммой и разностью интегралов.
2. Вынести постоянный множитель за знак интеграла.
3. Найти и применить подходящие табличные интегралы.
4. Если интеграл вычислить не удалось, преобразовать подынтегральную функцию (заменить корни степенями, выполнить действия со степенями, почленно поделить числитель на знаменатель, применить подходящие математические формулы) и вернуться к пункту 1.

Примеры.

Интегрирование подстановкой

Если неопределенный интеграл вычислить  непосредственно не удалось, его  можно попытаться найти методом  подстановки. Алгоритм вычисления интеграла  методом подстановки состоит в следующем:

1. Обозначить новой переменной часть подынтегральной функции (выражение в скобках, подкоренное выражение, знаменатель, показатель степени показательной функции, аргумент сложной функции).
2. Вычислить дифференциал новой переменной .
3. Из полученного равенства найти дифференциал старой переменной.
4. Подставить полученные данные в исходный интеграл.
5. Вычислить непосредственно интеграл с новой переменной.
6. Вернуться к старой переменной.

Примеры.

Обозначим новой переменной .

Дифференциал новой переменной .

Отсюда дифференциал старой переменной .

Подставляем эти данные в исходный интеграл, придерживаясь следующей  формы записи:

Интегрирование по частям

Известно, что дифференциал функции  равен произведению ее производной  на дифференциал аргумента .

Вычислим дифференциал произведения двух функций

.

Таким образом, . Отсюда .

Проинтегрируем обе части равенства

   или

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Ею можно попытаться воспользоваться, если неопределенный интеграл не удалось вычислить ни непосредственно, ни подстановкой.

Интегрирования по частям можно  выполнять по следующему алгоритму:

1. Обозначить часть подынтегрального выражения u, все остальное – dv.
2. Вычислить .
3. Вычислить , не записывая в результате произвольной постоянной C.
4. Все полученные данные подставить в формулу.

Пример.