Интерполяция кубическими сплайнами

for (int j=0; j < dop; j++)

{

x1[k] = x[i] + j*step / (dop);

y1[k] = pow((x[i]-x1[k]),3)*a(i+1)

+ pow((x[i]-x1[k]),2)*b(i+1) + (x[i]-x1[k])*c(i+1)+d(i+1);

k++;

}

x1[n*dop] = x[n];

y1[n*dop] = y[n];

} 

void main() {

int n,dop; double step;

cout << "Введите  количество интервалов: "; cin >> n;

cout << "Введите  количество доп. т. на интервале: "; cin >> dop;

cout << "Введите  шаг интервала: "; cin >> step;

dop++;

double *x,*y, *x1,*y1; 

initial(x,y,x1,y1,n,dop);

int i = 0; while (i < (n+1)) { // расчёт первоначальных значений  функции

x[i] = (i-n/2)*(step);

y[i] = cos(x[i])*pow(x[i],2);

i++;

}

spline (step, dop, n, x,y,x1,y1);

init(); interface(n, dop,x,y,x1,y1);

delete x,y,x1,y1;

closegraph();

}

#ifndef __FUNCT_H

#define __FUNCT_H

#include <graphics.h> 

// инициализация графики

void init() {

int D,M; D = DETECT; M = 5;

initgraph(&D,&M,""); 
 

// рисование  графика функции и сплайна

void paint(int Fx,int Fy,int key,int n, int dop, double* &x,double* &y,double* &x1,double* &y1) {

int i = 0, a, b;

a = getmaxx()/2; b = getmaxy()/2;

setfillstyle(0,0); bar(0,0,a*2+1,b*2+1); setcolor(5); 

if ((key == 1) || (key == 3))

while ( i < n ) {

line(x[i]*Fx + a, -y[i]*Fy + b, x[i+1]*Fx + a, -y[i+1]*Fy + b);

i = i++;

}

if ((key == 2) || ( key == 3)) {

i = 0;

setcolor(3);

while ( i < n*dop ) {

line(x1[i]*Fx + a, -y1[i]*Fy + b, x1[i+1]*Fx + a, -y1[i+1]*Fy + b);

i = i++;

}

}

setcolor(10); line(getmaxx()/2,0,getmaxx()/2,getmaxy());

line(0,getmaxy()/2,getmaxx(),getmaxy()/2);

} 

// функция для  приближения (удаления) и масштабирования  по осям графиков

void interface(int n, int dop, double* &x, double* &y,double* &x1, double* &y1) {

int c=16, z=16;

char key='0'; 

while (key != 27) {

if (key == 75) c = c+4;

if (key == 72) z = z+4;

if (key == 77) c = c-4;

if (key == 80) z = z-4;

if (key == 45) { z = z-4; c = c-4; }

if (key == 61) { z = z+4; c = c+4; }

if (c < 0) c = 0;

if (z < 0) z = 0;

if (key == 's') paint(c,z,2,n,dop,x,y,x1,y1);

else if (key == 'f') paint(c,z,1,n,dop,x,y,x1,y1);

else paint(c,z,3,n,dop,x,y,x1,y1);

key = getch();

}

} 

// Инициализация динамических массивов

void initial (double* &x,double* &y,double* &x1,double* &y1, int n, int dop) {

x = new double [n+1];

y = new double[n+1];

for (int i = 0 ; i < (n+1);i++) {

y[i] = 0;

x[i] = 0; }

x1 = new double[n*dop+1];

y1 = new double[n*dop+1];

for ( i = 0 ; i < (n*dop+1);i++) {

x1[i] = 0;

y1[i] = 0; }

} 

#endif 

#ifndef __MAT_VEC_H

#define __MAT_VEC_H

#include <stdlib.h>

#include <iostream.h> 

// класс матриц

class matrica {

public:

const int Column, String; //кол-во столбцов и строк матрицы

matrica(int column, int string);

~matrica();

private:

float **WW;

matrica(const matrica& rhs);

matrica& operator=(const matrica& rhs);

public:

float& operator()(int i, int j);

friend ostream& operator<<(ostream& out, const matrica& matr);

friend istream& operator>>(istream& in, const matrica& matr);

};

// конструктор

matrica :: matrica(int column, int string) : Column(column), String(string) {

WW = new float*[string];

if(!WW) {

cout << "\n !!! Не хватает памяти конструктору matrica\n";

exit(EXIT_FAILURE);

}

for(int i = 0; i < string; i++) {

WW[i] = new float[column];

if(!WW[i]) {

cout << "\n !!! Не хватает памяти конструктору matrica\n";

exit(EXIT_FAILURE);

}

for(int j = 0; j < column; j++)

WW[i][j] = 0;

}

}

// деструктор

matrica :: ~matrica() {

for(int i = 0; i < String; i++)

delete [] WW[i];

delete [] WW;

}

// операция доступа к элементу

float& matrica :: operator()(int i, int j) {

if((i > 0) && (i <= String) && (j > 0) && (j <= Column))

return WW[i - 1][j - 1];

else {

cout << "\n Ошибка  доступа к элементу (" << i << ", " << j << ") ! \n";

exit(EXIT_FAILURE);

}

}

// вывод матрицы в поток

ostream& operator<<(ostream& out, matrica& WW) {

for(int i = 1; i <= WW.String; i++) {

for(int j = 1; j <= WW.Column; j++)

out << WW(i, j) << " ";

out << endl;

}

return out << "";

}

// ввод матрицы  из потока

istream& operator>>(istream& in, matrica& WW) {

for(int i = 1; i <= WW.String; i++)

for(int j = 1; j <= WW.Column; j++)

in >> WW(i, j);

return in;

}

// класс векторов

class vector {

public:

vector(int column);

~vector();

const int Column; // кол-во элементов вектора

private:

float *vect;

vector(const vector& rhs);

vector& operator=(const vector& rhs);

public:

float& operator()(int i);

friend ostream& operator<<(ostream& out, const vector& vec);

friend istream& operator>>(istream& in, const vector& vec);

};

// кoнструктор vector

vector :: vector(int column) : Column(column) {

vect = new float[column];

if(!vect) {

cout << endl << "\n !!!Не хватает памяти конструктору vector! \n";

exit(EXIT_FAILURE);

}

for(int i = 0; i < Column; i++)

vect[i] = 0;

}

// деструктор

vector :: ~vector() {

delete [] vect;

}

// операция доступа  к эелементу

float& vector :: operator()(int i) {

if((i > 0) && (i <= Column))

return vect[i - 1];

else {

cout << "\n !!!Ошибка  доступа к элементу вектора  - " << i;

exit(EXIT_FAILURE);

}

}

// вывод вектора  в поток

ostream& operator << (ostream& out, vector& vec) {

for(int i = 1; i <= vec.Column; i++)

out << vec(i) << ' ';

return out << endl;

}

// ввод вектора из потока

istream& operator>>(istream& in, vector& vec) {

for(int i = 1; i <= vec.Column; i++)

in >> vec(i);

return in;

}

#endif

#ifndef __PROGONKA_H

#define __PROGONKA_H

#include "mat_vec.h"

int progonka(matrica &mat, float* &x) {

x = new float[mat.String];

if(!x)

return 0;

int i, y = mat.Column, n = mat.String;  vector h(n), d(n);

d(1) = - mat(1, 2) / mat(1, 1);

h(1) = mat(1, y) / mat(1, 1);

for(i = 2; i <= n - 1; i++) {

d(i) = mat(i, i+1) / (mat(i, i-1) * d(i-1) - mat(i, i));

h(i) =(mat(i, y)-mat(i,i-1) * h(i-1))/(mat(i, i-1) * d(i-1) + mat(i, i));

}

h(n) =(mat(n, y)-mat(n,n-1) * 
 
 
 
 
 
 
 
 

5.Тестирование 

Зеленым цветом - график функции построенный в  пределе от -5 до 5, с шагом = 1.

Красным цветом - график сплайна, полученный при интерполировании исходного графика, причём дополнительно  построено всего 3 точки на каждом интервале. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

6.Заключение

В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций оказывается эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональными функциями. Теория интерполирования используется при построении и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравнений. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

7.Список  литературы  

   1. В.В. Иванов. Методы вычислений на ЭВМ. Справочное пособие. Изд-во "Наукова думка". Киев. 1986.

   2. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М.  Кобельков. Численные методы. Изд-во "Лаборатория базовых знаний". 2003.

   3. И.С. Березин, Н.П. Жидков. Методы  вычислений. Изд. ФизМатЛит. Москва. 1962.

   4. К. Де Бор. Практическое руководство по сплайнам. Изд-во "Радио и связь". Москва. 1985.

   5. Дж. Форсайт, М.Мальком, К. Моулер. Машинные методы математических  вычислений. Изд-во "Мир". Москва. 1980.